內蒙古呼和浩特市2025屆高三數(shù)學第一次質量普查調研考試試題理含解析

PAGE22-內蒙古呼和浩特市2025屆高三數(shù)學第一次質量普查調研考試試題理（含解析）留意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題部分答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號座位號涂寫在答題卡上本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.3.答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結束，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，再進行交集運算，即可得答案；【詳解】，，，故選：A.【點睛】本題考查集合的交運算和解不等式，考查運算求解實力，屬于基礎題.2.若復數(shù)，則當時，復數(shù)在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)角的范圍，結合復數(shù)的幾何意義，即可推斷出點的符號，進而得復數(shù)在復平面內對應的點所在象限.【詳解】復數(shù)，在復平面內對應的點為，當時，，所以對應點的坐標位于其次象限，故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義，三角函數(shù)符號的推斷，屬于基礎題.3.如圖是某學校探討性課題《什么樣的活動最能促進同學們進行垃圾分類》向題的統(tǒng)計圖（每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個），以下結論錯誤的是（）A.回答該問卷的總人數(shù)不行能是100個B.回答該問卷的受訪者中，選擇“設置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多C.回答該問卷的受訪者中，選擇“學校團委會宣揚”的人數(shù)最少D.回答該問卷受訪者中，選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學校要求”的少8個【答案】D【解析】【分析】先對圖表數(shù)據(jù)分析處理，再結合簡潔的合情推理逐一檢驗即可得解．【詳解】對于選項A，若回答該問卷的總人數(shù)不行能是100個，則選擇③④⑤的同學人數(shù)不為整數(shù)，故A正確，對于選項B，由統(tǒng)計圖可知，選擇“設置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多，故B正確，對于選項C，由統(tǒng)計圖可知，選擇“學校團委會宣揚”的人數(shù)最少，故C正確，對于選項D，由統(tǒng)計圖可知，選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學校要求”的少8%，故D錯誤，故選D．【點睛】本題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理實力及簡潔的合情推理，屬中檔題．4.已知，，向量的夾角為，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】干脆依據(jù)向量的數(shù)量積運算，即可得答案；【詳解】，故選：C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，考查運算求解實力，屬于基礎題.5.記為數(shù)列的前項和，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)遞推關系可得數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項和公式，即可得答案；【詳解】當時，，當時，，由，，數(shù)列為等比數(shù)列，，故選：A.【點睛】本題考查依據(jù)數(shù)列的遞推關系求等比數(shù)列的前6項和，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.6.如圖是某空間幾何體的三視圖，該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，求出其側面積和底面積，即可得到全面積.【詳解】圓錐的母線長，底面半徑，，故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖還原幾何體的直觀圖、圓錐的表面積計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象實力、運算求解實力.7.已知函數(shù)，給出下列四個結論：①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；③函數(shù)的圖象關于直線對稱；④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到其中全部正確結論的編號是（）A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)降冪公式和協(xié)助角公式化簡三角函數(shù)式，結合正弦函數(shù)的圖像與性質即可推斷各選項是否正確.【詳解】由降冪公式和協(xié)助角公式化簡可得，對于①，由解析式可知最小正周期為，所以①正確；對于②，由函數(shù)解析式可知，滿意時單調遞減，解得，當時，單調遞減區(qū)間為，所以②正確；對于③，由函數(shù)解析式可知對稱軸滿意，解得，所以當時，對稱軸為，所以③正確；對于④，函數(shù)的圖象向左平移個單位可得，與所求解析式不同，因而④錯誤，綜上可知，正確的為①②③，故選：C.【點睛】本題考查了降冪公式與協(xié)助角公式化簡三角函數(shù)式的應用，正弦函數(shù)圖像與性質的綜合應用，屬于基礎題.8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：已知且是整數(shù)，則滿意能被3除余1且被5除余3的全部的取值的和為（）A.2024 B.2305 C.4610 D.4675【答案】B【解析】【分析】構造等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項和公式，即可得答案；【詳解】且，，當時，，的值構成以為首項，公差為的等差數(shù)列，，，，的取值的和為，故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.9.已知，則下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)選項特點分別構造函數(shù)，并利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，即可得答案；【詳解】對A，令，，當，在單調遞減，，即，故A正確；對B，，，，故B錯誤；對C，令，當時，；當時，，在單調遞減，在單調遞增，明顯當時，，故C錯誤；對D，，由C選項的分析，當時，，故D錯誤；故選：A.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)性質、推斷不等式是否成立，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.10.設是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)焦點到漸近線的距離為，結合角平分線的性質、勾股定理，可得離心率.【詳解】如圖所示，，，，，，，，，故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意焦點到漸近線的距離為的運用.11.表面積為的球面上有四點，且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面，則三棱錐體積的最大值為（）A. B.18 C.27 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)球的表面積可得球的半徑，再依據(jù)球心到平面的距離為可得的邊長，當為等腰三角形時，三棱錐的體積達到最大，代入體積公式即可得答案；【詳解】如圖所示，取為的中心，過作平面，設為外接球的球心，連，，，，，，當為等腰三角形時，三棱錐的體積達到最大，設的外心為，為的中點，則，，，，為正三角形時，三棱錐的高的最大值為，，故選：C.【點睛】本題考查三棱錐與球的切接問題、球的體積公式計算，考查轉化與化歸思想，考查空間想象實力、運算求解實力.12.已知若恰有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對方程進行求解得，再求出，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得答案；【詳解】，或，，，（舍去），，，令，則，，，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，，，故選：D.【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)單調性和最值、方程的根，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意將問題轉化為關于的函數(shù)值域問題.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題~21題為必考題，每個試題考生都必需做答；第22題~第23題為選考題，考生依據(jù)要求做答.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題卡的相應位置.）13.的綻開式中的常數(shù)項為______.【答案】240【解析】【分析】利用二項綻開式的通項公式可得【詳解】利用二項綻開式的通項公式可得，當，綻開式中的常數(shù)項為，故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理求綻開式的常數(shù)項，考查運算求解實力.14.已知定義在上的奇函數(shù)，當時，，則在點處的切線方程為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質求出當時函數(shù)的解析式，利用導數(shù)的幾何意義求切線的方程；【詳解】當時，，，，，切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、奇函數(shù)的性質，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意先求解析式再求導數(shù).15.若10件產品包含2件次品，今在其中任取兩件，已知兩件中有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的概率為__________．【答案】【解析】設事務A={兩件中有一件不是廢品}，事務B={兩件中恰有一件為廢品}，則.16.已知拋物線方程，為焦點，為拋物線準線上一點，為線段與拋物線的交點，定義：.已知點，則______；設點，則的值為____.【答案】(1).4(2).2【解析】【分析】（1）依據(jù)直線的方程，求出點，再利用焦半徑公式，即可得答案；（2）依據(jù)，再利用拋物線的定義，即可得答案；【詳解】（1），，，直線的方程為，與聯(lián)立得：，解得：或，，；（2）設準線與軸的交點為，于，，故答案為：.【點睛】本題考查拋物線中線段比例的新定義題、拋物線的焦半徑，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.如圖，已知在中，為上一點，，.（1）若，求的值；（2）若為角平分線，且，求的面積.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用正弦定理將轉化成求的值，即可得答案；（2）設，則，在中由余弦定理可得或，再分別求出的面積.【詳解】（1），可得：，，，，可得，，在中（2）設，則，在中由余弦定理可得：，解得或因為，所以又由（1）知所以由（1）知當時，當時，綜上的面積為或【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用、三角形的面積公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.18.如圖，矩形中，，，在邊上，且，將沿折到的位置，使得平面平面.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（I）連接交于點，依據(jù)對應邊成比例可證得兩個直角三角形相像，由此證得，而，故平面，所以.（II）由（I）知平面，以為原點聯(lián)立空間直角坐標系，利用平面和平面的方向量，計算兩個半平面所成角的余弦值.試題解析：（Ⅰ）連接交于點，依題意得，所以，所以，所以，所以，即，，又，,平面.所以平面.又平面，所以.（Ⅱ）因為平面平面，由（Ⅰ）知，平面，以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示.在中，易得，，，所以，，，則，，設平面的法向量，則，即，解得，令，得，明顯平面的一個法向量為.所以，所以二面角的余弦值為.19.檢驗中心為篩查某種疾病，須要檢驗血液是否為陽性，對份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，須要檢驗次；②混合檢驗，即將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，假如檢驗結果為陽性，為了明確這份血液原委哪幾份為陽性，再對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采納逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來概率；（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采納逐份檢驗方式，樣本須要檢驗的總次數(shù)為，采納混合檢驗方式，樣本須要檢驗的總次數(shù)為點.當時，依據(jù)和的期望值大小，探討當取何值時，采納逐份檢驗方式好？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，.）【答案】（1）（2）的取值大于等于9時采納逐份檢驗方式好.【解析】【分析】（1）記恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事務，利用古典概型的概率計算公式，即可得答案；（2）易得，的取值為1，，利用對立事務可求得，進而得到，所以，兩邊取對數(shù)利用導數(shù)，可得不等式的解.【詳解】（1）記恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事務，則.（2）易得，的取值為1，，計算，，所以，又，，令，即.設，，，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減.且，，所以的取值大于等于9時采納逐份檢驗方式好.【點睛】本題考查古典概型概率計算、對立事務、離散型隨機變量的方差、導數(shù)的運用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，對閱讀實力要求較高.20.已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上一點，面積的最大值為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作關于軸對稱的兩條不同直線分別交橢圓于與，且，證明直線過定點，并求的面積的取值范圍.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意利用待定系數(shù)法可得橢圓的方程為.（Ⅱ）設方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，則，滿意題意時，據(jù)此可得.則直線過定點，且，三角形的面積.試題解析：（Ⅰ）設，則，設，則.解得.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）設方程為，聯(lián)立，得，，因為關于軸對稱的兩條不同直線的斜率之和為0，即，即，得，即.解得：.直線方程為：，所以直線過定點，又，令，又.點睛：求定點，定值問題常見的方法有兩種：(1)從特別入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)干脆推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21.已知函數(shù)（且）的零點是.（1）設曲線在零點處的切線斜率分別為，推斷的單調性；（2）設是的極值點，求證：.【答案】（1）在單調遞增，在遞減（2）見解析【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的零點，，再利用導數(shù)的幾何意義可得關于的函數(shù)，再利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性即可；（2）對函數(shù)進行求導得，利用導數(shù)證明函數(shù)，不妨設，利用所證不等式，即可證得結論.【詳解】由題可知：函數(shù)的定義域為（1）由，得，.則，，所以.令.則，所以當時，；當時，故在單調遞增，在遞減.（2），又在，恒成立，由題知為的極值點，所以且在單調遞減，在單調遞增，故為的微小值點.令，則，故，因為，所以，所以在單調遞減，所以所以在單調遞減，所以所以，不妨設，所以，又在單調遞減，在單調遞增，所以，即.【點睛】本題考查導數(shù)幾何意義的應用、導數(shù)探討函數(shù)的單調性、證明不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意問題的本質是極值點偏移問題.請考生在第22、23題中任選一題做