2024-2025版高中數(shù)學模塊素養(yǎng)評價檢測含解析新人教A版必修5

PAGE模塊素養(yǎng)評價(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式肯定成立的是()A.a+c≥b-c B.(a-b)c2≥0C.ac>bc D.QUOTE≤QUOTE【解析】選B.a,b,c∈R,且a>b,可得a-b>0,因為c2≥0,所以(a-b)c2≥0.2.函數(shù)f(x)=x2+bx+c的零點為-1和2,那么不等式x2-bx+c<0的解集為 ()A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2}C.{x|x<-1或x>2} D.{x|x<-2或x>1}【解析】選A.二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的零點為-1和2,則對應一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根為-1和2,所以b=-(-1+2)=-1,c=-1×2=-2,所以不等式x2-bx+c<0化為x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以不等式的解集為{x|-2<x<1}.3.若直線l:ax-by+2=0(a>0,b>0)過點(-1,2),當QUOTE+QUOTE取最小值時直線l的斜率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.2QUOTE【解析】選B.由題意可得,a+2b=2,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=1+QUOTE+QUOTE≥1+2QUOTE,當且僅當QUOTE=QUOTE即a=QUOTEb時取等號,此時直線的斜率k=QUOTE=QUOTE.4.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,則S5= ()A.15 B.16 C.31 D.32【解析】選C.設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a1+a3=5,a2+a4=10,所以q(a1+a3)=5q=10,a1(1+q2)=5,聯(lián)立解得:a1=1,q=2,則S5=QUOTE=31.5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=QUOTE,c=QUOTE,C=QUOTE,則△ABC的面積為 ()A.2 B.2QUOTE C.3 D.3QUOTE【解析】選A.因為b=QUOTE,c=QUOTE,C=QUOTE,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得:26=a2+2-2a×QUOTE×QUOTE,即a2+2a-24=0,解得a=4(負值舍去),所以QUOTE=QUOTEabsinC=QUOTE×4×QUOTE×sinQUOTE=2.6.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S5=10,S10=40,則S15= ()A.80 B.90 C.100 D.110【解析】選B.等差數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,若S5=10,S10=40,S5,S10-S5,S15-S10成等差數(shù)列,即10,30,S15-40成等差數(shù)列,則S15-40=50,所以S15=90.7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(b-c)(sinB+sinC)=a(sinA+QUOTEsinC),則B=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為(b-c)(sinB+sinC)=a(sinA+QUOTEsinC),則由正弦定理可得(b-c)(b+c)=a(a+QUOTEc),即a2+c2-b2=-QUOTEac.則由余弦定理得cosB=QUOTE=-QUOTE.又0<B<π,所以B=QUOTE.8.如圖,在△ABC中,B=45°,AC=8,D是BC邊上一點,DC=5,DA=7,則AB的長為 ()A.4QUOTE B.4QUOTE C.8 D.4QUOTE【解析】選D.在△ADC中,AD=7,AC=8,DC=5,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為是三角形內角,所以∠C=60°,在△ABC中,AC=8,∠B=45°,∠C=60°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得:AB=QUOTE=4QUOTE.9.設變量x,y滿意不等式組QUOTE,則z=|x-y-4|的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.6【解析】選D.作出不等式組表示的平面區(qū)域:作出直線l:x-y-4=0,當l往上平移時,x-y-4變小,當直線l經(jīng)過點BQUOTE時,x-y-4最大,當直線l經(jīng)過點C(1,3)時,x-y-4最小.即:1-3-4≤x-y-4≤QUOTE-QUOTE-4,所以-6≤x-y-4≤-QUOTE,所以QUOTE≤|x-y-4|≤6,所以z=|x-y-4|的最大值為6.10.在1和19之間插入n個數(shù),使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列,若這n個數(shù)中第一個為a,第n個為b,當QUOTE+QUOTE取最小值時,n的值是 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選B.設等差數(shù)列的公差為d,則a=1+d,b=19-d,從而a+b=20,此時d>0,故a>0,b>0,所以(a+b)QUOTE=1+16+QUOTE+QUOTE≥17+2QUOTE=25,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE=QUOTE,當且僅當QUOTE=QUOTE,即b=4a時,取“=”,由a=1+d,b=19-d,解得d=3,所以19=1+(n+1)×3,所以n=5.11.一船以每小時15QUOTEkm的速度向東行駛,船在A處看到一燈塔B在北偏東60°,行駛4小時后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15°,這時船與燈塔的距離為 ()A.60km B.60QUOTEkm C.30QUOTEkm D.30km【解析】選A.畫出圖形如圖所示,在△ABC中∠BAC=30°,AC=4×15QUOTE=60QUOTE,∠B=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=60,所以船與燈塔的距離為60km.12.由三角形三邊a,b,c干脆求三角形面積問題中海倫公式很出名,它的表示形式為S=QUOTE,其中p=QUOTE(a+b+c),現(xiàn)有一個三角形的邊長滿意a+b=12,c=8,則此三角形面積的最大值為()A.4QUOTE B.8QUOTE C.4QUOTE D.8QUOTE【解析】選B.由題意,p=10,S=QUOTE=QUOTE≤QUOTE·QUOTE=8QUOTE,當且僅當a=b=6時取等號,所以此三角形面積的最大值為8QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)13.不等式QUOTE≤3的解集為.

【解析】不等式變?yōu)镼UOTE-3≤0,即QUOTE≤0,QUOTE≥0,解得x<0或x≥QUOTE.答案:QUOTE14.設z=2x+y,其中x,y滿意QUOTE,若z的最小值是-12,則z的最大值為.

【解析】由實數(shù)x,y滿意QUOTE作出可行域如圖,由QUOTE,可得A(-2k,k),由QUOTE可得B(k,k),z=2x+y,因為z的最小值為-12,所以-4k+k=-12,解得k=4,由圖可知,使目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解為B(k,k),則z=2k+k=3k=12,則z的最大值為12.答案:1215.已知正項等比數(shù)列{an}滿意2a5+a4=a3,若存在兩項am,an,使得8QUOTE=a1,則QUOTE+QUOTE的最小值為.

【解析】設正項等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q(q>0),因為2a5+a4=a3,所以2a1q4+a1q3=a1q2,即2q2+q-1=0,解得q=QUOTE或-1(舍去),因為存在兩項am,an,使得8QUOTE=a1,所以8QUOTE=a1,即QUOTE=QUOTE,所以m+n=8.因為QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)QUOTE=QUOTE≥QUOTE=2,當且僅當QUOTE=QUOTE,即m=6,n=2時,“=”成立.則QUOTE+QUOTE的最小值為2.答案:2【補償訓練】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=QUOTE,則數(shù)列{an}前15項和S15的值為.

【解析】因為數(shù)列{an}的通項公式為an=QUOTE,所以S15=QUOTE+(-5-3-1+1+…+7)=QUOTE×(1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE)+QUOTE×7=QUOTE+QUOTE=QUOTE+7=QUOTE.答案:QUOTE16.已知△ABC內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=2QUOTE且(2a-c)cosB=bcosC,則△ABC面積的最大值為.

【解析】在△ABC中,利用正弦定理化簡(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,整理得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sin(C+B)=sinA,因為sinA≠0,所以cosB=QUOTE,因為B∈(0,π),所以B=QUOTE,因為b=2QUOTE,所以依據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB,即12=a2+c2-ac,因為a2+c2≥2ac(當且僅當a=c時取等號),所以12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即ac≤12,當且僅當a=c時取等號,所以QUOTE=QUOTEacsinB=QUOTEac≤3QUOTE,則△ABC面積的最大值為3QUOTE.答案:3QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)已知函數(shù)f(x)=(ax+a+1)(x-1)(x∈R).(1)若a=1,解不等式f(x)>0.(2)若a<0,解關于x的不等式(ax+a+1)(x-1)>0.【解析】(1)a=1時,函數(shù)f(x)=(x+2)(x-1),不等式f(x)>0化為(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1,所以不等式的解集為{x|x<-2或x>1}.(2)a<0時,不等式(ax+a+1)(x-1)>0化為QUOTE(x-1)<0,若-QUOTE<a<0,則-1-QUOTE>1,解不等式得1<x<-1-QUOTE;若a=-QUOTE,則-1-QUOTE=1,不等式化為(x-1)2<0,無解;若a<-QUOTE,則-1-QUOTE<1,解不等式得-1-QUOTE<x<1;綜上所述,-QUOTE<a<0時,不等式的解集為QUOTE;a=-QUOTE時,不等式的解集為?;a<-QUOTE時,不等式的解集為QUOTE.18.(12分)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且QUOTE=QUOTE.(1)求角B的大小;(2)若b=4,a+c=8,求△ABC的面積.【解析】(1)由QUOTE=QUOTE,可得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,由于sinA≠0,得cosB=QUOTE,由于B∈(0,π),則B=QUOTE;(2)因為b=4,B=QUOTE,a+c=8,利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得16=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=64-3ac,可得ac=16,則△ABC的面積S=QUOTEacsinB=QUOTE×16×QUOTE=4QUOTE.【補償訓練】(2024·全國Ⅲ卷)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinQUOTE=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.【解析】(1)由題設及正弦定理得sinAsinQUOTE=sinBsinA.因為sinA≠0,所以sinQUOTE=sinB.由A+B+C=180°,可得sinQUOTE=cosQUOTE,故cosQUOTE=2sinQUOTEcosQUOTE.因為cosQUOTE≠0,故sinQUOTE=QUOTE,因此B=60°.(2)由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC=QUOTEa.由正弦定理得a=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE.由于△ABC為銳角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故QUOTE<a<2,從而QUOTE<S△ABC<QUOTE.因此,△ABC面積的取值范圍是QUOTE.19.(12分)在等比數(shù)列{an}中,公比q∈(0,1),且滿意a3=2,a1a3+2a2a4+a(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設bn=log2an,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當QUOTE+QUOTE+…+QUOTE取最大值時,求n的值.【解析】(1)a1a3+2a2a4+a可得QUOTE+2a2a4+QUOTE=(a2+a4)2=25,由a3=2,即a1q2=2,①,可得a1>0,由0<q<1,可得an>0,所以a2+a4=5,即a1q+a1q3=5,②由①②解得q=QUOTE(q=2舍去),a1=8,則an=8·QUOTE=QUOTE;(2)bn=log2an=log2QUOTE=4-n,可得Sn=QUOTEn(3+4-n)=QUOTE,QUOTE=QUOTE,則QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=3+QUOTE+…+QUOTE=QUOTEnQUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,可得n=6或7時,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE取最大值QUOTE.則n的值為6或7.【補償訓練】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=nan+n(n-1),且a5是a2和a6的等比中項.(1)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列并求其通項公式;(2)設bn=QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項和.【解析】(1)Sn=nan+n(n-1),可得Sn+1=(n+1)an+1+n(n+1),相減可得Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan+n(n+1)-n(n-1),化簡得an+1=(n+1)an+1-nan+2n,即為nan+1-nan=-2n,即有an+1-an=-2,則數(shù)列{an}是公差為-2的等差數(shù)列.a5是a2和a6的等比中項,可得QUOTE=a2a6,即(a1-8)2=(a1-2)(a1-10),解得a1=11,則an=11-2(n-1)=13-2n.(2)bn=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,則數(shù)列{bn}的前n項和為-QUOTEQUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=-QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,C=120°.(1)若a=2b,求tanA的值;(2)若∠ACB的平分線交AB于點D,且CD=1,求△ABC周長的最小值.【解析】(1)已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,C=120°.因為a=2b,所以sinA=2sinB,整理得:sinA=2sin(180°-120°-A),整理得:sinA=2×QUOTEcosA-2×QUOTEsinA,解得tanA=QUOTE.(2)∠ACB的平分線交AB于點D,且CD=1,利用三角形的面積公式得QUOTEabsin120°=QUOTEa×|CD|sin60°+QUOTEb×|CD|sin60°,所以QUOTEab=QUOTEa+QUOTEb,整理得QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=(a+b)QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+1≥2+2=4,當且僅當a=b=2時,等號成立.所以c2=a2+b2-2abcos120°,解得c=2QUOTE,所以△ABC周長的最小值為2+2+2QUOTE=4+2QUOTE.【補償訓練】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acosC=-2bcosA-ccosA.(1)求角A的大小;(2)若a=4,求△ABC周長的最大值.【解析】(1)因為acosC=-2bcosA-ccosA,所以由正弦定理可得sinAcosC=-2sinBcosA-sinCcosA,可得:sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA,即:sinB=-2sinBcosA,因為sinB≠0,所以cosA=-QUOTE,即A=QUOTE.(2)由(1)可得A=QUOTE,則cosA=QUOTE=-QUOTE,所以(b+c)2=16+bc≤16+QUOTE,即b+c≤QUOTE,當且僅當b=c=QUOTE時取最大值.故當△ABC為等腰三角形時,周長最大為4+QUOTE.21.(12分)某家用轎車的購車費9.5萬元,保險費、保養(yǎng)費及換部分零件的費用合計每年平均4000元,每年行車里程按1萬公里,前5年性能穩(wěn)定,每年的油費5000元,由于磨損,從第6年起先,每年的油費以500元的速度增加,按這種標準,這種車開多少年報廢比較合算?【解析】設這種車開x年報廢比較合算,當x≥6時,總費用為:y=95000+4000x+5000x+500[1+2+3+…+(x-5)]=95000+4000x+5000x+250(x-4)(x-5)=250x2+6750x+100000,平均費用:QUOTE=250x+QUOTE+6750≥2QUOTE+6750=16750.當250x=QUOTE,即x=20時取最小值.當x≤5時,平均費用:QU