全國(guó)統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第15章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1備考試題文含解析

第十五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.[2024全國(guó)卷Ⅰ,2,5分][文]若z=1+2i+i3,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.22.[2024全國(guó)卷Ⅱ,2,5分][文](1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i3.[2024浙江,2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=()A.1 B.-1 C.2 D.-24.[2024山東,2,5分]2-i1+2i=()A.1 B.-1 C.i D.-i5.[2024北京,2,4分]在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則i·z=()A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i6.[2024大同模擬]設(shè)x,y∈R,i為虛數(shù)單位,且3+4iz=1+則z=x+yi的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限7.[2024江西撫州高三第一次聯(lián)考]若復(fù)數(shù)z滿意|z+3-4i|=2,則z·z的最大值為()A.9 B.81 C.7 D.498.[2024河南名校第一次聯(lián)考]如圖15-1,在平行四邊形OABC中,頂點(diǎn)O,A,C在復(fù)平面內(nèi)分別表示0,3+2i,-2+4i,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+6i B.5-2iC.1+5i D.-5+6i圖15-19.[2024浙江,12,6分]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則a2+b2=,ab=.

拓展變式1.(1)[2024全國(guó)卷Ⅲ,2,5分]復(fù)數(shù)11-3i的虛部是()A.-310 B.-110 C.(2)[2024全國(guó)卷Ⅱ,15,5分]設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿意|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

2.(1)[2024全國(guó)卷Ⅲ,2,5分][文]若z(1+i)=2i,則z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i(2)[2024北京,2,5分][文]已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z·z=()A.3 B.5 C.3 D.53.(1)[2024全國(guó)卷Ⅱ,2,5分]設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的值是.

答案第十五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.Cz=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+2.A(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4,故選A.3.C因?yàn)閍-1+(a-2)i是實(shí)數(shù),所以a-2=0,所以a=2.故選C.4.D解法一2-i1+2i=(2-i)(1-2解法二利用i2=-1進(jìn)行替換,則2-i1+2i=-2×(-1)-i1+2i=-25.B由題意知,z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故選B.6.A由已知可得z=3+4i1+2i=(3+4i)(1-2i)(1+2i)(1-27.D由題意可知,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)A(-3,4)為圓心,半徑為2的圓,z·z表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,因?yàn)閨OA|=(-3)2+42=5,所以z·8.A因?yàn)镺B=OA+OC,所以9.52∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,∴a2-b2=3,2ab=4,解得a=2,b=1或a=-2,b=-1,和虛部同時(shí)為零.1.(1)D11-3i=1+3i(2)23解法一設(shè)z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),則由|z1|=|z2|=2,得x12+y12=x22+y22=4.因?yàn)閦1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=3+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x12+y12+x22+y22+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=(3)2+12=4,所以2x1x2解法二設(shè)z1=a+bi(a,b∈R),則z2=3-a+(1-b)i,則|z1|2=a2+b2=4,|z2|2=(3-a)2+(1-b)2=4,即a2+b2=4,3a+b解法三題設(shè)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量a,b滿意|a|=|b|=2,a+b=(3,1),求|a-b|.因?yàn)?a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=23,即|z1-z2|=23.2.(1)Dz=2i1+i=(2)D∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)(2-i)=5.故選D.3.(1)C由題意,得z=-3-2i,其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,-2),位于第三象