2025屆高考數(shù)學一輪復習單元雙優(yōu)測評卷-第三章圓錐曲線的方程A卷含解析

PAGEPAGE27第三章圓錐曲線的方程A卷基礎過關必刷卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知A，B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為．若雙曲線的離心率為2，則的最小值為（）A． B．1 C． D．2．是雙曲線：右支上第一象限內的一點，，是左、右焦點，的內切圓是圓，當圓的面積為時，直線的斜率為（）A． B．或0 C．0 D．3．已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內切圓半徑為（）A．3 B．2 C． D．4．已知雙曲線，直線，若l上存在點使圓與雙曲線C的右支有公共點，則雙曲線C的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．5．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．如圖為陜西博物館保藏的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線1(a>0，b>0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細之處的周長為（）A．2π B．3π C．2π D．4π7．已知為坐標原點，雙曲線：的右焦點為，直線過點且與的右支交于，兩點，若，，則直線的斜率為（）A． B． C． D．8．已知A，B是橢圓長軸的兩個端點，P、Q是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AP，BQ的斜率分別為.若橢圓的離心率為，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知雙曲線的離心率等于，過的右焦點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若以為直徑的圓過點(為坐標原點)，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．直線的傾斜角為C．圓的面積等于 D．與的面積之比為10．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，短軸長為2，點，在上且，直線與交于另一個點，若，則下列說法正確的是（）A．為等腰三角形B．橢圓的離心率為C．內切圓的半徑為D．面積的最大值為11．在平面直角坐標系中，動點與兩個定點和連線的斜率之積等于，記點的軌跡為曲線，直線：與交于，兩點，則（）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．滿意的直線僅有1條12．已知為坐標原點，，是拋物線：上的一點，為其焦點，若與雙曲線的右焦點重合，則下列說法正確的有（）A．若，則點的橫坐標為4B．該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為C．若外接圓與拋物線的準線相切，則該圓面積為D．周長的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線放射后必經(jīng)過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則直線的斜率為___________．14．已知、分別是雙曲線的左右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為_____________．15．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點A是在第一象限的公共點，若點A關于的一條漸近線的對稱點為，則________．16．直線交橢圓于，兩點，．是橢圓的右焦點，若，則________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知橢圓過點，焦距長，始終線交橢圓于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若點為軸上一點且=，求證：直線過定點，并求出定點坐標.18．已知橢圓的離心率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知點為橢圓的左?右頂點，點為橢圓上不同于A?的任一點，在拋物線上存在兩點，使得四邊形為平行四邊形，求的最小值.19．已知圓，圓，．當r改變時，圓與圓的交點P的軌跡為曲線C，（1）求曲線C的方程；（2）已知點，過曲線C右焦點的直線交曲線C于A、B兩點，與直線交于點D，是否存在實數(shù)m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，請說明理由．20．已知橢圓分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的動點，直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，當為橢圓的上頂點時，有（1）求橢圓的離心率；（2）求的最大值．21．已知橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為4.動點在雙曲線(頂點除外)上運動，直線和與橢圓的交點分別為和.（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值，并求出此定值.22．已知雙曲線：的一條漸近線與直線：垂直，且雙曲線的右焦點到直線的距離為1．（1）求雙曲線的標準方程；（2）記的左、右頂點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支交于，點，且直線與直線交于點，求證：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知A，B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為．若雙曲線的離心率為2，則的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由題設可設，，則，故，因為雙曲線的離心率為2，故，故，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選：D.2．是雙曲線：右支上第一象限內的一點，，是左、右焦點，的內切圓是圓，當圓的面積為時，直線的斜率為（）A． B．或0 C．0 D．【答案】D【解析】由題可得，設切點為，由雙曲線定義可得，即，是切點，，，，，，設直線的斜率為，則方程為，到直線的距離為2，則，解得或，當時，三點共線，不符合題意，故直線的斜率為.故選：D.3．已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在橢圓C上，當△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內切圓半徑為（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】解析：因為橢圓為，所以a=5，b=3，；當△MF1F2的面積最大時，點M在橢圓C的短軸頂點，不妨設點M為橢圓C的上頂點，點O為坐標原點，△MF1F2內切圓半徑為r，則|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，，所以，故選:D.4．已知雙曲線，直線，若l上存在點使圓與雙曲線C的右支有公共點，則雙曲線C的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知漸近線與其平行線間的距離要小于，即，且，所以，解得.5．斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線于兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設的中點為，設，則，得，則，設直線的傾斜角為，又，所以，可得，所以直線的傾斜角為，則的斜率為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：6．如圖為陜西博物館保藏的國寶——唐?金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線1(a>0，b>0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細之處的周長為（）A．2π B．3π C．2π D．4π【答案】C【解析】該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，可設代入雙曲線方程可得，即，作差可得，解得，所以杯身最細處的周長為.故選：C7．已知為坐標原點，雙曲線：的右焦點為，直線過點且與的右支交于，兩點，若，，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，，由題可知，是線段的中點，，∴，∵，分別是雙曲線右支上的點，∴兩式相減并整理得，∴，即，又，∴，∴.故選：B8．已知A，B是橢圓長軸的兩個端點，P、Q是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AP，BQ的斜率分別為.若橢圓的離心率為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點，則橢圓的對稱性知，不妨令，而點A(-a，0)，B(a，0)，則，明顯有，則，因橢圓的離心率為，即，，則，因，所以，當且僅當時取“=”，即的最小值為為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．已知雙曲線的離心率等于，過的右焦點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，，若以為直徑的圓過點(為坐標原點)，則下列說法正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．直線的傾斜角為C．圓的面積等于 D．與的面積之比為【答案】ACD【解析】依據(jù)題意可得，，解得，所以雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，故選項A正確；因為以為直徑的圓過點，所以，依據(jù)（1）漸近線為，可得漸近線傾斜角，易知，所以，所以直線的傾斜角為或，故選項B錯誤；依據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設直線的傾斜角為，由可得直線的方程為，分別與漸近線方程和聯(lián)立，解得或，則，，此時，故圓的半徑，其面積，故選項C正確；因為為與的公共邊，所以與的面積之比等于，故選項D正確.故選：ACD10．已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，短軸長為2，點，在上且，直線與交于另一個點，若，則下列說法正確的是（）A．為等腰三角形B．橢圓的離心率為C．內切圓的半徑為D．面積的最大值為【答案】BCD【解析】由題意知，所以點，，在以為圓心，為直徑的圓上，所以.設，由于，所以，，故不是等腰三角形，故A錯誤.依據(jù)橢圓的定義可知，，所以，所以，則.又，所以為等腰直角三角形，可得.由題意知，所以，，所以橢圓的標準方程為，離心率為，故B正確.易知的面積，設的內切圓半徑為，則，即，所以，故C正確.不妨令，又，所以直線的方程為，設，則點到直線的距離，其中，所以，因為，所以面積的最大值為，故D正確.故選：BCD11．在平面直角坐標系中，動點與兩個定點和連線的斜率之積等于，記點的軌跡為曲線，直線：與交于，兩點，則（）A．的方程為 B．的離心率為C．的漸近線與圓相切 D．滿意的直線僅有1條【答案】AC【解析】設點，由已知得，整理得，所以點的軌跡為曲線的方程為，故A正確；又離心率，故B不正確；圓的圓心到曲線的漸近線為的距離為，又圓的半徑為1，故C正確；直線與曲線的方程聯(lián)立整理得，設，，且，有，所以，要滿意，則需，解得或或，當,此時，而曲線E上，所以滿意條件的直線有兩條，故D不正確，故選：AC.12．已知為坐標原點，，是拋物線：上的一點，為其焦點，若與雙曲線的右焦點重合，則下列說法正確的有（）A．若，則點的橫坐標為4B．該拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為C．若外接圓與拋物線的準線相切，則該圓面積為D．周長的最小值為【答案】ACD【解析】解：因為雙曲線的方程為，所以，，則，因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以，即，選項A：若，則點的橫坐標為，所以選項A正確；選項B：因為拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，所以拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為，所以選項B錯誤；選項C：因為、，所以外接圓的圓心的橫坐標為1，又因為外接圓與拋物線的準線相切，所以圓心到準線的距離等于圓心到焦點的距離等于半徑，所以圓心在拋物線上且到準線的距離為3，所以，所以該外接圓面積為，所以選項C正確；選項D：因為的周長為，所以選項D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線放射后必經(jīng)過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則直線的斜率為___________．【答案】【解析】解：由可得，，所以焦點，已知一平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射，則令，代入，得，可得，由于光線經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，由拋物線的光學性質可知，反射光線經(jīng)過焦點，即直線經(jīng)過，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.14．已知、分別是雙曲線的左右焦點，點在雙曲線右支上且不與頂點重合，過作的角平分線的垂線，垂足為，為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為_____________．【答案】【解析】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，．故答案為：.15．設橢圓與雙曲線的公共焦點為，將的離心率記為，點A是在第一象限的公共點，若點A關于的一條漸近線的對稱點為，則________．【答案】2【解析】由題意可得焦距為，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，則由雙曲線的定義可得，由橢圓的定義可得，所以，因為點A關于的一條漸近線的對稱點為，所以雙曲線的一條漸近線是線段的中垂線，所以，所以，所以，即，所以，所以，故答案為：2.16．直線交橢圓于，兩點，．是橢圓的右焦點，若，則________．【答案】【解析】如圖，連接,,因為,,所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以,則,又直線可知,則,依據(jù)勾股定理可知：，由橢圓定義可知：，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知橢圓過點，焦距長，始終線交橢圓于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若點為軸上一點且=，求證：直線過定點，并求出定點坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，定點或【解析】（1）依據(jù)橢圓定義求出，再依據(jù)得到，則橢圓方程即可求出；（2）當直線的斜率存在時，設直線方為：，和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理計算=，可得關系，進而可得直線所過定點，驗證當直線的斜率不存在時的狀況，最終定點可求出.（1）橢圓的兩焦點為，由橢圓的定義得：所以，橢圓標準方程為；（2）當直線的斜率存在時，設直線方為：，代入中，整理得，設點，則有所以，，，即，整理得：，即或，即或由得所以直線方程為：或,所以直線過定點或；當直線的斜率不存在時，直線的方程為和滿意題意，所以直線過定點或.18．已知橢圓的離心率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知點為橢圓的左?右頂點，點為橢圓上不同于A?的任一點，在拋物線上存在兩點，使得四邊形為平行四邊形，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）由題意得：，解得（2）由（1）知，設，，，連接設交于四邊形為平行四邊形，為的中點且與軸既不垂直也不平行，設，與聯(lián)立消得（*）則是（*）的二根，，且，即①，，，得，點在曲線上，代入可得，即令，其中由②得代入③得代入①得解得，，，的最小值為.19．已知圓，圓，．當r改變時，圓與圓的交點P的軌跡為曲線C，（1）求曲線C的方程；（2）已知點，過曲線C右焦點的直線交曲線C于A、B兩點，與直線交于點D，是否存在實數(shù)m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在；，．【解析】解：（1）由題意可知，，，所以，所以曲線C為以、為焦點的橢圓，且，，，所以曲線C的方程為．（2）假設存在，由題意知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為，，，聯(lián)立|，消去y整理得，，則，，所以，，因為，所以，所以，，得，所以存在，使成立．20．已知橢圓分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上的動點，直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，當為橢圓的上頂點時，有（1）求橢圓的離心率；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當為橢圓的上頂點時，又因為