四川省達(dá)州市開江縣講治鎮(zhèn)寶石初級中學(xué) 2024-2025學(xué)年 八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)試題（一 ）

密封線學(xué)校班級密封線學(xué)校班級姓名學(xué)號密封線內(nèi)不得答題A卷B卷總分題號一二三一二得分本卷滿分150分，考試時(shí)間：120分鐘A卷（滿分100分）選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分。每小題有且只有一個(gè)正確答案，請正確答案的序號填入題后的括號內(nèi)）1.如圖,有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形,在水池正中央有一根蘆葦,它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面、求這根蘆葦?shù)拈L度是多少尺？設(shè)蘆葦?shù)拈L度是x尺,根據(jù)題意,可列方程為()A.B.C.D.2.如圖，分別以直角三角形的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，較大兩個(gè)正方形的面積分別為169和144，則最小正方形A的邊長是()A.25 B.1 C.12 D.53.如圖,在與水平面成角的斜坡上有兩棵一樣高的柳樹,兩棵樹水平距離,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,至少飛了()米.A.4 B.6 C.8 D.104.如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至C處時(shí)(即水平距離，)，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是()A. B. C. D.5.如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在處，交AD于E，，，則DE的長為()A.3 B.4 C.5 D.66.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題：“今有開門去閫(kǔn)一尺，不合二寸，問門廣幾何？”大意是說：如圖，推開雙門(和)，門邊緣D，C兩點(diǎn)到門檻的距離為1尺(1尺寸)，雙門間的縫隙為2寸，那么門的寬度(兩扇門的和)為()A.103寸 B.102寸 C.101寸 D.100寸7.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,和的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn),那么的度數(shù)為()A. B. C. D.8.如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊及其延長線上，，F(xiàn)為外一點(diǎn)，且，，則結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是()A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②二、填空題（本大題共5小題,每小題4分,共20分)9.觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根據(jù)上面的規(guī)律,寫出第8組勾股數(shù)：______.10.已知三角形三邊長分別為6,8,10,則此三角形的面積為______.11.定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形.現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線，相交于點(diǎn)O，若，，則_____.12.如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面，則旗桿的高度為(滑輪上方的部分忽略不計(jì)).13.如圖,在四邊形中,,分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形,面積分別記為,,,.若,,則______.三.解答題（本題共5小題，滿分48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）14.（9分）如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中，，，，，求這塊草坪的面積.15.（9分）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．16.（9分）如圖，在中，，，，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，若，，求的長.17.（10分）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船每小時(shí)比貨船多走5海里，客船與貨船速度之比為，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時(shí)后，貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，此時(shí)兩船相距50海里.（1）求兩船速度分別是多少？（2）求客船航行方向.18.（11分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，請直接寫出線段EF與BE的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合時(shí)，請寫出線段AF，EF，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若AC=5，BC=3，EC=1B卷（滿分50分）一.填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）19.如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE平分∠ADC，交AC與點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，且交AD于點(diǎn)G，若AG=120．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D為斜邊AB上的一動點(diǎn)(不包含A，B兩端點(diǎn))，沿CD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'C與AB相交于點(diǎn)E若A'D∥BC，則A'E的長為。21．如圖，△ABC中，∠A＝90°，角平分線BD、CE交于點(diǎn)I，IF⊥CE交CA于F，下列結(jié)論：①∠DIF＝45°；②CF+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，則AF=34.其中正確的是22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對稱.若D為AB中點(diǎn)，AB＝13，BC＝10，求CE＝，AF＝.23．在直線上依次擺著七個(gè)正方形（如圖），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積是S1，S2，S3，S4，則S二.解答題（本題共3小題，滿分30分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）24.（8分）現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“弦圖”.在中,,若,,,請你利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)證明：；(2)若拼成的大正方形面積為169,小正方形的面積為49,求的值.25.（10分）勾股定理的證明與計(jì)算在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律.(1)右面圖形都是用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)正方形，從中選擇一個(gè)圖形證明勾股定理，寫出證明過程.(2)它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()A.統(tǒng)計(jì)思想 B.分類思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想(3)如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中，求證：.證明：如圖所示：連接，過點(diǎn)B作，交延長線于點(diǎn)F，則請補(bǔ)全證明過程：26.（12分）閱讀材料：勾股定理本身就是一個(gè)關(guān)于a、b、c的方程,我們知道這個(gè)方程有無數(shù)組解,滿足該方程的正整數(shù)解通常叫做勾股數(shù)組,關(guān)于勾股數(shù)組的研究我國歷史上有非常輝煌的成就,根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載,在約公元前1100年,人們就已經(jīng)知道“勾廣三、股修四、徑隅五”(古人把較短的直角邊稱為勾,較長的直角邊稱為股,而斜邊則為弦),即知道了勾股數(shù)組.類似地,還可以得到下列勾股數(shù)組：,,,…,等等,這些數(shù)組也叫做畢達(dá)哥拉斯勾股數(shù)組,上述勾股數(shù)組的規(guī)律,可以用下面表格直觀表示：勾股數(shù)組各數(shù)組的和和的另一表示法和與最小數(shù)的差股弦3,4,5125,12,13307,24,2556觀察分析上述勾股數(shù)組,可以看出它們具有如下特點(diǎn)：特點(diǎn)1：最小的勾股數(shù)的平方等于另兩個(gè)勾股數(shù)的和；特點(diǎn)2：______.…回答問題：(1)請你再寫出上述勾股數(shù)組的一個(gè)特點(diǎn)：______；(2)如果n表示比1大的奇數(shù),則上述勾股數(shù)組可以表示為；(3)請你證明(2)中的三個(gè)式子是勾股數(shù)組.2024年秋寶石初中八年級數(shù)學(xué)單元測試題一答案本卷滿分150分，考試時(shí)間：120分鐘A卷（滿分100分）選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分。每小題有且只有一個(gè)正確答案，請正確答案的序號填入題后的括號內(nèi)）1.答案：C解析：設(shè)蘆葦?shù)拈L度是x尺,由題意可得,,故選：C.2.答案：D解析：根據(jù)圖形，直角三角形的邊長的平方剛好為對應(yīng)正方形的面積，∴直角三角形的斜邊平方為169，一條直角邊的平方為144，∴另一條直角邊的平方為，∴最小正方形A的面積是25，邊長為5；故選：D.3.答案：C解析：由題意得：,∴∵,,∴(負(fù)值舍去)∴∴小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,至少飛了8米。故選：C.4.答案：B解析：設(shè)，則，又，在中，，得：解得：故選：B.5.答案：C解析：四邊形ABCD是矩形，，由折疊的性質(zhì)可得：；在與中（AAS）設(shè)，則，，在直角三角形ABE中，由勾股定理得：解得故選：C.6.答案：C解析：設(shè)，過D作于E，則，，.在中，，即，解得.故門的寬度(兩扇門的和)AB為101寸.故選：C.7.答案：B解析：如圖,連接AD,BE,根據(jù)題意得：,,,,,,∴,,,∴,,∴,∴.故選：B.8..答案：A解析：，，，，，，，，，，，即，在和中，，，故①正確；連接，如圖：，，在中，，，，，，，，，，故②正確；延長交于H，如圖：，，，，，故③正確；在中，，，，，，，，故④正確，綜上所述，正確的有①②③④，故選：A.二、填空題（本大題共5小題,每小題4分,共20分)9.答案：17,144,145解析：①,,.②,,.③,,.④,,……則第n組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為:,第二個(gè)數(shù)為:,第三個(gè)數(shù)為:,第8組勾股數(shù)為:17,144,145,故答案為:17,144,145.10.答案：24解析：∵,∴此三角形為直角三角形,∴此三角形的面積為：.故答案為：24.11.答案：61解析：∵是“垂美”四邊形，∴，∴，故答案為：61.12.答案：解析：設(shè)旗桿高度為，過點(diǎn)C作于B，則，，在中，即，解得：，即旗桿的高度為17米.故答案為：.13.答案：86解析：如圖,連接.由題意,得,,,.在中,由勾股定理得.在中,由勾股定理得..,故答案為：86.三.解答題（本題共5小題，滿分48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）14.答案：這塊草坪的面積為36平方厘米解析：連接AC，∵在中，，，，∴，，，∴，即是直角三角形，∴草坪面積.即這塊草坪的面積為36平方厘米.15.答案：AE=6.5．解析：解：如圖，延長AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE．∵在△AED與△FEC中，∠D=∠C∠DAE=∠CFE∴AE=FE，AD=FC．∵AD=5，BC=10．∴BF=5在Rt△ABF中，AF＝AB2∴AE=12AF=6.516.答案：的長為解析：，，.是直角三角形，且..，.設(shè)，則.在中，由勾股定理，得，即，解得，的長為.17.答案：（1）客船與貨船的速度分別是20海里/小時(shí)和15海里/小時(shí)（2）客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°方向解析：（1）設(shè)客船與貨船的速度分別是海里/小時(shí)和海里/小時(shí)，依題意得，.解得，，，客船與貨船的速度分別是20海里/小時(shí)和15海里/小時(shí)；（2）由題可得，，，，，是直角三角形，且，又貨船沿南偏東方向航行，客船航行的方向?yàn)楸逼珫|方向.答案：（1）EF【解答】解：（1）∵垂直平分AB，∴EF=（2）解：結(jié)論：AF理由：如圖2中，過點(diǎn)A作AJ⊥AC交ED的延長線于J，連接FJ，∵AJ⊥AC，EC⊥AC，在△AJD和△∠AJD=∠DEB∴AJ=BE，DJ=DE，∵∴AF2（3）解：AF的長為115或1解析：如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，設(shè)AF=x，則∵BC=3，CE=1，∵E∴x2+22如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，設(shè)AF=x，則CF∵BC=3，CE=1∵E∴x2+42綜上所述，滿足條件的AF的長為115或1B卷填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）19.答案：4【解析】【解答】解：如圖，連接BG，∵AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)可得：∠BAD∵EF⊥AB，∴∠∴∠AGF=∠B=∠C，∵∵DE平分∠ADC，∴∠在△DEG和△∵∠C=∠EGD，∠∴△DEG≌△DEC(AAS)，∴DG=CD=3，∵AG=1S△ABG=12在△AFG中，由勾股定理得：AF=20．【答案】8【解析】【解答】解：連接A'D因?yàn)锳'D∥BC所以∠B=∠A'DE

由折疊可得：∠A=∠A'由等面積法可得：12AC×BC=12AB×CE，解得：CE21．【答案】①②【解析】【解答】解：解：如圖，延長FI交BC于M，作EH⊥BC于H，

∵∠A＝90°，角平分線CE、BD交于點(diǎn)I，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，

∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，

∵IF⊥CE，

∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正確；

∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，∴△FCI≌△MCI（ASA），∴CF=CM，

∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，∴△MBI≌△EBI（ASA），∴BE=BI，

∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正確；

∵AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，∴BC=5，∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，∴EA=EH，

∵△ACE的面積=12AC·EA，△BCE的面積=12BC·EH，∴AE：BE=AC：BC=4：5，

∵AE+BE=AB=3，∴BE=53，BM=53，∴CF=CM=5-53=103，∴AF=4-10故答案為：①②.22．【答案】5；119【解析】【解答】解：連接BF，如下圖，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對稱，∴BD=FD，BE=EF，

∵D為AB中點(diǎn)，∴∴∠