第02講等腰三角形（5類題型）

第02講等腰三角形（5類題型）課程標準學(xué)習(xí)目標1.等腰三角形的概念；2.等邊對等角；1．使學(xué)生了解等腰三角形的有關(guān)概念。2．通過探索等腰三角形的性質(zhì)，使學(xué)生掌握等腰三角形的軸對稱性。3、進一步經(jīng)歷觀察、實驗、推理、交流等活動。知識點01：等腰三角形概念定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角?！炯磳W(xué)即練1】（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）等腰三角形的周長為20cm，一邊為8cm，則腰長為（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【答案】D【分析】分類討論：當(dāng)8cm是腰長時和當(dāng)8cm是底邊長時，結(jié)合三角形的周長，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形的周長為20cm，∴當(dāng)8cm是腰長時，底邊為：cm；∴當(dāng)8cm是底邊長時，腰長為：cm，∴腰長為8cm或6cm，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成一個等腰三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，以及等腰三角形的定義，逐一判斷即可解答，【詳解】解：A、∵，∴能擺成三角形，但不是等腰三角形，故A不符合題意；B、∵，∴能擺成三角形，而且是等腰三角形，故B符合題意；C、∵，∴不能擺成三角形，故C不符合題意；D、∵，∴不能擺成三角形，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型01等腰三角形的定義1．（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？奸_學(xué)考試）一個等腰三角形的兩邊長為8和10，則它的周長m的取值為（）A．26或28 B．26 C．28 D．【答案】A【分析】分8是底邊和腰長兩種情況討論求解．【詳解】解：若8是底邊，則三角形的另兩邊分別為10、10，能組成三角形，周長，8是腰長，則三角形的另兩邊分別為8、10，能組成三角形，周長．綜上所述，它的周長m的取值為26或28．故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，難點在于分情況討論．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）若是等腰三角形，，則的度數(shù)是（

）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分情況討論即可得到答案．【詳解】解：是等腰三角形，，當(dāng)是頂角時，；當(dāng)是底角時，①當(dāng)時，則；②；綜上所述，的度數(shù)是或或，故選：D．【點睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分類討論是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·八年級課堂例題）（1）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為6，則它的周長為；（2）已知等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為6，則它的周長為．【答案】14或1614【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)腰長為4時，符合三角形三邊關(guān)系，則周長為；當(dāng)腰長為6時，符合三角形三邊關(guān)系，則周長為，故答案為：14或16．（2）當(dāng)腰長為2時，，不符合三角形的三邊關(guān)系，故舍去，當(dāng)腰長為6時，則周長為，故答案為：14．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川成都·七年級校考期中）已知等腰的三邊長，，，且滿足：，求的周長為．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式因式分解，根據(jù)平方的非負性，求得的值，根據(jù)等腰的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，解得，，∵等腰的三邊長、、都是正整數(shù)，當(dāng)時，,不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時，的周長為；綜上，的周長為．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，三角形三邊關(guān)系，非負數(shù)性質(zhì)，求得的值是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·云南·七年級統(tǒng)考期中）已知，，分別為的三邊長，，滿足，且為方程的解，請先判斷的形狀，再說明理由．【答案】是等腰三角形，理由見解析【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出b、c，解方程求出a，進而可作出判斷．【詳解】解：是等腰三角形，理由如下：，，．，，又，．是等腰三角形．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的求解和等腰三角形的定義等知識，正確求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．題型02根據(jù)等邊對等角求角度1．（2023春·福建寧德·八年級?？计谀┤鐖D所示，線段的垂直平分線交線段于點，，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出即可．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)推出是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，點分別在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，得出，根據(jù)，得出，求出．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．3．（2023秋·北京海淀·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，為邊上一點，于，連接，，若，則．

【答案】35【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【詳解】解：，，是線段的垂直平分線，，，由題意得，，解得，．故答案為：35．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，點D在邊上，，，則，

【答案】/25度/105度【分析】先根據(jù)，利用三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出和的大小，繼而求出．【詳解】解：，，由，得，，，，∴，故答案為：，．【點睛】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．5．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，點D是底邊的中點，，求的度數(shù)．

【答案】．【分析】由，，得，，由得即可求解．【詳解】解：∵，，∴，（三線合一），∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．題型03根據(jù)等邊對等角證明1．（2023春·重慶南岸·七年級統(tǒng)考期末）如圖，若，點在邊上，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行排除選項．【詳解】解：∵，∴，，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；與不一定相等，故A、C、D都是正確的，不符合題意；B選項是錯誤的，符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，是邊上的高，點是高上任意一點，點是邊上任意一點，，，，則的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】如圖所示，過點E作于H，連接，先證明得到，再證明得到，進而推出當(dāng)三點共線且點F與點H重合時，有最小值，即此時有最小值，利用等面積法求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點E作于H，連接，∵，是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點共線且點F與點H重合時，有最小值，即此時有最小值，∵，∴，∴的最小值為，故選D．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判斷，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點D在上，．若，則．

【答案】70【分析】由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可知，再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：，∴是的平分線，，∵，∴，∴．故答案為：70．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·河北廊坊·校考三模）如圖，，，將折疊，使邊落在邊上，若點的落點恰好是中點，則°；折痕是的（填“中線”或“角平分線”）．

【答案】角平分線【分析】如圖，由折疊可得：，，，證明是的垂直平分線，可得，，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，由折疊可得：，，，

∵為的中點，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，而，∴，∴折痕是的角平分線；故答案為：，角平分線．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線的含義，線段的垂直平分線的定義與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是延長線上的點．(1)過點在射線右側(cè)作；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，求證：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖所示，作，從而利用同位角相等可得兩直線平行；（2）由平行線的性質(zhì)先證明，再證明，結(jié)合等量代換可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，為所求作的直線；（2），，，∴，，平分．【點睛】本題考查的是作已知直線的平行線，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題型04根據(jù)三線合一求解1．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點E，，，則的面積是（

）

A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】過作交于點，根據(jù)等腰三角形底邊上三線合一得到，結(jié)合，平分得到即可得到答案；【詳解】解：過作交于點，∵是等腰三角形底邊上的中線，∴，，∵平分，，∴，∵，，∴，故選C；

【點睛】本題考查等腰三角形底邊上三線合一，角平分線上點到角兩邊距離相等，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．2．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，是上一點，，垂直平分，于點，的周長為，，則的長為（）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，進而得出，即可得出答案．【詳解】解：周長，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南株洲·七年級株洲二中?？计谀┤鐖D，在中，，是邊上的中線，，垂足為E，若，則的度數(shù)為．

【答案】/20度【分析】根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得，根據(jù)同角的余角相等可得：，再根據(jù)等量關(guān)系得到．【詳解】解：，是邊上的中線，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．也考查了余角的性質(zhì)．4．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是14，腰的垂直平分線分別交，邊于，點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為；

【答案】9【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，．

是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關(guān)于直線的對稱點為點，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：9．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）在中，點是邊上的兩點．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果；（2）①根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡可得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系．題型05根據(jù)三線合一證明1．（2023春·甘肅張掖·七年級校聯(lián)考期末）高臺縣崇文樓始建2011年，取“崇文尚德·大運高臺”之意，總高米，由臺明、樓身和寶頂三部分組成．建這座樓的主要目的是為了延續(xù)高臺人杰地靈、源遠流長的文脈，在當(dāng)今文化大發(fā)展時代，激勵莘莘學(xué)子努力學(xué)習(xí)、求學(xué)上進，將來回報和建設(shè)家鄉(xiāng)、建設(shè)祖國．如圖，“崇文樓”的頂端可看作等腰三角形，，D是邊上的一點．下列條件不能說明是的角平分線的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．【詳解】解：，，，即是的高線，是等腰三角形，，是的角平分線，故A選項不符合題意；是等腰三角形，，是的角平分線，故B選項不符合題意；若，不能說明是的角平分線，故C選項符合題意；，，是的角平分線，故D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長線于點，若恰好平分，．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論共有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】首先證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷②③正確，由，推出，，故①正確；由，推出，故④錯誤．【詳解】解：，，平分，，，，是的角平分線，，，故②③正確，在與中，，，，，故①正確；，，故④錯誤；故答案為：①②③．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確使用等腰三角形的性質(zhì)三線合一，屬于中考?？碱}型．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）聰明的小斐同學(xué)這樣檢查他的課桌桌面是否水平：如圖，在等腰直角三角尺斜邊中點O處拴一條繩，繩的另一端掛一個重物，把這塊三角尺的斜邊貼在桌面底部，結(jié)果繩子經(jīng)過三角尺的直角頂點，由此得出桌面是水平的（即掛重物的繩與桌面垂直），小斐用到的數(shù)學(xué)原理是．【答案】等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合【分析】根據(jù)等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合，即可．【詳解】解：∵是等腰三角形，∴，∵點O為的中點，∴，即掛重物的繩與桌面垂直，（等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合）故答案為：等腰三角形的底邊上的中線、底邊上的高，頂角的平分線互相重合．【點睛】本題主要考查了學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題與實際生活聯(lián)系密切，體現(xiàn)了從數(shù)學(xué)走向生活的指導(dǎo)思想，從而達到學(xué)以致用的目的．4．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，BA＝BC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為E，交BD于P點，PE＝3cm，則P點到直線AB的距離為．【答案】3cm【分析】由已知條件，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到∠ABD＝∠DBC，再利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到答案．【詳解】解：過點P作PF⊥AB與點F，∵BA＝BC，BD是AC邊上的中線，∴∠ABD＝∠DBC，即BD為角平分線，又PF⊥AB，PE⊥CB，∴PF＝PE＝3cm．故答案為：3cm．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·上海浦東新·七年級校考期末）如圖，在中，點、、分別在邊、、上，，，垂足為點，．(1)說明的理由；(2)若，請說明的理由．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（2）由外角性質(zhì)可得，由“”可證，可得．【詳解】（1）解：∵，，∴，且，∴；（2）解：，，∵，且，∴，且，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．A夯實基礎(chǔ)1．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）是等腰三角形，，則的周長為（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義分兩種情況：當(dāng)腰為與腰為時，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)?shù)难鼮闀r，的周長；當(dāng)?shù)难鼮闀r，的周長．故選：D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）等腰三角形的周長為，如果它的一邊長為，那么其另兩邊長為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】題目給出等腰三角形一條邊長為5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：（1）當(dāng)5是腰長時，底邊為，此時11、5、5三邊不能夠組成三角形，（2）當(dāng)5為底邊長時，腰長為，此時8、8、5能夠組成三角形，所以另兩邊長為8，8．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中，工人師傅在焊接立柱時，只用找到的中點D，這就可以說明豎梁垂直于橫梁了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（

）

A．等邊對等角 B．等角對等 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，∴，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形“三線合一”性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023秋·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，點E是斜邊的中點，垂直于，交于點D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根中點與垂直條件得出是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】∵點E是的中點，，∴是的垂直平分線，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了是線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等和角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·四川成都·七年級成都實外校考期末）一個等腰三角形有兩邊分別為4和9，則周長是．【答案】22【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：①若4為腰長，9為底邊長，由于，則三角形不存在；②若9為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故答案為22．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．6．（2023·福建福州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若等腰三角形兩邊的長分別為和，則此三角形的周長是.【答案】15【分析】分是腰長與底邊長兩種情況討論求解．【詳解】解：①是腰長時，三角形的三邊分別為、、，，不能組成三角形，②是底邊時，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長．綜上所述，這個等腰三角形的周長為．故答案為：15．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點在于要分情況討論并利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．7．（2023春·湖南益陽·八年級?？计谥校┤鐖D，為等腰直角三角形，，延長至點，連接，，則=．【答案】30°/30度【分析】根據(jù)為等腰直角三角形，，可得，由外角的性質(zhì)可得．【詳解】∵為等腰直角三角形，，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握其性質(zhì)．8．（2023春·山東菏澤·八年級牡丹區(qū)實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，則頂角為．【答案】36【分析】設(shè)頂角為，則底角為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程解題即可．【詳解】設(shè)頂角為，則底角為，解得∴頂角為36°故答案為：36．【點睛】本題考查等腰三角形de性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的兩個底角相等是解題的關(guān)鍵．9．（2023·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測）如圖，已知中，，．請用尺規(guī)作圖法，在上找一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】利用等邊對等角及三角形內(nèi)角和得到，故作即可得．【詳解】如圖點D為所求．【點睛】本題考查等邊對等角，尺規(guī)作垂直平分線，需要在一定構(gòu)圖特殊性下的尺規(guī)作圖，需要分析題中條件，得到長度角度關(guān)系，再考慮基礎(chǔ)尺規(guī)作圖的方法進行構(gòu)造即可．10．（2023春·廣東揭陽·七年級期末）如圖，已知中，，，且平分．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)70度【分析】（1）要求證：可以先根據(jù)角角邊定理證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)，得，再由三角形內(nèi)角和求出．【詳解】（1）（1）證明：∵平分，∴，∵，∵，∴，

∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握相關(guān)定理，靈活運用是解題關(guān)鍵．B能力提升1．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點在點的北偏西方向，點在點的正東方向，且點到點與點到點的距離相等，則點相對于點的位置是

A．北偏東 B．北偏東 C．南偏西 D．南偏西【答案】D【分析】根據(jù)題意求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進而求出，得到答案．【詳解】解：點在點的北偏西方向，

，點在點的正東方向，，，，，，點相對于點的位置是南偏西，故選：D．【點睛】本題考查的是方向角、等腰三角形的性質(zhì)，正確標注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出、、共線時，的值最小，最小值為的長度；【詳解】如圖連接PC，∴垂直平分，∴、、共線時，的值最小，最小值為的長度；

故選B【點睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型3．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）在證明等腰三角形的性質(zhì)定理：“等腰三角形的兩底角相等”時，李老師在黑板上出示了“已知，在中，，求證：．甲同學(xué)做法：“作的平分線，利用“”證明，則”；乙同學(xué)做法：“作邊上的高，利用“”證明，則”；丙同學(xué)做法：“作邊上的中線，利用“”證明，則”；下列說法正確的是(

)A．甲、乙、丙做法都對 B．甲、乙、丙做法都不對C．只有乙做法不對 D．只有丙做法不對【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)分別證明甲、乙、丙做法，即可求解．【詳解】解：甲同學(xué)做法：證明：如圖，作的平分線交于點，則，

在和中，，，，故說法正確；乙同學(xué)做法：如圖，作邊上的高，則，

在和中，，，，故說法正確；丙同學(xué)做法：證明：如圖，取的中點，連接，則，

在和中，，，，故說法正確；故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川達州·八年級校考期中）如圖，在中，，是邊的垂直平分線，垂足為E，交于F，是邊的垂直平分線，垂足為M，交于N．連接、則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．.【詳解】解：是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．5．（2023春·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長分別為2和3，則這個等腰三角形的周長為．【答案】7或8/8或7【分析】分類討論：當(dāng)該等腰三角形的腰長為2，底邊長為3時和當(dāng)該等腰三角形的腰長為3，底邊長為2時，先利用三角形三邊關(guān)系驗證是否成立，再求周長即可．【詳解】解：分類討論：當(dāng)該等腰三角形的腰長為2，底邊長為3時，∵，∴該等腰三角形成立，∴此時這個等腰三角形的周長為；當(dāng)該等腰三角形的腰長為3，底邊長為2時，∵，∴該等腰三角形成立，∴此時這個等腰三角形的周長為．綜上可知這個等腰三角形的周長為7或8．【點睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形有以下四類線：①底邊上的高②頂角的平分線③底邊上的中線④底邊上的垂直平分線．其中是等腰三角形的對稱軸的有個．【答案】1【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)已經(jīng)對稱軸的含義解答即可．【詳解】解：等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的垂直平分線是等腰三角形的對稱軸，底邊上的高所在的直線，頂角的平分線所在的直線，底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸，所以是等腰三角形的對稱軸的有1個．故答案為：1．【點睛】本題考查了等腰三角形以及軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，易錯點是熟記對稱軸是直線，不是線段．7．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，點B，D在射線上，點C，E在射線上，且，已知，則°．

【答案】【分析】由“等邊對等角”可得，由三角形的外角性質(zhì)可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵∴根據(jù)三角形的外角性質(zhì)有：∵∴解得：故答案為：【點睛】本題考查了等邊對等角、三角形的外角性質(zhì)．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．8．（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，在一張紙片上將翻折得到三角形，并以為邊作等腰，其中，且E，A，C三點共線，，則的度數(shù)是．

【答案】/152度【分析】根據(jù)折疊得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對等角．9．（2023春·山東濟南·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E．

(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)；【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得證；（2）由等邊對頂角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，，從而可求出．【詳解】（1）證明：∵的垂直平分線交于點D，∴，即是等腰三角形；（2）解：∵是等腰三角形，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題關(guān)鍵．10．（2023春·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點，與相交于點F．(1)若的周長為cm，求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，然后根據(jù)的周長即可求解．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的值，再求出的值，根據(jù)等邊對等角可得，然后運用三角形的內(nèi)角和定理進行計算．【詳解】（1）解：、分別垂直平分和，，的周長，的周長為cm，；（2）解：，，，，，，，．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．運用整體思想是解題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·河南開封·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，．分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，交于D，E兩點，直線交于點F，連接．以點A為圓心，為半徑畫弧，交延長線于點G，連接．若的周長為12，則的長為（

）

A．6 B． C．7 D．【答案】A【分析】由作圖過程可得，是的垂直平分線，可得，結(jié)合，所以，進而可以解決問題．【詳解】解：由基本作圖方法得出：垂直平分，，則，∵，∴，∴的周長為：．∴．故選：A．【點睛】本題考查了作圖基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．2．（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤鐖D，，點D在邊上，，和相交于點O，若，則的度數(shù)為（

）

A．71° B．69° C．67° D．65°【答案】B【分析】證明，得到，等邊對等角，求出的度數(shù)，即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，，∴，∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．3．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)、分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【詳解】解：，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，當(dāng)作腰時，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)或作為腰，分類求解．4．（2023秋·重慶南岸·八年級?？计谀┤鐖D，中，，，為邊上一點（不與、重合），將沿翻折得到，交于點．若為等腰三角形，則為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分兩種情況進行討論，當(dāng)時，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則，解出x即可；當(dāng)時，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則，則，解出y即可．【詳解】解：當(dāng)時，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，∵，∴，∵為等腰三角形，，∴，∵，∴，解得，當(dāng)時，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，∵，∴，∵為等腰三角形，，∴，∴，∵，∴，解得，綜上所述，的度數(shù)為或，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)將角與角建立聯(lián)系列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·甘肅張掖·七年級?？计谀┤?，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長是．【答案】【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出的值，再討論a為腰長和底邊長，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，當(dāng)腰長為3時，則該三角形的三邊長分別為，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形，當(dāng)腰長為6時，則該三角形的三邊長分別為，∵，∴此時能構(gòu)成三角形，∴該等腰三角形的周長為，故答案為：．【點睛】本