第11講實(shí)際問題與二次函數(shù)（原卷版）

第11講實(shí)際問題與二次函數(shù)【知識梳理】一．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．二．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識建立量與量的等式．三．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點(diǎn)剖析】一．二次函數(shù)的最值（共8小題）1．（2023春?錢塘區(qū)月考）已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y(tǒng)4，則y1，y2，y3中最值情況是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．無法判斷2．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣83．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤04．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．5．（2023?啟東市二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個完美點(diǎn)（2，2），且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣，最大值為1，則m的取值范是．6．（2023?九臺區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a﹣1圖象上有A、B兩點(diǎn)，我們把A、B兩點(diǎn)間的圖象記為圖象G，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a+2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2a+1，當(dāng)﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．7．（2023?蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動：同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．8．（2023?莒南縣二模）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值與最小值的差．（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．二．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（共10小題）9．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農(nóng)場計(jì)劃用木材圍成總長24m的柵欄，設(shè)面積為s（m2），垂直于墻的一邊長為x（m）．則s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：（并寫出自變量的取值范圍）10．（2022秋?濟(jì)南期末）學(xué)校準(zhǔn)備將一塊長20m，寬14m的矩形綠地?cái)U(kuò)建，如果長和寬都增加xm，設(shè)增加的面積是ym2．（1）求x與y之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若要使綠地面積增加72m2，長與寬都要增加多少米？11．（2022秋?濟(jì)南期末）如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面AB的寬度為20m．這時．拱高（點(diǎn)O到AB的距離）為4m．（1）你能求出在圖（a）的坐標(biāo)系中．拋物線的函數(shù)表達(dá)式嗎？（2）如果將直角坐標(biāo)系建成如圖（b）所示，拋物線的形狀、表達(dá)式有變化嗎？12．（2023?南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）13．（2022秋?大連期末）一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）214．（2022秋?撫松縣期末）用長為8m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設(shè)AB為x（m），則窗框的透光面積y（m2）關(guān)于x（m）的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）15．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．（不要求寫出定義域）16．（2022秋?黃浦區(qū)期末）在一塊底邊長為20厘米的等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如果矩形的一邊與等腰三角形的底邊重合且長度為x厘米，矩形另兩個頂點(diǎn)分別在等腰直角三角形的兩腰上，設(shè)矩形面積為y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．（不必寫定義域）17．（2022秋?岳普湖縣校級期末）如圖，有一座拱橋洞呈拋物線形狀，這個橋洞的最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖放在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．18．（2023?金水區(qū)校級模擬）將一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形（鐵絲全部用完且無損耗）如圖所示，設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25三．二次函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）19．（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB＝30米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米20．（2023?吉州區(qū)校級二模）地理學(xué)上把兩翼指向上風(fēng)方向，迎風(fēng)坡平緩前進(jìn)，背風(fēng)坡陡呈弧線凸出，平面呈拋物線的沙丘叫做“拋物線型沙丘”．如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線型沙丘，以拋物線型沙丘最頂端為O點(diǎn)，建立如圖示所示的坐標(biāo)系，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣15，﹣100），點(diǎn)B（a，﹣144）是圖1中沙丘左側(cè)兩個端點(diǎn)，則a的值為（）A．15 B．18 C．24 D．3621．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計(jì)劃在池中心位置豎直安裝一根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水距離也為3m，那么水管的設(shè)計(jì)高度應(yīng)為．22．（2023?陳倉區(qū)三模）如圖，某動物園的大門由矩形ABCD和拋物線形DMC組成，分別以AB、AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，AD＝米，拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）近期需對大門進(jìn)行裝修，工人師傅搭建一三角形木架OPE方便施工，點(diǎn)P正好在拋物線上且在點(diǎn)M右側(cè)，支撐桿PE⊥x軸于點(diǎn)E，PE＝3米，求支撐桿PE與大門最右側(cè)的水平距離BE．23．（2023?靖邊縣二模）物理課上我們學(xué)習(xí)了物體的豎直上拋運(yùn)動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運(yùn)動的時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40m；②h與t之間的函數(shù)關(guān)系式為；③小球的運(yùn)動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個24．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．25．（2023?順平縣模擬）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點(diǎn)O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.375米的石榴樹AB．（1）噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是米；（2）若要對這棵石榴樹進(jìn)行噴灌，則需將噴灌架向后移動米．26．（2023?橫山區(qū)三模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）OC＝1m，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為12m時，達(dá)到最大高度7m，草坡上距離O的水平距離為18m的點(diǎn)A處有一棵高米的小樹，小樹垂直水平地面且點(diǎn)A到水平地面的距離為3m．?（1）請判斷水流能否澆灌到小樹后面的草地？并說明理由；（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某炮兵部隊(duì)實(shí)彈演習(xí)發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間x與高度y的關(guān)系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時的高度相等，則在下列哪一個時間段炮彈的高度達(dá)到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒2．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．3．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價x（元/個）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價定為16元/個，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價定為20元/個，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價?成本價）（

）A．10 B．12 C．14 D．154．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米5．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園，共中一邊是墻，且的長不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結(jié)論：①的長可以為；②的長有兩個不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┪靼泊笱闼魳穱娙俏靼驳囊粡埫?，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)確定，其中1為實(shí)數(shù)．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應(yīng)的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，動點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)，沿射線，射線的方向勻速運(yùn)動，且速度的大小相等，連接，，．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．9．（2023·河北唐山·二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母為拋物線支架的最高點(diǎn)，燈罩距離地面米，最高點(diǎn)距燈柱的水平距離為米，燈柱為米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離為多少米．（

）

A． B． C． D．10．（2023春·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、填空題11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計(jì)劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是______米．

12．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為，那么兩排燈的水平距離是________________米．13．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離_________m．

14．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）關(guān)于水平距離x（單位：米）的函數(shù)解析式是，則該男生鉛球推出的距離是_______米．15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為厘米和厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬為厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為____________．

16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）某超市購進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為______元（利潤＝總銷售額－總成本）．

17．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）一塊三角形材料如圖所示，，，，用這塊材料剪出一個矩形，其中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在上，能夠剪出的矩形的面積最大為________．

18．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面，水面寬．如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是________．

三、解答題19．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）鄭州市彩虹橋新橋?qū)⒂?023年9月底建成通車．新橋采用三跨連續(xù)單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開放與創(chuàng)新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測得拱肋的跨度為120米，與中點(diǎn)O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細(xì)），是否存在一根系桿的長度恰好是長度的？請說明理由．20．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，掃地機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機(jī)器人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第（為整數(shù)）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中為一折線）．

(1)當(dāng)時，求每臺的銷售價格與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該產(chǎn)品2022年第個月的銷售數(shù)量為（單位：萬臺），m與的關(guān)系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數(shù)量）21．（2023·云南昆明·云大附中?？既＃┚W(wǎng)絡(luò)銷售是一種重要的銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品．其中一種當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量與銷售單價（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中）

(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)每天銷售該特產(chǎn)的利潤為元，則銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?22．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，是學(xué)校灌溉草坪用到的噴水設(shè)備，噴水口C離地面垂直高度為1.5米，噴出的水流都可以抽象為平面直角