專題4.10直線與角章末九大題型總結（培優(yōu)篇）（滬科版）（原卷版）

專題4.10直線與角章末九大題型總結（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1直線、射線、線段、角的相關概念辨析】 1【題型2根據(jù)線段間的關系判斷結論】 2【題型3根據(jù)線段間的關系求線段長度】 3【題型4鐘表中的角度計算】 4【題型5根據(jù)角與角之間的關系判斷結論】 5【題型6根據(jù)角與角之間的關系求角度】 7【題型7線段中的分類討論思想問題】 8【題型8角度中的分類討論思想問題】 10【題型9展開與折疊】 11【題型1直線、射線、線段、角的相關概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級河南省實驗中學?？计谥校┫铝姓Z句正確的有(

)（1）線段AB就是A、B兩點間的距離；（2）畫射線AB=10cm；（3）A，B兩點之間的所有連線中，最短的是線段AB；（4）在直線上取A，B，C三點，若AB=5cm，BC=2cm，則AC=7cm．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式11】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個數(shù)為n，則n?m的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式12】（2023上·天津北辰·七年級統(tǒng)考期末）如圖，辰辰同學根據(jù)圖形寫出了四個結論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過點C．其中結論正確的結論是．【變式13】（2023上·七年級單元測試）如圖,已知A、B、C、D四點,根據(jù)下列要求畫圖:(1)畫直線AB、射線AD；(2)畫∠CDB；(3)找一點P，使點P既在AC上又在BD上.【題型2根據(jù)線段間的關系判斷結論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點，AB=20，C為AD的中點，則下列選項正確的是（

）A．若BE?DE=0，則AE?CD=7 B．若BE?DE=2，則AE?CD=7C．若BE?DE=4，則AE?CD=7 D．若BE?DE=6，則AE?CD=7【變式21】（2023上·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），點D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點，下列結論：①圖中的點D，P，C，E都是動點；②AD>BE；③AB=2DE；④當AC=BC時，點P與點C重合．其中正確的是．（把你認為正確結論的序號都填上）【變式22】（2023上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，B在線段AC上，且BC=3AB，D是線段AB的中點，E是BC的三等分點，則下列結論：①EC=13AE，②DE=5BD，③BE=13A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式23】（2023上·福建泉州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，AB=30，C為射線AB上一點，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①BC=2AC；②運動過程中，QM的長度保持不變；③AB=4NQ；④當BQ=PB時，t=12，其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3根據(jù)線段間的關系求線段長度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級單位·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB=23，BC=15，點M是AC的中點．

(1)求線段AM的長；(2)在CB上取一點N，使得CN:NB=2:3，求線段MN的長．【變式31】（2023上·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)題意，補全解題過程．如圖，已知點C為線段AB的中點，E為線段AB上一點，且AE:EB=2:5，若EC=3，求線段AB的長度．

解：設AE=2x，∵AE:EB=2:5，∴EB=______，∴AB=AE+______=______，∵C為AB的中點，∴AC=______=______，∴EC=______?AE=______，∵EC=3，∴x=______，∴AB=7x=______．【變式32】（2023上·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，線段BD=13AB=14CD，點M、N分別是線段AB、

【變式33】（2023上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB=12，AC=8，求MN的長；

（2）設AB=a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=②若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，BN=【題型4鐘表中的角度計算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應的是30°角，每個小格對應的是6°角，時針每分鐘轉過的角度是0.5度，分針每分針轉過的角度是6度．(1)解決問題：當時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針所夾的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針．(3)設在8：00時，分針的位置為OA，時針的位置為OB，運動后的分針為OP，時針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【變式41】（2023上·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動，時針與分針正常運行．小晶發(fā)現(xiàn)3點整時，秒針正好是時針與分針夾角的角平分線，經(jīng)過m分鐘后，秒針又一次成為時針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【變式42】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）七年級學生小聰和小明完成了數(shù)學實驗《鐘面上的數(shù)學》后，制作了一個模擬鐘面，如圖所示，點O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針OA、OB分別從OM、ON出發(fā)繞點O轉動，OA順時針轉動，OB逆時針轉動，OA運動速度為每秒轉動15°，OB運動速度為每秒轉動5°，設轉動的時間為t秒（(1)當t=3秒時，求∠AOB的度數(shù)；(2)當OA與OB第三次重合時，求∠BOM的度數(shù)；(3)在OA與OB第四次重合前，當t=___________時，直線MN平分∠AOB．【變式43】（2023上·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時刻的時針與分針，∠AOB＝60°，在時針與分針轉動過程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【題型5根據(jù)角與角之間的關系判斷結論】【例5】（2023上·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，OB在∠AOC內(nèi)部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分線，∠BOC=3∠COE，則下列結論：①∠EOC=13∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=12

【變式51】（2023上·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結論中錯誤的是（）A．OB、OC分別平分∠AOC、∠BODB．∠AOD=∠AOB+∠AOCC．∠BOC=D．∠COD=【變式52】（2023上·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結論正確的是（

）∠AOM=3∠NOC B．∠AOM=2∠NOC C．2∠AOM=3∠NOC D．3∠AOM=5∠NOC【變式53】（2023上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，現(xiàn)給出以下4個結論：①∠DOE=∠AOF；②2∠DOF=∠AOF?∠COF；③∠AOD=∠BOC；④∠EOF=12∠COF+∠BOF【題型6根據(jù)角與角之間的關系求角度】【例6】（2023上·黑龍江大慶·七年級?？计谀┮阎螦OB=120°，從∠AOB的頂點O引出一條射線OC，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，將射線OC繞點O逆時針旋轉60°形成∠COD．

(1)如圖1，若∠AOD=90°，比較∠AOC和∠BOD的大小，并說明理由；(2)作射線OE，射線OE為∠AOD的平分線，設∠AOC=α．①如圖2，當0°<α<60°，若射線OC恰好平分∠AOE，求∠BOD的度數(shù)；②當α≠60°時，請?zhí)骄俊螮OC與∠BOD之間的數(shù)量關系．【變式61】（2023上·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，OE平分∠BOD，∠AOB=90°，∠COD=110°，∠AOD=40°，求∠COE的度數(shù)．【變式62】（2023下·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）點O為直線AB上一點，在直線AB同側任作射線OC，OD，使得∠COD=90

(1)如圖1，過點O作射線OE，使OE平分∠AOC，當∠COE=25°時，(2)如圖2，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOD的角平分線時，求出∠BOD與∠COE的數(shù)量關系．【變式63】（2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答問題．數(shù)學課上，老師提出了如下問題：已知點O在直線AB上，∠COE=90°，在同一平面內(nèi)，過點O作射線OD，滿足∠AOC=2∠AOD．當∠BOC=40°時，如圖1所示，求∠DOE的度數(shù)．

甲同學：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵點O在直線AB上，∴∠AOB=°，∵∠BOC=40°，∴∠AOC=°，∵∠AOC=2∠AOD，∴OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=∵∠DOE=∠COD+∠COE，∠COE=90°，∴∠DOE=°．乙同學：“我認為還有一種情況．”請完成以下問題：(1)請將甲同學解答過程中空缺的部分補充完整．(2)判斷乙同學的說法是否正確，若正確，請在圖1中畫出另一種情況對應的圖形，并求∠DOE的度數(shù)，寫出解答過程；若不正確，請說明理由．(3)將題目中“∠BOC=40°”的條件改成“∠BOC=α”，其余條件不變，當α在90°到180°之間變化時，如圖3所示，α為何值時，∠COD=∠BOE成立？請直接寫出此時α的值．【題型7線段中的分類討論思想問題】【例7】（2023上·江西吉安·七年級?？计谀┰谕恢本€上有A,B,C,D不重合的四個點，AB=8,BC=3,CD=5，則AD的長為．【變式71】（2023上·山西晉城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的中點，且AB=9cm

(1)圖中共有___________條線段；(2)求AD的長；(3)若點E在直線AB上，且EA=3cm，直接寫出DE【變式72】（2023上·湖北武漢·七年級校考期末）已知，直線l上線段AB=6、線段CD=2(點A在點B的左側，點C在點D的左側)．(1)若線段BC=1，則線段AD=；(2)如圖2，點P、Q分別為AD、BC的中點，求線段PQ的長度；(3)若線段CD從點B開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時，點M從點A開始以2個單位/秒的速度向右運動，點N是線段BD的中點，若MN=2DN，求線段CD運動的時間．【變式73】（2023上·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有公共端點C的兩條線段AC，BC組成一條折線A?C?B，若該折線A?C?B上一點D把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點D叫做這條折線的“折中點”．

（1）若AC=BC，點D與重合（填A、B、C）；（2）若E為線段AC中點，EC=5cm，CD=2cm，則BC的長為【題型8角度中的分類討論思想問題】【例8】（2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC=40°，OD平分∠AOC．

(1)求∠AOD的度數(shù)；(2)作射線OE，使∠BOE=23∠COE(3)在（2）的條件下，作∠FOH=90°，使射線OH在∠BOE的內(nèi)部，若∠DOF=3∠BOH，∠COE>90°直接寫出∠AOH的度數(shù)．【變式81】（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB=18°，∠AOC=3∠AOB，則∠BOC的度數(shù)是．【變式82】（2023上·廣東肇慶·七年級統(tǒng)考期末）在同一平面內(nèi)，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，求∠BOD的度數(shù)．【變式83】（2023上·廣東珠?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）已知O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)在圖1中，若∠AOC=28°，求∠DOE的度數(shù)；(2)在圖1中，若∠AOC=α，求∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置，且保持射線OC在直線AB上方，在整個旋轉過程中，當∠AOC的度數(shù)是多少時，∠COE=3【題型9展開與折疊】【例9】（2023上·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）某綜合實踐小組進行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動．他們準備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．操作探究如下：

(1)若準備制作一個無蓋的正方體紙盒，圖1中的_________圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒．(2)圖2是小明的設計圖，把它折成無蓋正方體