53模擬試卷初中數(shù)學八年級下冊09專項素養(yǎng)綜合全練(九)

專項素養(yǎng)綜合全練(九)新定義型試題類型一函數(shù)新定義1.新定義:[a,b]為一次函數(shù)y=ax+b(a≠0,a,b為實數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為[3,m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù),則點(1-m,1+m)在第象限內(nèi).

2.定義:一次函數(shù)y=ax+b和一次函數(shù)y=-bx-a為“逆反函數(shù)”,如y=3x+2和y=-2x-3為“逆反函數(shù)”.若點A(a,3)在y=x+2的“逆反函數(shù)”的圖象上,則a=.

類型二三角形新定義3.我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫常態(tài)三角形.例如:一個三角形的三邊長分別是5,6和8,因為62+82=4×52=100,所以這個三角形是常態(tài)三角形.(1)若△ABC的三邊長分別是2,5和4,則此三角形常態(tài)三角形(填“是”或“不是”);

(2)若Rt△ABC是常態(tài)三角形,則此三角形的三邊長之比為(從小到大排列);

(3)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD=AD=DB,若△BCD是常態(tài)三角形,求△ABC的面積.類型三四邊形新定義4.定義:有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形,這兩個角的夾邊稱為鄰余線.(1)如圖①,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E,F分別是BD,AD上的點,求證:四邊形ABEF是鄰余四邊形;(2)在如圖②所示的方格紙中,A,B在格點上,請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF,使AB是鄰余線,E,F在格點上.5.如圖①,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解:如圖②,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.(2)性質(zhì)探究:如圖①,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,AC⊥BD,試證明:AB2+CD2=AD2+BC2.(3)解決問題:如圖③,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE、BG、GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長.圖③6.定義:如果四邊形的一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離都等于這條對角線長的一半,那么我們稱這樣的四邊形為“等距四邊形”.(1)在等腰梯形、矩形、菱形中,是“等距四邊形”的是;

(2)如圖①,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,BE⊥CD于點E,點F是菱形ABCD邊上的一點,順次連接B、E、D、F,若四邊形BEDF為“等距四邊形”,求線段EF的長;(3)如圖②,已知等邊△ABC的邊長為4,點P是△ABC內(nèi)一點,若過點P可將△ABC恰好分割成三個“等距四邊形”,求這三個“等距四邊形”的周長和.

答案全解全析1.答案二解析∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”為[3,m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù),∴y=3x+m-2是正比例函數(shù),∴m-2=0,解得m=2,則1-m=-1,1+m=3,故點(1-m,1+m)在第二象限內(nèi).2.答案-2解析根據(jù)題意可知y=x+2的“逆反函數(shù)”為y=-2x-1.∵點A(a,3)在y=x+2的“逆反函數(shù)”的圖象上,∴3=-2a-1,∴a=-2.3.解析(1)是.(2)2∶3∶5.(3)設CD=x(x>0),則AB=2x,∵△BCD是常態(tài)三角形,∴有以下兩種可能.①當x2+x2=4BC2=4×62=144時,x2=72,∴x=62,∴AB=122,由勾股定理得AC=AB2-BC2=288?36=67,則S△ABC=12AC·②當x2+62=4x2時,x2=12,∴x=23,∴AB=43,由勾股定理得AC=(43)2-62=12=23,則S△ABC=12AC·綜上,△ABC的面積為63或187.4.解析(1)證明:∵AB=AC,AD是△ABC的角平分線,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∴∠FAB與∠EBA互余,∴四邊形ABEF是鄰余四邊形.(2)如圖所示,四邊形ABEF即為所求.(答案不唯一)5.解析(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.理由:∵AB=AD,∴點A在線段BD的垂直平分線上.∵CB=CD,∴點C在線段BD的垂直平分線上,∴直線AC是線段BD的垂直平分線,∴AC⊥BD,∴四邊形ABCD是垂美四邊形.(2)證明:∵AC⊥BD,∴在Rt△ABO中,OA2+OB2=AB2,在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2,在Rt△OCD中,OC2+OD2=CD2,在Rt△ODA中,OD2+OA2=AD2,∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.(3)如圖,連接CG,BE,設CE交BG于點N,交AB于點M.∵∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在△GAB和△CAE中,AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,∴∠BNM=90°,∴CE⊥BG,∴四邊形CGEB是垂美四邊形.由(2)可得CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=42,BE=52,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=73.6.解析(1)等腰梯形的對角線相等,但一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離之和大于另一條對角線的長,不符合題意.矩形的對角線相等且互相平分,一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離等于這條對角線長的一半,符合題意.菱形的對角線互相平分,對角線不一定相等,因此一條對角線的中點到另外兩個頂點的距離不一定等于這條對角線長的一半,不符合題意.故填矩形.(2)根據(jù)“等距四邊形”的定義可知,當點F在AD上,且BF⊥AD時,四邊形BEDF是“等距四邊形”,如圖,取BD的中點O,連接OF,OE,EF.∵BF⊥AD,BE⊥DC,∴∠BFD=90°,∠BED=90°,∴OF=OE=12BD,∴四邊形BEDF是“等距四邊形”.在菱形ABCD中,∠A=60°,AD∥BC,∴∠C=∠A=60°,∠ABC=180°-∠A=120°,∴∠ABF=∠CBE=30°,∴∠EBF=∠ABC-∠ABF-∠CBE=60°,根據(jù)菱形是軸對稱圖形,易證BF=BE,∴△BEF是等邊三角形,∴EF=BF.在Rt△ABF中,∠ABF=30°,AB=4,∴AF=2,由勾股定理得BF=23,∴EF=BF=23當點F在AB上,且DF⊥AB時,四邊形BEDF是“等距四邊形”,如圖,連接BD,EF交于點O.∵DF⊥AB,BE⊥DC,∴∠BFD=∠BED=90°.∵AB∥CD,∴∠FBE=180°-∠BED=90°,∴∠BFD=∠BED=∠FBE=90°,∴四邊形BEDF是矩形,∴BD=EF,在菱形ABCD中,AD=AB=4,∠A=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴BD=AB=4,∴EF=4.綜上,EF=23或4.(3)過點P分別作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分別為D,E,F,如圖,由(2)易證四邊形ADPF,四邊形BEPD,四邊形ECFP是“等距四邊形”,過點A作AG⊥BC于G,連接AP,BP,CP,則S△ABC=12BC·AG,S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC,在Rt△ABG中,∠ABC=60°,則∠BAG=30°.又∵AB=4,∴BG=2.在Rt△ABG中,由勾股定理,得AG=23,∴S△ABC