高中數(shù)學1理 第三章導數(shù)及其應(yīng)用

第三章

DISANZHANG導數(shù)及其應(yīng)用

以基本初等函數(shù)為轂體.利用導數(shù)研究函數(shù)的單?調(diào)題型以一大或一小一大形式出現(xiàn).小題以

題型難度

性.械值、蚊值.零點問題.同時與解不等式關(guān)系密考查內(nèi)容基礎(chǔ)為主,大題常常為壓軸J8.有一定的

切.還可能與三M函數(shù).數(shù)列等知識綜合考花難度和區(qū)分度.

高考對本章內(nèi)容的考查較為穩(wěn)定.選擇膻.發(fā)空題

與解答題第（1）何以考杳導數(shù)的兒何意義為主.

命翅特點核心素養(yǎng)-------

解答題大致可以分為以卜幾種情形：（1）考查函一\命題z規(guī)律A--------對號科核心索養(yǎng)的為代“數(shù)學運算和逆輯推

數(shù)的單調(diào)性.極值與Jft值；（2）對函數(shù)零點的討理為主.

論；（3）考查不等式的證明；（4）考查不等式包

成立或有解時參數(shù)的取值范I吼

本率內(nèi)容為高考每年必考內(nèi)容.總分值為12或1：

分.在高考中占比較大

第一節(jié)變化率與導數(shù)的概念及運算、定積分

■梳教初?固基礎(chǔ)------基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.導數(shù)的概念

⑴函數(shù)y=/（x）在x=x0處導數(shù)的定義稱函數(shù)y=/（x）在x=x0處的瞬時變化率

心:產(chǎn)+及刎為函數(shù)y=?x）在x=xo處的導數(shù),記作f（沏）或

，im

v'IY—m即.，sLlim或一1―）一段0）

）僅一如即/（X°）-/L0/X—/LOAX

（2）導數(shù)的幾何意義

函數(shù)人r）在點刈處的導數(shù)，恤）的幾何意義是在曲線y=；（x）上點P（xo,光）處的切線的

斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)s⑺對時間t的導數(shù)）.相應(yīng)地，切線方程為v—yo=廣（xo）Cr

一超）?

（?）函數(shù)#丫）的導函數(shù)

稱函數(shù)/（x）=，，m嚴方一?為/U）的導函數(shù).

4LO

點撥（1/（xo）代表函數(shù)人外在x=xo處的導數(shù)值；（/U）））'是函數(shù)值人孫）的導數(shù)，而函

數(shù)值人的是一個常量，其導數(shù)為0,即（ZU）））'=0.

（2）f㈤是一個函數(shù)，與/（沖）不同.

2.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

y（x）=c（c為常數(shù)）/(%)=o

凡i)=Y(a￡Q')f(M=鵬|

j(x)=sinxf(x)=cos_x

J(x)=cosxM=一sin/

j(x)=a\a>0,且aKl)f(x)=a'ln"

段)=9f(x)=e

/a尸i

7(x)=logflX(a>0,且aWl)

fix)=\nxf8=:

3.導數(shù)的運算法則

(i)［/(x)±ga)］'=n(幻士E(幻.

(2)［/(x>g(x)］，=f(x)jgtv)+Rr)a'(x).

nJ匣］_f。皿。)一段)g'。)

(3W-［g(刈2(g(MO)?

點撥求導其實質(zhì)是一種數(shù)學運算即求導運算，有公式和法則，也有相應(yīng)的適用范圍或

成立條件，但要注意這一點，如(？)'=，1-1中，〃W0且nGQ\

f(x)g(x)-/U)X'Q)

,g(x)WO,要滿足“=”前后各代數(shù)式有意義，且導致都存在.

g2(X)

4.定積分的性質(zhì)

(l)/，kf(x)dx=k/f(x)dx(k為常數(shù));

(2)y［fi(x)±f2(x)］i/x=/%(x)dx±/，f2(x)dx；

(3)/f(x)dx=/f(x)dx+「f(x)4x次中a<c<b).

點撥’求分段工數(shù)的定積3,可以先確定不同區(qū)間上的函數(shù)解析民，然后根據(jù)定積分的

性質(zhì)進行計算.

5.微積分基本定理

一般地，如果f(x)是區(qū)間⑶b］上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x),那么￡f(x)dx=F(b)

—F(a),常把F(b)—F(a)記作F(x)?,即/〃f(x)dx=F(x)?=F(b)—F(a).

［基礎(chǔ)自測］

1.若f(x)=xd,則f'(1)等于()

A.0B.eC.2eD.e2

［答案］C

2.已知f(x)=x/〃x,若f'(x/=2,則xo等于()

A.e2B.eD.In2

［答案1B

3.(2018?高考全國I卷，改編)函數(shù)f(x)=x3在(0,0)處的切線為()

A.不存在B.X-0C.y—0D.y-x

［答案］C

4.曲線y=x?+；在點(1,2)處的切線方程為______

A

［答案］x—y+l=0

5.(易錯點：積分與圖形面積關(guān)系)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為

［答案］|

?BI考點?練方法-----點明為綱關(guān)鍵能力

考點一導數(shù)的運算

［例1］(1)已知f(x)=x(2020+歷x),若「(xo)=2021,則xo=()

A.e2B.1C.In2D.e

B［f‘(x)=2020+/〃x+x1=2021+/〃x,

故由f'(xo)=2O21,得2O21+/〃xo=2O21,

則加xo=O,解得xo=L］

⑵已知函數(shù)f(x)=(2x+1)〃.F(x)為f(x)的導函數(shù).貝Ijf'(①的值為

［解析］f'(x)=2eX+(2x+l)F=(2x+3)e\所以f'(0)=3.

［答案］3

(3)已知函數(shù)f(x)=f'仔)cosx+s加X,貝的值為.

［解析］因為f(x)=f'修)C"x+si〃x,

所以f'(X)=—f'加x+cosX,

故「僚=一『修)后+c若，

得F儕=啦一1.

所以吁)=(應(yīng)一1>C若+s謂=L

［答案I1

方法指導求導運算應(yīng)遵循的2個原則

(1)求導之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減

少運算量，提高運算速度，減少差錯.

(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等式等變形

將函數(shù)先化簡，然后進行求導，有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量.

［思維變式］

1.已知y=(x+l)(x+2)(x+3),則y'=()

A.3x2—12x+6B.x2+12x-11

C.X2+12X+6D.3X2+12X4-11

D［法一y'=(x+2)(x+3)+(x+1)(x4-3)+(x+l)-(x+2)=3x24-12X4-11.

法二Vy=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+llx+6,，y'=3x2+l2x+II.］

2.已知fi(x)=si〃x+cosX,fn+l(x)是fn(x)的導函數(shù)，即f2(X)=f/(X),fj(X)=(2'(X),…，

,

fn+i(x)=f?(x),neN*,則加以(x)等于()

A.—sinx—cosxB.sinx—cosx

C.-sinx+cosxD.sinx+cosx

D「?,力(x)=sinx+cosx,工力(x)=/j'(x)=cosx-sinx,???力(x)=力'(x)=_sinx—cosx,

.*.74(x)=力'(x)=-cosx+sinx,

???樂(x)=f4'(x)=sinx+cosx,

???工心)是以4為周期的圖數(shù)，

??fi021(.^)—f\(Jt)=sin+cosx,故選D.］

工若尸土+*,則<=——.

I+A/X+1-y［x__2_

［解析］y-(i-m)(1+也)一匚?

,v，V0「E2

I答案1,

考點二導數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

角度1已知切點的切線問題

［例2］(1)已知人村為偶函數(shù)，當％<0時，1幻=加(一x)+3x,則曲線y=/(x)在點(1,-3)

處的切線方程是.

［解析1由題意可得當x>0時，/(x)=lnx—3x,則/(x)=--3,/(1)=-2,則在點(1,

一3)處的切線方程為y+3=-2(x-l),即2r+y+l=O.

［答案］2x+y+l=O

(2)設(shè)函數(shù)yU)=V+(a—1)*若兒。為奇函數(shù)，則曲線y=/U)在點(0,0)處的切線方程

為()

A.y=-2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

Dr?力力=丁+(。-1"2+依為奇函數(shù)，Aa-1=0,得a=l,.\/(x)=V+x,：.f(x)

=3f+l,(0)=1,則曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線方程為了=居故選D.］

角度2未知切點的切線問題

［例3］(1)已知函數(shù)/(x)=Hnx,若直線/過點(0,—1),并且與曲線)，=4工)相切，則直

線/的方程為.

［解析］???點(0,一。不在曲線人x)=xlnx上，

；?設(shè)切點為(xo,yo).XV/(x)=l+lnx,

；?直線，的方程為y+l=(l+lnx())x.

(yo=xoln%o>

???由J、解得xo=l,刈=0.

l.yo+1=(l+lnxo)xof

，直線/的方程為y=x-l,即x-y-l=O.

［答案］x-y-\=O

(2)(2021?陜西模擬)設(shè)曲線在點(0,1)處的切線與曲線y=%x>0)上點P處的切線垂

直，則點尸的坐標為()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,-1)D.(一1,1)

A［對了=^求導得y'=eA,令x=0,得曲線y=e*在點(0,1)處的切線斜率為1,故曲

線y=：(x>0)上點尸處的切線斜率為一1,由y'=—?=-1,得x=l,則y=l,所以點、P

的坐標為(1,1).故選AJ

角度3根據(jù)切線問題求參數(shù)

［例4］(1)直線尸乙+1與曲線尸/+融+方相切于點A(l,3),則b的值為.

［解析］因為直線,)，=履+1與曲線)，=/+ax+b相切于點A(l,3),

2+1=3,

所以，?

1+。+8=3,

又因為y=)?-\-ax-\-b,

所以y'=3f+a,當x=l時，)，'=3+a,得切線的斜率為3+%所以2=3+。;②

所以由①②得：b—3.

［答案13

(2)若曲線G：產(chǎn)ad(q>0)與曲孥。2：尸e*存在公共切線，則a的取值范圍為()

A.+8)B.(0,yC.*+8)D.0,j

C［由)，=加(〃>0),得y'=2ar,由y=e\得y'=ev,

設(shè)公切線與y=ar2^>。)切于點(即，混),與y=e”切于點(及，eX2),

則23=必=些3，將2因=加代入2的=吟士

X2-X|%2一由

可得比『+2,.??仁壽=缶

.?F“eA(x—2)

?己/此=4(1—1)，/。)=4(1一］)2

當x￡(l,2)時，f(x)<0,當x￡(2,+8)時，/(x)>0,

2

故人X)min=?/(2)=，，

故a吟,+0°.］

方法指導導數(shù)幾何意義應(yīng)用的類型及解法

1.已知切點A(沏，?))求斜率鼠即求該點處的導數(shù)值(xo).

2.若求過點P(xo,泗)的切線方程，可設(shè)切點為(R,yi),由|,、求解

l)\)-yi=J(X1)(XO-X1)

即可.

3.已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導數(shù)等于切線斜率的方程.

［思維變式］

1.如圖，yfx)是可導函數(shù)，直線/：y=kx+2是曲線y=/(x)在x=3處的切線，令g(x)

=猶刀)，針。)是g。)的導函數(shù)，則g'(3)=()

C.2D.4

B［依題意得43)=k3+2=1,k=-g,

則/(3)=%=—/g'(3)=(3)+V(3)=1—1=0,故選B.］

2.(2021?四川成都模擬)曲線y=xsinx在點Pg0)處的切線方程是()

A.y=_TCX+TT2B.y=nx-\-TT

C.y=—nx—ivD.y=nx—n1

A［因為y=xsinx,所以y'=sinx+xcosx,在點P(n,0)處的切線斜率為Z=sin7t+7tcos

n=—n,所以曲線y=xsinx在P(兀，0)處的切線方程是)，=一兀(工一兀)=一心+兀?.故選A.］

3.已知?r)=f,則曲線y=J(x)過點P(—1,0)的切線方程是.

［解析］設(shè)切點坐標為(xo,焉)，

V/(x)=2x,工切線方程為y-O=2xo(x+l),

???焉=2xo(xo+1),

解得的=0或xo=-2,

，所求切線方程為y=0或)，=—4(x+l),

即y=0或4x+y+4=0.

［答案］y=0或4x+y+4=0

考點三定積分與微積分基本定理

角度1求函數(shù)的定積分

［例5］計算下列函數(shù)的定積分：

x?+2x)dx：

(2)「sinx—cosx)dx；

(4)f1—sin2xdx.

［解］⑴f'(-X2+2X)JX=p—X2)</X+r'2xdx=^—1X3^+(X2)A=-1=|.

J°J0J0

(2)x-cosx)dx=C^sinxdx-(^cosxdx=(-cosx)3-s加x6=2.

JoJoJo

言點+2—In13〃+/〃2.

(3)2'

(4)f^cf\j1-sin2x</x=/蘇|$加x-cosx|dx=f和(cosx-sinx)dx+/黃x—cosx)dx

=(sinx+cosx方o+(-cos\—sinx)劈=6-1+(-1+&)=2吸-2.

角度2求曲邊梯形的面積

[例6](1)如圖所示，曲線y=x2-l,x=2,x=0,y=0圍成的陰影部分的面積為()

A.￡"-1|”

B.f(1-x2)Jx+J-'(x2-l)dx

fi)(u

D.，/2-l)dx

A［由曲線y=f—1,直線x=0,%=2和K軸圍成的封閉圖形的面積為S=/（l—『）dx

+f］）dx.

根據(jù)對稱性，它和函數(shù)），=*—1|,直線x=0,x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積相等,

如圖所示，即5=1|『一1也.］

（2）由曲線y=yfx,直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為（）

410

A?至B.4C.-yD.6

C［作出曲線y=S和直線），=x—2的圖象（如圖所示），所求面枳為陰影部分的面積.

V=A/X

由_；得交點4（4⑵.因此y=皿與y=x—2及），軸所圍成的圖形的面積為,［Q

/(G—x+2)dr=修++2,1=]x8—16+2X4=?.故選C.]

一(x-2)]dx=

方法指導

1.求定積分的方法：

（1）利用定義求定積分，可操作性不強.

（2）利用微積分基本定理求定積分的步躲如下:

①求被積函數(shù)4x）的一個原函數(shù)F（x）；

②計算尸（加一尸3）.

2.定積分/yu)dx的幾何意義是X軸、曲線凡r)以及直線x=a,x=b圍成的曲邊梯形的

面積的代數(shù)和.在區(qū)間［a,句上連續(xù)的曲線y=/(x)和直線x=a,x=b(a^=b),y=0所圍成的

曲邊梯形的面積S=/VWkk.

［思維變式］

x2,x￡[0,1],

L設(shè)W2]，則虐心等于()

345

A.^B.gD.不存在

3

f(2—x)dx=1x?

2.定積分1.9—『心的值為.

［解析］由定積分的幾何意義知「\/9—x2dx是由曲線y=y［9—j?,直線x=0,x=3,y

=0圍成的封閉圖形的面積.

故j79Tdx=等=竽

［答案?

3.由曲線y=f,y=5圍成的封閉圖形的面積為()

A6B-3CtD.1

B［由題意可知所求面積(如圖陰影部分的面積)為/(小一x?)dx=(fg—

?鐐高考-提素養(yǎng)素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

1.（2019?全國III卷）已知曲線y=aer+xlnx在點（1,ae）處的切線方程為）=2x+b,則（)

A.a=e,b=~\B.a=e,b=\

C.a=eIb=1D.?=e,,b=—\

z

D「?}'=〃F+lnx+l,r.y|x-i=?e+l,

；?2=ae+l,；?4=廣|.，切點為（1,1）,

將（1,1）代入y=2x+A,得1=2+6,

/./?=-1,故選D.］

2.（2019?全國I卷）曲線y=3*+x）e'在點（0,0）處的切線方程為.

［解析］???），'=3，+31+1）巴???曲線在點（0,0）處的切線斜率4=y‘ko=3,??.曲線在

點（0,0）處的切線方程為y=3x.

［答案］y=3x

3.（2019?全國II卷）曲線y=2$inx+cosx在點（冗，一1）處的切線方程為（）

A.X-y-K-1=0B.2x-y-2兀-1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x+y—兀+1=0

C［設(shè)y=y（x）=2sinx+cosx,則f（x）=2cosx—sinx,

:.f（7t）=-2,???曲線在點（兀，一1）處的切線方程為y—（—1）=—2（x—兀），即2x+y—27r

+1=0.故選^

點評以上三題命題點都是基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的幾何意義應(yīng)用，目的考查基礎(chǔ)

知識和基本方法，考查數(shù)學運算，邏輯推理的學科素養(yǎng).

4.（2018?全國川卷）函數(shù)），=一爐+/+2的圖象大致為（）

D［*?fix）=-A4+A24-2,:,f（x）=-4/+2X,令/（x）＞0,解得xv一個或

此時,於）在這區(qū)間內(nèi)的切線的斜率為正，表示/）為增函數(shù).令/（x）＜0得一半＜1＜0或第＞乎,

表示切線的斜率為負，是減函數(shù)，故選D.］

點評利用導數(shù)的正負即切線斜率的正負確定曲線的變化趨勢是導數(shù)幾何意義的幾何體

現(xiàn)，考查了數(shù)學運算（求導）直觀想象（單調(diào)性）和邏輯推理的素養(yǎng).

5.（2020?全國III卷）設(shè)函數(shù)/（x）=t+q.若/（1）=不則。=.

［解析If。尸“肅J，可得/（1）="籌弋，即"看4解得0=1.

［答案］I

點評求出函數(shù)人工）的導數(shù)/（X）,將X=1代入/（X）,列出關(guān)于。的方程.

6.(2020?全國I卷)曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

I解析1設(shè)切點坐標為5),%)，

因為y=lnx+x+l,所以y'=：+1,

所以切線的斜率為;+1=2,解得xo=l.

所以yo=ln1+1+1=2,即切點坐標為(1,2),

所以切線方程為)，-2=2。-1),即2r-y=0.

[答菊2r—y=0

點評設(shè)出切點坐標并利用導數(shù)表示出切線的斜率，根據(jù)斜率為2建立方程求出切點坐

標，再利用直線方程的點斜式寫出切線方程并化為一般式.

課時作業(yè)(十三)

A級基礎(chǔ)達標

1.設(shè)段)=處,的導函數(shù)為/(x),則，(1)的值為()

A.eB.e+1C.2eD.e+2

C[由題意知凡￥)=Xe%所以/(x)=er+xev,

所以，(l)=c+c=2c.]

2.已知函數(shù)*x)=xsinx+aG且/^=1,則a=()

A.0B.1C.2D.4

A[因為，(x)=sinx+xcos.x+a,且，1,

,7T.7t7t.

所tsin]+]cos^+ci1,

即a=0.故選A.]

3.(2021?云南師大附中考試)由線y=〃在x=0處的切線方程是xln2+y-l=0,貝ija=

()

A.；B.2C.In2D.舄

A[由題知，y'=avlna,y'U-o=lna,又因切點為(0,1),故切線方程為xlna—y+1=

0,.*.d=2，故選A.]

4.已知直線y=5是曲線的一條切線，則實數(shù)機的值為()

A.eB.—eC~eD.e

B[設(shè)切點坐標為(〃，5)，對于求導得y'=(xec),=ex+xe\若直線_)，='是曲

線尸的一條切線，則有y'LL.i=e"+〃e"=0,解得〃=-1,此時不\=〃e"=一:.m=

-e.故選B.]

5.(2021?山東濟南模擬)已知函數(shù)?r)的導函數(shù)/。),且滿足_/(%)=W(l)+lnx,則/(1)

=()

A.-cB.-1C.1D.e

B[9：J(x)=2xf(l)+lnx,

：.f(x)=[2xf⑴『+(Inx)'=2f(l)+p

：.f(l)=2f(1)+1,即/(D=-l.l

6.(2021?湖南郴州第三次質(zhì)量檢測)已知函數(shù)於)的導函數(shù)為/(x),且滿足?r)=cosx

-Xff(5)?若曲線yfx)在x=0處的切線為/，則下列直線中與直線/垂直的是()

A.2x-y-l=0B.2x+y+l=0

C.x-2y-2=0D.x+2y+l=0

B［fa)=-sinx-f⑨令尸去則/像=一/即式x)=cosX+%40)=l"(0)

=1,所以/的方程為y=%+l,所以直線2x+y+l=0與直線/垂直.選B.］

7.定積分/—以2以等于()

2

A.0B.qC.1D.2

B［定積分］一以2&=*=1(1+1)=|,故選我］

8.已知函數(shù)f(x)=s而x—cosx,且f'(x)=,(x),則w〃2x的值是()

2443

A--C-D-

3-334

D1

B.『

?〃?2

所以Sx=-3,所以ian2x=］駕jx=*i^W=1故選DI

9.

如圖所示，y=f(x)是可導函數(shù)，直線1：y=kx+3是曲線y=f(x)在x=l處的切線，令

h(x)=噂，h'(x)是h(x)的導函數(shù)，則h'(1)的值是()

A.2B.1

C.—1D.—3

D［由題圖可知直線1經(jīng)過點(1,2),

則k+3—2,k——1,即f'(1)——1,且f(l)—2.

f(x)f'(x)?x-f(x)

Vh(x)=???h'(x)=

x

則h'(l)=f(l)-f(l)=-l-2=-3,故選。J

10.設(shè)函數(shù)f(x)=xs而x+cosx的圖象在點(t,f(t))處切線的斜率為k,則函數(shù)k=g(t)的

部分圖象為()

ABCD

B［f7(x)=(xsinx+cosx)7=xcosx,則k=g(t)=t,cost,易知函數(shù)g(t)為奇函數(shù)，其圖

象關(guān)于原點對稱，排除A、C.當OVtV^時，g(t)>0,所以排除。，故選81

11.(2021?重慶巴蜀中學模擬)已知曲線丫=等在點P(2,4)處的切線與直線1平行且距離

X1

為2小，則直線1的方程為()

A.2x+y+2=0

B.2x+y+2=0或2x+y-18=0

C.2x-y—IX=0

D.2x—y+2=0或2x—y—18=0

B［y'="三伊=一&品，y‘k=2=一彳牛=-2,因此k.=-2,設(shè)直線1

方程為y=-2x+b,即2x+y—b=0,由題意得吆羊匕丸=2小，解得b=18或b=-2,

所以直線1的方程為2x+y-18=0或2x+y+2=0.故選B.］

12.曲線y=-5/+3在點(0，—2)處的切線方程為.

［解析］由y=—5e'+3得，y'=-5ex,所以切線的斜率1<=丫'|x=o=—5,所以切線方

程為y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.

［答案］5x+y+2=0

13.已知函數(shù)f(x)=ax3+x+l的圖象在點(l,f(l))處的切線過點(2,7),則@=.

［解析］Vf(x)=3ax2+l,Z.r(l)=3a+l.

又f(l)=a+2,

???切線方程為y—(a+2)=(3a+l)(x-l).

???切線過點(2,7),

A7—(a4-2)=3a+l,解得a=l.

［答案］1

14.已知曲線y=x+/〃x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax?+(a+2)x+l相切，則a=

［解析］Vy=x+/nx,：.yf=1+；,y'k=i=2.

；?曲線y=x+/〃x在點(1,1)處的切線方程為

y-l=2(x-l),即y=2xT.

Vy=2x-1與曲線y=ax?+(a+2)x+l相切，

，aW0(當a=0時曲線變?yōu)閥=2x+l與已知直線平行).

fy=2x-1,

由1.消去y,得ax2+ax+2=0.

〔y=ax~+(a+2)x+1,

由A=a2—8a=0,解得a=8.

［答案］8

B級能力提升

2

15.曲線y=;與直線y=x-l及x=l所圍成的封閉圖形的面積為()

A.2-ln2B.2ln2-1C.2+ln2D.21n2+：

B［如圖，求陰影部分面積，

)，=一2

聯(lián)立方程組fK

J=X-1,

解得x=2,y=l,

2

則曲線與直線y=X-l及x=l所圍成的封閉圖形的面積為

2112

S=J^-x+ldx=2加x—臥2+x］

=(2加2—2+2)—0—3+1

=2ln2-2,故選=］

16.(多選)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x),若存在Xo使得f(xo)=f'(Xo),則稱Xo是f(x)

的一個“巧值點”.下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是()

A.f(x)=x2B.f(x)=er

C.f(x)=/〃xD.f(x)=s〃x

AC［若f(x)=x?,則f'(x)=2x,令x?=2x,得X=0或X=2,方程顯然有解，故A符

合要求；若f(x)=/x,則F(x)=-c—x,令6二=一0二，此方程無解，故8不符合要求；若

f(x)=/〃x,則f'(x)=J,令加x=J,在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)丫=/〃乂與y=：的圖象(作

圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程f(x)=f'(X)存在實敷解，故。符合要求；

若f(x)=〃〃?x,則f'(x)=(黑;)=cos^ftanx=coPx,化簡得si〃xcosx=l,變形可

得$譏2x=2,無解，故力不符合要求.故選A、CJ

17.若曲線y=x/〃x上點P處的切線平行于直線2x-y+l=0,則點P的坐標是

［解析］設(shè)P(XO,yo).Vy=x/nx,

：Z=/〃x+x?(=l+/〃x.

k=1+/〃xo.又k=2,??1~\~lnxo=2,.*?xo=^.

；?yo=e/〃e=e.，點P的坐標是(%e).

［答案］(e,e)

18.已知點M是曲線y=1x3-2x2+3x+1上任意一點，曲線在M處的切線為1,求:

(1)斜率最小的切線方程；

(2)切線1的傾斜角a的取值范圍.

［解］(l)Vyf=X2-4X+3=(X-2)2-1,

???當x=2時，y'〃而=一1,此時y=［

???斜率最小時的切點為(2,q斜率k=-l,

???切線方程為3x+3y-ll=O.

(2)由(1)得k2-1,*.tana^—1,

又,.,a￡［0,兀)，???a￡0,/U華，，

故a的取值范圍為0,機竽，J

第二節(jié)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

?梳教初-固基砒-----基固為根必備知識

［基礎(chǔ)自梳］

1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導：

①若f'(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②若f'(x)V0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③若f'(x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

2.導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

①f'(x)>0(或f'(x)VO)是f(x)在(a,h)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)的充分不必要條件：

②若f'(x)=0不恒成立,則f'(x)20(或f'(x)WO)是可導函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增

(或遞減)的充要條件.

思考拓展

導函數(shù)值的大小與其對應(yīng)函數(shù)圖象的“骨峭”“平緩”有什么關(guān)系？

［提示］函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，其對應(yīng)函

數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)，反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

［基礎(chǔ)自測］

1.(教材改編)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)=ax?+bx+c的圖象如圖所示，則f(x)的圖象

可能是()

［答案］D

2.(教材改編)函數(shù)f(x)=s加x—x在(0,兀)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

f答案］。

3.(易錯點：忽略定義域)函數(shù)f(x)=x+e/〃x的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(0,+8)B.(—8,0)

C.(一8,0)和(0,4-00)D.R

［答案1A

4.函數(shù)人勵=^一女的單調(diào)增區(qū)間是.

［答案］(M2,+8)

5.(易錯點，漏掉等號)若函數(shù)/(x)=sinx+ar為R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

［答案］(-8.-1］

?研考點?練方法------點明為綱關(guān)鍵能力

考點一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

［例1］(1)(2021?昆明模擬)已知函數(shù)“v)(x￡R)圖象上任一點(刈，加處的切線方程為)一

泗=(3—&)(焉一l)(x—xo),那么函數(shù)段面單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-1,1),(3,+8)B.(-8,-1),(1,3)

C.(一1,1)0(3,+8)D.(-8,-1)U(1,3)

B［因為函數(shù)外)的圖象上任一點(出，刈)的切線方程為y—>,0=(3—XO)(JO—1)(x—xo),即

函數(shù)圖象在點(xo,泗)的切線斜率&=(3—刈)(*—1),所以(x)=(3—:)。2—1).由，(x)=(3

一x)。2—1)>0,解得內(nèi)一1或la<3,即函數(shù)式幻的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,-1),(1,3).故選

B.］

(2)設(shè)函數(shù)J(x)=(l—jr)e\討論J(x)的單調(diào)性.

［解If(x)=(l-2x-f)次令/(幻=0得彳=一1±\/1

當xW(-8,一1一6)時，f(X)<O；

當1—A/5,-1+也)時，f(x)>0;

當+8)時，/(A)<0,

???加；)在(一8,一1一爽)和(_］?6，|8)上單調(diào)遞減，在(一1一小，一1|爽)上單調(diào)

遞增.

方法指導確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

1.確定函數(shù)凡。的定義域.

2.求/(x).

3.解不等式，a)x),解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間.

4.解不等式/a)〈o,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

［思維變式］

1.函數(shù)/(x)=x—Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(0,1)B.(0,+?>)

C.(1,+8)D.(-8,Ci)U(l,+0°)

A［函數(shù)的定義域是(0,+°°),

且,。)=［-：=一"，

令/(x)vO,解得Oavl,

所以函數(shù)41)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).

2.(2021.安徽合肥一模)已知函數(shù)人x)=e「i—Inx(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

求函數(shù)人幻的單調(diào)區(qū)間.

［解1人x)的定義域為(0,+8)

f。)=b一:

設(shè)心)=尸|一:，心)在(0,+8)上為增函數(shù)，且力⑴=0,?,?當(0,1),〃(x)=f(x)<0,

凡1)為減函數(shù)，

當x￡(l,+8)時，h(x)=fr(x)>0,凡￥)為增函數(shù)，

???函數(shù),/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0』)，

單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+oo).

考點二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

［例2］已知函數(shù)兀0=111工一加+(2—a)x.討論40的單調(diào)性.

［解］4丫)的定義域為(0,+8).

z1.(2x+i)(ar-l)

/(x)=--2ar+(2-^)=--------7--------L.

人人

①若aWO,則，(x)>0,所以犬用在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②若。>0,則由，(x)=0,得"=!，

且當x￡(0,時，/(x)>0,

當時，fa)VS

所以4x)在(0,/上單調(diào)遞增，

在(5，+8)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當aWO時，

函數(shù)凡T)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

當。>0時，函數(shù)次X)在(0,力上單調(diào)遞增，

在C，+8)上單調(diào)遞減.

方法指導

解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性恒題應(yīng)注意兩點

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的問

斷點.

［思維變式］

已知函數(shù)兀)1=歷.1+加一(2o+l)x.若〃>0,試討論函數(shù)7U)的單調(diào)性.

［解］因為/(力=皿%+公2—(2。+l)x,

的12加一(2a+l)x+l(2av—l)(x—1)

所以#。)=----------------=-------------，

由題意知函數(shù)人”)的定義域為(0,+8),

令/(x)=0得％=1或%=去，

⑴若《vl,即懸，

由/(x)>0得x>1或OVxV+

由/(x)vO得!Vivi,即函數(shù)?x)在(0,土)，(1,+8)上單調(diào)遞增，在念，1)上單調(diào)

遞減；

(2)若,即0<?<^>由f(x)>0得入或0<x<l,

由/(幻<0得104，即函教於)在(0,1),即+8)上單調(diào)遞增，在。，燈上單調(diào)遞

減；

(3)若士=1,即〃=：,則在(0,+8)上恒有/a)2o,

即函數(shù)凡I)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得：當0<〃<1時，函數(shù)曲在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,燈上單調(diào)遞減，在&+8)

上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)段)在(0,+8)上單調(diào)遞增：

當時，函數(shù)4T)在(0,勤上單調(diào)遞增，在彷，1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞

增.

考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度1y=AO與)，=/㈤的圖象辨識

［例引已知函數(shù)y=￡r)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f(x)的圖象如圖

所示，則該函數(shù)的圖象是()

B［從導函數(shù)的圖象可以看出，導函數(shù)值先增大后減小，x=0時最大，所以函數(shù)共外的

圖象的變化率也先增大后減小，在x=0時變化率最大.A項，在x=0時變化率最小，故錯

誤；C項，變化率是越來越大的，故錯誤：D項，變化率是越來越小的，故錯誤，B項正確.］

角度2比較大小解不等式

［例4］(1)設(shè)函數(shù)/(%)是奇函數(shù)於)(x￡R)的導函數(shù)4-1)=0,當心>0時必(力一段)〈0,

則使得大r)>0成立的r的取值范圍是()

A.(一8,-l)U(OJ)B.(-1,O)U(1,+<?)

C.(一8,-1)U(-1,O)D.(OJ)U(l,+8)

A［記函數(shù)g(x)=^(xWO),

嗣，,、xf(X)一/(x)

則ga)=學，

因為當QO時，xf(x)-y(x)<o,

故當x>0時，g'(A)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

又因為函數(shù)y(x)(x￡R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，

且g(—l)=g(