高考數(shù)學(xué)沖刺押題密卷-解答題（數(shù)列）詳細(xì)解析

高考數(shù)學(xué)押題大賽--解答題（數(shù)列）

對(duì)于給定數(shù)列｛q,）,如果存在實(shí)常數(shù)p,夕使得%+i=pc+q對(duì)于任意nGN”都成立，我們稱(chēng)數(shù)列｛%｝是'M類(lèi)數(shù)列”.

數(shù)列tl

1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列｛4｝,｛紇｝,｛?！埃?其中璃5也）,C,（〃T，O），（1）若勺=2/2,勿=3,2".〃GN”,數(shù)列｛q［、（"｝是否為類(lèi)數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的

滿(mǎn)足向量可不與向量瓦Z匚平行，并且點(diǎn)列仍“｝在斜率為6的同一克線(xiàn)上，"=1,2,3,…。實(shí)常數(shù)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

<!>證明：數(shù)列仇｝是等差數(shù)列;（2）證明：若數(shù)列｛g｝是類(lèi)數(shù)列”，則數(shù)列｛?！?%+］｝也是類(lèi)數(shù)列”：

（3）若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=2,可+為川=3,2"（〃GN'）,/為常數(shù).求數(shù)列｛《,｝前2013項(xiàng)的和.

<2）試用%,瓦與n表示a?（n>2）；

并判斷｛《,｝是否為“M類(lèi)數(shù)列”，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)4=a,4=-。，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得在。6與的兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列W的

最小項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：（4）根據(jù)對(duì)（2〉（3）問(wèn)題的研究,對(duì)數(shù)列｛《,｝的相鄰兩項(xiàng)a“、an+i.提出一個(gè)條件或結(jié)論

⑷若％="=3,對(duì)于區(qū)間［0,1］上的任意入，總存在不小于2的自然數(shù)匕當(dāng)n次時(shí)，％之（1一；1）（9〃-6）恒成立，求k的最小值.與類(lèi)數(shù)列”概念相關(guān)的真命題,并探究其逆命題的真假.

解：⑴因?yàn)辄c(diǎn)列｛3J在斜率為6,［解］（I）因?yàn)閍”=2〃，則有a"+］=a“+2,nwN"

故數(shù)列｛a“｝是“M類(lèi)數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1,2.......................2分

所以=6即”向一久=6,所以.數(shù)列也”｝是等差數(shù)列.3分

（〃+1）一〃

因?yàn)槌?3?2",則有b*i=2bn??GM

⑵44+廣。，勺浦一4），41c=（*幻，因?yàn)椤ㄍ遚〃，所以5分

故數(shù)列｛2｝是“M類(lèi)數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0.......................4分

又2=bj+6(/i-l),an^-an=7?,+6(/i-l).

（2）證明：若數(shù)列｛《』是“M類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù).

a2—ay=b].%—%=A+6x1,a4-a3=b]+6x2......an—an_t=bx+6(/2—2).

使得凡+1=pa”+q對(duì)于任患nGN”都成立，

將以上等式相加得an-67)=(〃-1)4+6x―——―,

且有41+2=P。7+q對(duì)于任意nwN’都成立....................................6分

所以a”=q+(n-1)^+3(n2-3〃+2).8分

因此（必+［+an+2）=p（atl+%）+2q對(duì)于任意weAT都成立.

22

(3)an=a-(n-l)a+3(zz-3〃+2)=3n-(a+9)〃+2a+610分

故數(shù)列｛4+4+1｝也是“M類(lèi)數(shù)列”..................................8分

若存在這樣的實(shí)數(shù)。,使得在生,與由兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列MJ的最小項(xiàng)，

對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為〃，24................................................9分

a+9

則5.5<----<7.5,解得24Va?36.13分

6n4

⑶因?yàn)閍n+an+[=3t-2(ne/V*)則有%+%=3fN?,a4+a5=3t-2,

22

(4)an=3+3(z?-1)+3(n-3n+2)=3(n-2n+2)

々2006+^2007=3f?2~.”2008+“2009=3f,2^2010+^2011=3/-2.。刈2+“2013=3t

由a“之(1一4)(9〃-6),3(/72-2AZ+2)>(1-2)(9w-6),即(3〃-2)之+〃2—5〃+420.15分

故數(shù)列｛4｝前2013項(xiàng)的和S2QI3=a)+(a2+?3)+(tz4+tz5)+-+(?2OI2+^2013)

/(0)^0即卜2—5〃+420

記/(%)=(3/?—2)4+n~—5〃+4，則有

/(1)>0''|/r-2n+2>0=2+3r22+3r24+---+3/-220,2=2+fQ20"-4)...........11分

解得n>4或nMl,但由于n>2.所以nN4,kmin=4.18分若數(shù)列｛4｝是類(lèi)數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)P、q使得q+|=pa?+q對(duì)于任意neN、都成立,

2、（滿(mǎn)分20分）本題共4小題，第I題滿(mǎn)分4分，第2題滿(mǎn)分5分，笫3題滿(mǎn)分5分，第4題滿(mǎn)分6分.

且有%+2=P。e+q對(duì)于任意neN?都成立,

(3)設(shè)(2)中的數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”，試研究：是否存在實(shí)數(shù)〃，使得數(shù)列｛S〃｝有連續(xù)的兩項(xiàng)

因此(an+l+4+2)=P(4+4+i)+2夕對(duì)于任意〃wM都成立，

都等于50.若存在,請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解.⑴丁_(3+35)X5(17+41)X4

而a,,+禺+i=3r-2"(〃eN,).且a”+a=3t-2"(neN*)

n+l22

(2)a”+a”+i=2〃(〃eN*)①a+a=2(n+1)②

則有31-2"+i=3/?〃2"+2夕對(duì)于任意〃都成立，可以得到?〃-2)=0,4=0.ll+lll+2

②?①得。〃+2一?！?2<weN*>.所以，｛a“｝為公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列.

(I)當(dāng)p=2,q=0時(shí)，q向=2凡.4=2",/=1,經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2—a+—1)x2=〃-a,

n-1

(2)當(dāng)1=0,夕=0時(shí)，為“二一可，an=2(-l).p=-\經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件。

行〃為奇數(shù)時(shí),解法一：an=a+x2=w+?-1：

因此尚且僅”"=1或，=0,時(shí)，數(shù)列｛?！埃彩?川類(lèi)數(shù)列”。

解法二：ra?=2(n-1)-an_｝=2(〃-1)-[(//-1)-?]=n+a-1；,

解法三：先求〃為奇數(shù)時(shí)的a”，再用①求〃為偶數(shù)時(shí)的a”同樣給分.

對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2,0,或一1,0.............14分

_1〃+a-l,(〃為奇數(shù))

(4)命題一：若數(shù)列｛6，｝是類(lèi)數(shù)列”，則數(shù)列｛4,-4+1｝也是類(lèi)數(shù)列'、.=1〃—?5為偶數(shù))

逆命題：若數(shù)列｝是“M類(lèi)數(shù)列”，則數(shù)列｛〃“｝也是類(lèi)數(shù)列(3)解一：

平一1)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S,,=小2+絲_22+(2-a).-+-^—^X2=-H2：

當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列卜1“一4+1｝是常數(shù)列、等比數(shù)列時(shí)，逆命題是正確的.x

22222

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，?四+22

命題二：若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛4+《南卜｛為一凡+1｝、｛4,“向｝、S”=a2I2——2x2+(2-fl).—+——^x2

2222

是類(lèi)數(shù)列”

逆命題：若數(shù)列可、-?｝>｛。屋。川｝、[詈)是:"類(lèi)教到二則數(shù)列｛凡｝

｛4+3｝｛an,H1

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，S*=50,得k=10.

2

由題意，有S9=4x9?+々一』=50=a=10；或S”=1『+4-_1=50=〃=-io.

是等比數(shù)列.逆命題是正確的.2222

所以，4=±10.

n

命題三：若數(shù)列｛〃“｝是“M類(lèi)數(shù)列"，則有an+a,^=k-A+B或a”+an+l=An+B.2

解二：當(dāng)〃的偶數(shù)時(shí)，van+an^=2/?.=2x(1+3+?--+n-1)=^/i

逆命題：若〃或+。,川=〃.則數(shù)列｛%｝是類(lèi)數(shù)列”

a+a““=hA"+8a”A+8當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).S”=S“_i+?！?gx(〃一+〃+a—1=^n2+a-.

(1)若a,+a,』=An+B,當(dāng)且僅當(dāng)a1=)[20時(shí)逆命題是正確的.以下與解法一相同.

4.本題滿(mǎn)分16分，第1小題滿(mǎn)分8分，第2小題滿(mǎn)分8分

LAB

設(shè)數(shù)列｛《,｝與｛"｝滿(mǎn)足：對(duì)任意〃GNL都有皿一〃一，l

(2)若?！?a”+i=A〃+8,當(dāng)且僅當(dāng)A+1工0,且4=----^+不時(shí)逆命題是正確的.2"=(l)S“bn=an-n'2"~.

其中S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

(1)當(dāng)匕=2時(shí)，求數(shù)列｛q｝與｛2｝的通項(xiàng)公式：

(2)當(dāng)。工2時(shí)，求數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和S“.

3、若數(shù)列也)滿(mǎn)足：對(duì)于〃eN*,都有"+2一2=d(常數(shù))，則稱(chēng)數(shù)列歷“｝是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)歹九

答案:：由題意知4=2,且力q—2”=(8_1)S”，ba^-2w+,=(/?-1)5

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)；nn+I

[4/z-l,f1°

如：若a=tC*可加物I則匕｝是公差為8的準(zhǔn)等票數(shù)列.兩式相減得b(a,m一4,)-2”=(力-1)勺“即4+1=匕%+2"①(2分)

[4〃+9,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí).

n

(1)當(dāng)b=2時(shí),由①知a“+i=2an+2

<1)求上述準(zhǔn)等差數(shù)列匕,｝的前9項(xiàng)的和T9：

于是一(〃+1)?2〃=2a+2”一(〃+1)?2"=2(a-n?)

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝.滿(mǎn)足：％=a,對(duì)于〃eN*,都有％+。向=2n.求證：｛%｝為準(zhǔn)等差數(shù)列，nn

并求其通項(xiàng)公式：又4-1?21=1/0,所以｛a“一〃,2"T｝是首項(xiàng)為1.公比為2的等比數(shù)列.

nl求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)及7；關(guān)于〃的表達(dá)式。

故知.bn=2~,(4分)

(川)記bT,求數(shù)列｛h｝的前n項(xiàng)之和S,并求使S>的n的最小值。

再由力〃=a〃一〃?2"“，得4=(〃+l)2"T.(2分)n=logx+lnnnn2008

答案:(I)由條件a?+i=2a/+2flk,得2a”.i+l=4a”2+4?"+l=(2a"+l)2.

另解：--77=%+-(2分)

2“+i2〃2:.｛如是“平方遞推數(shù)列”.???Igb?i=21班.

是首項(xiàng)為3:1,公差為'的等差數(shù)列，...與■=1+上4=巴里，〃為等比數(shù)列.

V|g(2?1+l)=lg5^O,」歌；；；=2.｛lg3+D)

[2n]2122"22

.也=(〃+1>2”7(4分)(II)Vlg(2?)4-1)=lg5,.,.lg(2fl?4-|)=2"'Ig5,.,.2o?4-l=52".,.a,=r(52"-1).

"=(〃+1)?2"“一n?2"T=2"T(2分)

E—1>")???—1

1￡5(I

Vlg7；=lg(2a>4-l)4-|g(2a2-f-l)-f-...-f-|g(2f/H-H)=-=(2"-l)lg5.：.Tn=5^.

(2)當(dāng)人工2時(shí)，由①得%——!―2M+,=ha+2n一一!—2w+,=b\a一一--2"|

fltl(2分)

向2-b"2-bI"2-bJ

IgT；_(2,,-l)lg5

lg(2a+l)=2"'ig5

若b=0?S0=2"(1分)fl

n

若b=l,an=2,S“=2"X-2(1分)

?Z|X2zlx/t—IL(5)

_(,")=方-2+2(9”.

.?.S”=2n-U+E+(e)+…+(菱)]=2〃一一^^-=2M-2[I

若bwOJ.數(shù)列，a“-JT，2""是以2"一")為首項(xiàng),以力為公比的等比數(shù)列，

I2-bJ2-b15

故.二”筆"7,勺=心[2"+(2-乃)^](2分)

由S?>2008得2w—2+2(；)>2008,

2.—U2—。2—0

232

Sn=—(2+2+2+…+2”)+2(1_”+>+b+??.+〃"),$二2(2j")

當(dāng)F1004時(shí)，<1005,當(dāng)"N1005時(shí)，〃+(1)'>1005,的最小值為1005.

2-b')2-bl7,2-b

〃=1時(shí)，S“=2””-2符合上式所以，當(dāng)力wO時(shí)，Sn=------■(2分)

2-b

n

當(dāng)b=0時(shí)，Sn=2(i分)6、已知數(shù)列｛qj的首項(xiàng)為1,對(duì)任意的〃wN\定義=〃“.]-a”.

另解：

(I>若2=〃+1,①求4的值和數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(ii)求數(shù)列｛」-｝的前〃項(xiàng)和s.：

當(dāng)〃=1時(shí)，S[=4=2(1分)

%

當(dāng)〃N2時(shí)一皿-2"=(人1電.?.。07,1)-2"=(。-1)5

(H)若%=bn+2bn(neN"),且J=2也=3,求數(shù)列電｝的前3〃項(xiàng)的和.

?二峪_分)

'?S“i+2"(2答案：(I)解：⑴4=I,生=4+濟(jì)=1+2=3.%=%+&=3+3=6.

若8=0.S”=2"分)

(1由4+1一°“=〃+1得

若6工0,兩邊同除以2"得&*=2.辿+1

當(dāng)時(shí)，4=4+(。2-4)+(4-生)++(凡一%.J=%+"+&++%="))

2"22”|

人bS,SbS,2+2ni

令」S,+/〃=——!nL±｝\即n切=一.(_±n^+-------)

++ftJi_21+而適合上式，所以a=

2n22n~'2n22n~lbq=1n，"〃："(〃wN")

2+2m2,Sn2,bb12?11、

由，〃=—■—得加二二二TT+-----是以-----為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列(ii)由⑴得：一=--------=2(----------------)

bb-22nb-2b-2

2ann(w+1)nn+1

2nAr白鏟

,八02(2"-F)

所以,當(dāng)人工0時(shí),S=----------(4分)

2-b

5、定義：若