2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第四章 第二講 等差數(shù)列及其前n項和配套課件

第二講等差數(shù)列及其前n項和2025年高考一輪總復習第四章

數(shù)列1.等差數(shù)列的定義

如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.a＋b

2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*). 3.等差中項如果A＝2，那么A叫做a與b的等差中項.4.等差數(shù)列的前n項和公式5.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*).6.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn

存在最小值.

考點一等差數(shù)列基本量的運算1.已知{an}是等差數(shù)列，且滿足S10＝10，S30＝18，則S20＝()A.14B.15C.16D.17

解析：∵{an}是等差數(shù)列，且滿足S10＝10，S30＝18，由等差數(shù)列的性質(zhì)得S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，∴10，S20－10，18－S20成等差數(shù)列，∴2(S20－10)＝10＋18－S20，解得S20＝16.故選C.答案：C2.(2023年全國甲卷文科)記Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝( A.25 C.20

) B.22D.15答案：C3.(2023年廣州市校級期中)若前n項和為Sn

的等差數(shù)列{an}滿足a5＋a7＝12－a9，則S13－2＝()A.46B.48C.50D.52答案：C4.(2022年全國乙卷文科)記Sn

為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.解析：∵2S3＝3S2＋6，答案：2∴2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，∵{an}為等差數(shù)列，∴6a2＝3a1＋3a2＋6，∴3(a2－a1)＝3d＝6，解得d＝2.【題后反思】解決等差數(shù)列運算問題的思想方法

(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn

五個量，可“知三求二”.(2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì)：運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、簡化解題過程.考點二等差數(shù)列的判定與證明方法解讀適合題型定義法若an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項和公式法驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列【題后反思】等差數(shù)列的判定與證明的方法【變式訓練】n＝2an＋1. (1)證明：{an}是等差數(shù)列； (2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn

的最小值.(1)證明：由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n，①把n＋1代入①式，得2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)·an＋1＋n＋1，②②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得an＋1＝an＋1，由等差數(shù)列定義有{an}為等差數(shù)列.

考點三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考向1等差中項的性質(zhì)[例2](1)(2022年淄博市模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9＝(

)A.72B.36C.18D.9答案：BA.4B.6C.8D.10答案：C考向2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)[例3](1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35B.42C.49D.63

解析：由題意知，S5，S10－S5，S15－S10

成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42.故選B.

答案：B答案：A【題后反思】利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點

(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m. (3)用待定系數(shù)法時，Sn

應(yīng)設(shè)為關(guān)于n的、沒有常數(shù)項的二次函數(shù).【考法全練】1.(考向1)等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A.20B.22C.24D.8

解析：因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選C.

答案：C2.(考向2)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S14－S9＝8，則S23

的值為____________.⊙等差數(shù)列的前n

項和及其最值[例4](1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＜0，a4＋a9＞0，則使得不等式Sn＜0成立的最大的n的值為()A.9B.10C.11D.12答案：C【規(guī)律方法】求等差數(shù)列前n項和Sn的最值的常用方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)的最值.

(2)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項，進而求Sn

的最值.【高分訓練】