（教學設計）第6章§33.2刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理(二)2023-2024學年新教材高中數(shù)學必修第二冊(北師大版2019)

（教學設計）第6章§33.2刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理(二)2023-2024學年新教材高中數(shù)學必修第二冊(北師大版2019)科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）（教學設計）第6章§33.2刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理(二)2023-2024學年新教材高中數(shù)學必修第二冊(北師大版2019)課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學必修第二冊（北師大版2019）第6章§33.2刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二）

2.教學年級和班級：高二年級

3.授課時間：2023-2024學年度

4.教學時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標教學難點與重點1.教學重點

①理解并掌握刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二）的基本概念和性質(zhì)。

②能夠運用公理解答有關(guān)空間幾何位置關(guān)系的問題。

③培養(yǎng)學生在實際問題中應用公理解決問題的能力。

2.教學難點

①空間想象能力的培養(yǎng)，特別是對于空間幾何圖形的識別和構(gòu)造。

②理解和運用公理證明空間幾何問題的邏輯推理過程。

③在復雜空間幾何問題中，正確選擇和應用公理，形成解題策略。教學資源-硬件資源：投影儀、電腦、多媒體教學設備

-軟件資源：幾何畫板軟件、PPT演示文稿

-課程平臺：學校教學管理系統(tǒng)

-信息化資源：數(shù)學教學視頻、電子教案、在線練習題庫

-教學手段：小組討論、問題驅(qū)動、案例教學、實時反饋教學流程1.導入新課（5分鐘）

-通過展示一些生活中的空間幾何現(xiàn)象，如建筑物的結(jié)構(gòu)、道路的布局等，引導學生思考空間點、線、面的位置關(guān)系。

-提問：“在上一節(jié)課中，我們學習了哪些公理？這些公理在現(xiàn)實生活中有哪些應用？”

-引導學生回顧上一節(jié)課的內(nèi)容，為新課的學習做好鋪墊。

2.新課講授（15分鐘）

-講解新課內(nèi)容，具體包括以下三個方面：

①介紹刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二），如平行公理、垂直公理等，并解釋其含義。

②通過示例圖形，展示公理在實際問題中的應用，如判斷線與面是否平行、線與線是否垂直等。

③分析公理在解題過程中的作用，如如何利用公理簡化問題、提高解題效率。

3.實踐活動（15分鐘）

-實踐活動一：讓學生在紙上畫出一些空間幾何圖形，如長方體、正方體等，并標出各個點、線、面之間的位置關(guān)系。

-實踐活動二：給定一個實際空間幾何問題，要求學生運用所學的公理進行分析和解答。

-實踐活動三：組織學生進行小組討論，分享自己在實踐活動中的發(fā)現(xiàn)和困惑，互相學習和幫助。

4.學生小組討論（10分鐘）

-討論一：如何運用公理判斷空間幾何圖形中點、線、面的位置關(guān)系？

舉例回答：如判斷長方體中一條邊與一個面的位置關(guān)系，可以通過平行公理和垂直公理進行判斷。

-討論二：在解決實際空間幾何問題時，如何選擇合適的公理進行解答？

舉例回答：如在求解線段與平面所成的角時，可以運用垂直公理和三角函數(shù)知識進行解答。

-討論三：如何將公理與實際問題相結(jié)合，提高解題效率？

舉例回答：在解決空間幾何問題時，可以先分析問題中的點、線、面關(guān)系，然后選擇合適的公理進行解答，從而簡化問題和解題過程。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

-回顧本節(jié)課所學內(nèi)容，重點強調(diào)刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二）的應用。

-總結(jié)學生在實踐活動中的表現(xiàn)，對學生的討論和解答進行點評，指出優(yōu)點和需要改進的地方。

-強調(diào)學生在實際解題中要善于運用公理，提高解題效率，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。學生學習效果學生學習效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.知識掌握方面：

-學生能夠準確理解和記憶刻畫空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二），包括平行公理、垂直公理等。

-學生能夠熟練運用公理解答相關(guān)的空間幾何問題，如判斷線與面是否平行、線與線是否垂直等。

-學生能夠通過公理的應用，解決實際問題，如空間幾何圖形的構(gòu)建、空間角度的計算等。

2.能力提升方面：

-學生的空間想象能力得到了顯著提升，能夠更好地在腦海中構(gòu)建和操作空間幾何圖形。

-學生的邏輯推理能力得到了鍛煉，能夠通過公理進行嚴密的邏輯推理，形成解題思路。

-學生的實際問題解決能力得到了增強，能夠?qū)⒗碚撝R與實際問題相結(jié)合，提出有效的解決方案。

3.思維發(fā)展方面：

-學生在學習過程中，逐漸形成了通過公理分析問題的思維方式，這有助于他們在解決復雜問題時，能夠快速定位關(guān)鍵信息。

-學生在小組討論中，學會了傾聽他人的觀點，通過交流討論，能夠整合不同的思路，形成更加完善的解題策略。

-學生在總結(jié)回顧環(huán)節(jié)，能夠自我反思學習過程中的不足，通過教師的點評，找到了改進的方向。

4.學習態(tài)度方面：

-學生對空間幾何的學習興趣得到了激發(fā)，他們更加積極主動地參與到課堂討論和實踐活動之中。

-學生在學習過程中，表現(xiàn)出了良好的學習態(tài)度，對遇到的困難和挑戰(zhàn)，能夠堅持不懈地克服。

-學生對數(shù)學學科的認識得到了深化，他們開始意識到數(shù)學知識在解決實際問題中的重要作用。

5.綜合運用方面：

-學生能夠?qū)⑺鶎W的公理與之前學過的空間幾何知識相結(jié)合，形成更加系統(tǒng)的空間幾何知識體系。

-學生在解決綜合性的空間幾何問題時，能夠靈活運用多個公理，提高解題效率和準確性。

-學生在未來的學習過程中，將能夠更加自信地面對空間幾何問題，因為他們已經(jīng)具備了扎實的理論基礎(chǔ)和實際操作能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.空間點、線、面位置關(guān)系的公理理解

①空間點、線、面的基本概念及其相互關(guān)系，如點在直線上、線在平面內(nèi)等。

②公理的定義和表述，如平行公理的定義是“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線都平行，那么這兩條直線平行”。

③公理的應用條件，如垂直公理適用于判斷線與面、線與線之間的垂直關(guān)系。

2.公理在解題中的應用

①解題策略的選擇，如何根據(jù)題目條件選擇合適的公理進行分析。

②解題過程中的邏輯推理，如何運用公理進行嚴密的邏輯推理。

③解題后的結(jié)果驗證，如何利用公理檢驗解題結(jié)果的正確性。

3.空間幾何問題的實際應用

①空間幾何問題的現(xiàn)實背景，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為空間幾何問題。

②公理在解決實際問題中的作用，如何利用公理簡化問題和解題過程。

③實際問題的解答步驟，如何按照邏輯順序運用公理進行解答。重點題型整理題型一：判斷題

1.題目：在空間幾何中，如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這兩條直線一定垂直。

答案：錯誤。根據(jù)垂直公理，如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這兩條直線平行，而不是垂直。

題型二：填空題

2.題目：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條平行線都相交，那么這兩條直線所成的角是______。

答案：相等。

題型三：證明題

3.題目：已知直線AB和平面α，點C在平面α內(nèi)，且BC垂直于平面α。證明：直線AB與平面α垂直。

答案：證明過程如下：

-連接點B和點C，形成線段BC。

-由于BC垂直于平面α，根據(jù)垂直公理，直線BC與平面α內(nèi)的任意直線都垂直。

-由于直線AB與線段BC相交，且BC垂直于平面α，根據(jù)垂直公理的推論，直線AB與平面α垂直。

題型四：應用題

4.題目：一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，求證：對角線AC與對角線BD所成的角是直角。

答案：證明過程如下：

-設長方體的頂點分別為A、B、C、D，其中ABCD是底面，AC是底面對角線，BD是頂面對角線。

-由于長方體的對邊平行，底面ABCD是矩形，因此AC與BD平行。

-由于長方體的側(cè)面是矩形，且AC與BD分別垂直于底面和頂面，根據(jù)垂直公理，AC與BD所成的角是直角。

題型五：綜合題

5.題目：在空間中，直線AB與平面α相交于點C，點D在平面α內(nèi)，且CD垂直于平面α。已知∠ACB=30°，BC=10cm，求直線AB與平面α所成的角。

答案：解答過程如下：

-由于CD垂直于平面α，根據(jù)垂直公理，直線CD與平面α內(nèi)的任意直線都垂直。

-因此，∠ACD是直線AB與平面α所成的角。

-在直角三角形ACD中，∠ACD=90°-∠ACB=60°。

-根據(jù)三角函數(shù)，tan(∠ACD)=BC/CD，由于∠ACD=60°，tan(60°)=√3。

-因此，CD=BC/tan(60°)=10cm/√3=10√3/3cm。

-直線AB與平面α所成的角∠ACD的正切值是√3，因此∠ACD=60°。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問題，提出自己的疑問。

-學生能夠跟隨教師的講解思路，對空間點、線、面位置關(guān)系的公理（二）有較好的理解和掌握。

-在實踐活動中，學生能夠主動嘗試，通過實際操作加深對公理的理解。

2.小組討論成果展示：

-學生在小組討論中，能夠有效地交流思想，共同解決問題。

-每個小組都能夠展示出對公理應用的深入理解，能夠舉例說明公理在實際問題中的應用。

-小組討論成果展示中，學生能夠清晰地表達自己的思路，展示了解題過程和最終答案。

3.隨堂測試：

-隨堂測試題目涵蓋了本節(jié)課的重點知識點，包括公理的理解、應用和實際問題的解決。

-學生在測試中表現(xiàn)良好，能夠迅速準確地運用公理解題，顯示出對知識點的掌握程度。

-測試結(jié)果反映出學生在某些方面還存在理解不足，需要進一步鞏固和練習。

4.課后作業(yè)完成情況：

-學生能夠按時完成課后作業(yè)，作業(yè)質(zhì)量較高，能夠體現(xiàn)出對課堂內(nèi)容的理解和應用。

-作業(yè)中，學生對公理的應用存在一些誤區(qū)，需要教師在下節(jié)課進行針對性的講解和指導。

-學生在作業(yè)中提出的疑問，教師能夠及時回復，幫助學生解決學習中的困難。

5.教師評價與反饋：

-針對學生的課堂表現(xiàn)，教師給予積極的評價