平面向量與三角形的四心講義高三數(shù)學一輪復習

平面向量與三角形的四心三角形四心指的是三角形的垂心、重心、內(nèi)心和外心，在高考中常常結合平面向量的知識進行考察，是高中數(shù)學的一個難點.很多學生對三角形四心總是產(chǎn)生混淆，面對與四心有關的問題也常常束手無策，為了解決廣大學子的困擾，本文以四心的常見結論出發(fā)，借助幾道經(jīng)典的例題，對三角形四心問題進行系統(tǒng)梳理，希望能夠為讀者提供幫助.如果讀者是在校高中生，則標注了星號的內(nèi)容可作為拓展知識.三角形的內(nèi)心（1）定義：三角形內(nèi)切圓的圓心，即三角形三條角平分線的交點（如圖1）.（2）向量表示：若為△的內(nèi)心.（注：本文中的邊，，分別表示，，.角，，分別表示，，.）證明：（圖1）點在角的角平分線上，同理點也在角、的角平分線上.為△的內(nèi)心.（3）常用性質(zhì)性質(zhì)1：所在的直線與的角平分線重合（經(jīng)過內(nèi)心）.證明：如圖所示，表示上的單位向量，不妨記作，表示上的單位向量，不妨記作.設，由平行四邊形法則知，四邊形為菱形，故直線為的角平分線.所在的直線與的角平分線重合（經(jīng)過內(nèi)心）.性質(zhì)2：（△內(nèi)切圓的半徑）.證明：由等面積法易證.性質(zhì)3：為△的內(nèi)心.證明：由面積公式易證.（4）典例剖析例11：在△中，為平面內(nèi)一個定點，動點滿足,.則動點的軌跡經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由性質(zhì)1知，答案為A.例12：已知是△所在平面上的一點，若（其中是△所在平面內(nèi)任意一點），則是△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由題意知，即，化簡得.根據(jù)內(nèi)心的向量表示知，是△的內(nèi)心，答案為A.例13：已知是△內(nèi)的一點，且滿足，則所在的直線一定經(jīng)過三角形的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：表示上的單位向量，不妨記作，表示上的單位向量，不妨記作.故，即,即.直線與的角平分線重合，故所在的直線一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心，答案A.二、三角形的外心（1）定義：三角形外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線的交點（如圖2）.（2）向量表示：若為△的外心.（3）常用性質(zhì)：奔馳定理*：已知為△內(nèi)的一點（不一定為外心），則.（該定理反之也成立）證明：不妨延長到（如下圖），則（圖2），即.且根據(jù)，,三點共線知，，故，即.（反之易證）性質(zhì)1*：為△的外心.證明：如圖2所示，為△的外心，，（為△外接圓半徑）.性質(zhì)2*：為△的外心.證明：結合性質(zhì)1與奔馳定理易證.（4）典例剖析例21：在△中，為平面內(nèi)一個定點，動點滿足，.則動點的軌跡一定經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：設線段的中點為，故，即,而，即即，故點在線段的垂直平分線上.動點的軌跡一定經(jīng)過△的外心，答案B.例22：在△中，動點滿足，則點一定經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由題知，設為的中點，則,故,即，在的垂直平分線上，故點一定經(jīng)過△的外心，答案B.例23：已知為△所在平面內(nèi)的一點，滿足，，則為△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由知,即，即,同理可得：，為△的外心，答案B.三、三角形的垂心（1）定義：三角形三條高的交點（如圖3）.（2）向量表示：若為△的垂心.證明：.同理,為△的垂心.（3）常用性質(zhì)性質(zhì)1*：為銳角△的垂心.（圖3）證明：,且在直角△和直角△中有，.故.同理，.，反之易證.性質(zhì)2*：當為銳角△的垂心.證明：利用性質(zhì)1和“奔馳定理”易證.（4）典例剖析例31：在△中，為平面內(nèi)一個定點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由題知,得，即.在邊上的高上，過垂心，答案C.例32：已知為△所在平面內(nèi)的一點，且滿足,則是△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由題知，即，即,即，故，同理，是△的垂心，答案C.例33：設是△的外心，點滿足,則是△的（）A.內(nèi)心B.任意一點C.垂心D.重心解析：由題知，由于是△的外心，故（為線段的中點）且，即，，同理，，故是△的垂心，答案C.三角形的重心（1）定義：三角形三條中線的交點（如圖4）.（2）向量表示：若為△的重心.（3）常用性質(zhì)（圖4）性質(zhì)1：若為△的重心性質(zhì)2：若為△的重心，，性質(zhì)3：已知，,.若為△的重心.（4）典例剖析例41：在△中，為平面內(nèi)一個定點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：由題知，其中（表示 邊上的高），故（為線段的中點）.在邊上的中線上，故動點的軌跡一定經(jīng)過△的重心，答案D.例42：在△中，為平面內(nèi)一個定點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過△的（）A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：設的中點為，故，由于，即點，，三點共線.在邊上的中線上，故動點的軌跡一定經(jīng)過△的重心，答案D.例43：已知在△內(nèi)，且滿足，現(xiàn)在到△內(nèi)隨機取一點，次點取自△，△，△的概率分別記為、、,則（）A.B.C.D.解析：法一：如圖，延長，，使得,，,故，即是△的重心，即△、△、△的面積相等，不妨令它們的面積都為1.，，,故，答案C.法二：由“奔馳定理”知，，，（為比例系數(shù)），故，答案C.法三：根據(jù)三角形內(nèi)心的向量表示，不妨設是以2k，3k，4k（k為比例系數(shù)）為邊長的三角形的內(nèi)心，所以,即，答案C.等腰（邊）三角形的四心（1）等腰三角形等腰三角形只有頂角的角平分線與中線、高三線重合，其余的線不重合.另外，等腰三角形的四心不重合.（2）等邊三角形性質(zhì)1：若△為等邊三角形△四心合一.性質(zhì)2：若△為等邊三角形△三線合一.六、歐拉線*瑞士數(shù)學家歐拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出：（如圖5）任意△（非等邊三角形）的垂心、重心、外心三點共線，即歐拉線.（圖5）特別