廣東第二師范學院番禺附中2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

廣東第二師范學院番禺附中2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列判斷正確的是（）A.甲與丙是互斥事件 B.乙與丙是對立事件C.甲與丁是對立事件 D.丙與丁是互斥事件3．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-24．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.35．定義焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關(guān)曲線.已知，是一對相關(guān)曲線的焦點，Р是這對相關(guān)曲線在第一象限的交點，則點Р與以為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.不確定6．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.57．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面8．已知集合，則（）A. B.C. D.9．數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.27610．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.11．已知直線l經(jīng)過，兩點，則直線l的傾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知等比數(shù)列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，且，記，若，則___________.（用表示）14．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設立一個水文監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向相距的點A處安裝一套監(jiān)測設備．為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設．則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________15．一個高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為.16．2021年7月24日，在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，中國選手楊倩以251.8環(huán)的總成績奪得金牌，為中國代表團摘得本屆奧運會首金．已知楊倩其中5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，則這組數(shù)據(jù)的方差為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.20．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設（其中、為正整數(shù)），求的值.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與x軸交于點P．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求的值22．（10分）已知拋物線經(jīng)過點.（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（Ⅱ）過拋物線C上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以OA為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以OA為直徑的圓上，而以OA為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D2、D【解析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】當?shù)谝淮稳〕?，第二次取出4時，甲丙同時發(fā)生，不互斥不對立；第二次取出的球的數(shù)字是6與兩次取出的球的數(shù)字之和是5不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，不對立，當?shù)谝淮稳〕?，第二次取出3時，甲與丁同時發(fā)生，不互斥不對立，兩次取出的球的數(shù)字之和是5與兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，因此是互斥不對立故選：D3、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D4、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D5、A【解析】設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，根據(jù)題意可得，設，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設，再根據(jù)兩點的距離公式將點的坐標用表示，從而可判斷出點與圓的位置關(guān)系.【詳解】解：設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設，則有，所以，設，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點到圓心的距離為，所以點Р在以為直徑的圓外.故選：A.6、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點時，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C7、D【解析】由平面的基本性質(zhì)結(jié)合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D8、D【解析】由集合的關(guān)系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.9、C【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時聯(lián)系相關(guān)知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C10、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達式，再計算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D11、C【解析】設直線l的傾斜角為，由題意可得直線l的斜率，即，∵，∴直線l的傾斜角為，故選：.12、C【解析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列的基本量列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故可得；解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可得，結(jié)合已知條件，利用裂項相消求和法即可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，所以，因為，所以，又，所以.故答案為：.14、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當時，取最大值，所以“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.15、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.16、128【解析】先求均值，再由方差公式計算【詳解】由已知，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數(shù)導數(shù)，分和兩種情況討論可得單調(diào)性；（2）根據(jù)導數(shù)可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可.【小問1詳解】的定義域是，，①時，，則，在遞增；②時，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時，在遞增時，在遞減，在遞增【小問2詳解】，定義域是，有2個極值點，，即，則有2個不相等實數(shù)根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故實數(shù)m的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導數(shù)解決不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將有兩個極值點等價于有兩不等實根，以此求出，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求的最小值.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當時，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到19、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.20、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項，由可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設，，的展開式通項為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，21、（1）直線l的普通方程，曲線C的直角坐標方程（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換；（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應用求出結(jié)果【小問1詳解】解：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程，曲線的極坐標方程為，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為；小問2詳解】直線轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，得到，所以，，所以22、（1），；（2）.【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）