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2025屆湖南省常德市武陵區(qū)第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.3.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.4.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.5.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不正確的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多6.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設(shè)是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件7.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位8.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.29.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②10.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.11.某三棱錐的三視圖如圖所示,那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.012.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.14.三棱錐中,點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:①若平面,則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形;②若,,,平面,則三棱錐的外接球體積為;③若,,,在平面上的射影是內(nèi)心,則三棱錐的體積為2;④若,,,平面,則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號(hào)是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)15.如圖所示的流程圖中,輸出的值為______.16.已知,滿足約束條件,則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募,僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn),其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試,所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)18.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線、交于、兩點(diǎn),是曲線上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.22.(10分)已知數(shù)列中,(實(shí)數(shù)為常數(shù)),是其前項(xiàng)和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和為,求證:對(duì)任意,都有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.2、D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.3、A【解析】
根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)椋ㄟ^定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.4、A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】
根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較,即可判斷各選項(xiàng)的真假.【詳解】在A中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的;在B中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的,所以是正確的;在C中,由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖,90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到:,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多,所以是正確的;在D中,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定,以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A;可能相交,可判斷B選項(xiàng);利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C;或,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯(cuò)誤;,,則可能相交,故B錯(cuò)誤;若,則,所以,故,所以C錯(cuò)誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.7、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.8、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.9、C【解析】
①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.10、A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)?,所以圓心到的距離為:,即,因?yàn)椋越獾茫蔬xA.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.11、C【解析】
由三視圖還原原幾何體,借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,其中,,為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、①②③【解析】
對(duì)①,由線面平行的性質(zhì)可判斷正確;對(duì)②,三棱錐外接球可看作正方體的外接球,結(jié)合外接球半徑公式即可求解;對(duì)③,結(jié)合題意作出圖形,由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高,則可求解;對(duì)④,由動(dòng)點(diǎn)分析可知,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成的角最大,結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤;【詳解】對(duì)于①,因?yàn)槠矫?,所以,,,又,所以平面,所以,故四個(gè)面都是直角三角形,∴①正確;對(duì)于②,若,,,平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球,∴,,∴體積為,∴②正確;對(duì)于③,設(shè)內(nèi)心是,則平面,連接,則有,又內(nèi)切圓半徑,所以,,故,∴三棱錐的體積為,∴③正確;對(duì)于④,∵若,平面,則直線與平面所成的角最大時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,在中,,∴,即直線與平面所成的最大角為,∴④不正確,故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用,線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解,線面角的求解,屬于中檔題15、4【解析】
根據(jù)流程圖依次運(yùn)行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)程序框圖運(yùn)行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語(yǔ)句.16、【解析】
根據(jù)題意,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示,易知當(dāng),時(shí),的最大值為.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)萬(wàn);(Ⅱ)分布列見解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為,計(jì)算概率得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語(yǔ)成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?,故人?shù)為:萬(wàn)人.(Ⅱ)8名男生中,測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有人,的可能取值為:.,,.故分布列為:.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng),可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時(shí),解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡(jiǎn)單.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得,不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,等價(jià)于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),即,①當(dāng)時(shí),得,所以;②當(dāng)時(shí),得,即,所以;③當(dāng)時(shí),得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因?yàn)?,由題意得,則,解得,故的取值范圍是.20、(1),;(2).【解析】
(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),可得出曲線的普通方程,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,進(jìn)而可得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求出點(diǎn)到直線的最大距離,以及直線截圓所得弦長(zhǎng),利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程得,.所以,曲線的普通方程為,將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2)曲線是圓心為,半徑為為圓,圓
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