2025屆北京市西城區(qū)第一五六中學數學高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆北京市西城區(qū)第一五六中學數學高一上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在下列四個正方體中，、為正方體兩個頂點，、、為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（）A. B.C. D.2．下列命題中不正確的是（）A.一組數據1，2，3，3，4，5的眾數大于中位數B.數據6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數為5C.若甲組數據的方差為5，乙組數據為5，6，9，10，5，則這兩組數據中較穩(wěn)定的是乙D.為調查學生每天平均閱讀時間，某中學從在校學生中，利用分層抽樣的方法抽取初中生20人，高中生10人．經調查，這20名初中生每天平均閱讀時間為60分鐘，這10名高中生每天平均閱讀時間為90分鐘，那么被抽中的30名學生每天平均閱讀時間為70分鐘3．1弧度的圓心角所對的弧長為6，則這個圓心角所夾的扇形的面積是（）A.3 B.6C.18 D.364．已知，則（）A. B.C. D.5．設函數f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，則下列結論中正確的是（）A.B.點是函數的一個對稱中心C.在上是增函數D.存在直線經過點且與函數的圖象有無數多個交點6．已知函數：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝；則下列函數圖像(第一象限部分)從左到右依次與函數序號的對應順序是()A.②①③④ B.②③①④C.④①③② D.④③①②7．函數的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.8．函數對于定義域內任意，下述四個結論中，①②③④其中正確的個數是（）A.4 B.3C.2 D.19．若一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B.0C. D.210．若sin（），α是第三象限角，則sin（）＝（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．袋子中有大小和質地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于________12．已知函數，關于方程有四個不同的實數解，則的取值范圍為__________13．已知的定義域為，那么a的取值范圍為_________14．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，則球O的半徑為________15．扇形半徑為，圓心角為60°，則扇形的弧長是____________16．2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空.約582秒后，載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.此次航天飛行任務中，火箭起到了非常重要的作用.火箭質量是箭體質量與燃料質量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數之差成正比.已知某火箭的箭體質量為mkg，當燃料質量為mkg時，該火箭的最大速度為2ln2km/s，當燃料質量為時，該火箭最大速度為2km/s.若該火箭最大速度達到第一宇宙速度7.9km/s，則燃料質量是箭體質量的_______________倍.（參考數據：）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，點D，E分別為AB，AC的中點．求證：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB18．設集合，.（1）若，求；（2）若，求實數的取值集合.19．某興趣小組在研究性學習活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調查發(fā)現：該商品在過去的一個月內（以天計）的日銷售價格（元）與時間（天）的函數關系近似滿足（為常數）.該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分數據如下表所示：（天）（個）已知第天該商品日銷售收入為元.（1）求出該函數和的解析式；（2）求該商品的日銷售收入（元）的最小值.20．某農戶利用墻角線互相垂直的兩面墻，將一塊可折疊的長為am的籬笆墻圍成一個雞圈，籬笆的兩個端點A，B分別在這兩墻角線上，現有三種方案：方案甲：如圖1，圍成區(qū)域為三角形；方案乙：如圖2，圍成區(qū)域為矩形；方案丙：如圖3，圍成區(qū)域為梯形，且.（1）在方案乙、丙中，設，分別用x表示圍成區(qū)域的面積，;（2）為使圍成雞圈面積最大，該農戶應該選擇哪一種方案，并說明理由.21．已知函數，實數且（1）設，判斷函數在上的單調性，并說明理由；（2）設且時，的定義域和值域都是，求的最大值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】利用線面平行判定定理可判斷A、B、C選項的正誤；利用線面平行的性質定理可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，，平面，平面，平面；對于B選項，連接，如下圖所示：在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，，平面，平面，平面；對于C選項，連接，如下圖所示：在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、中點，則，，平面，平面，平面；對于D選項，如下圖所示，連接交于點，連接，連接交于點，若平面，平面，平面平面，則，則，由于四邊形為正方形，對角線交于點，則為的中點，、分別為、的中點，則，且，則，，則，又，則，所以，與平面不平行；故選：D.【點睛】判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理（，，），其關鍵是在平面內找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言的敘述；（3）利用面面平行的性質定理（，）.2、A【解析】由中位數以及眾數判斷A；由百分位數的定義計算判斷B；計算乙組數據的方差判斷C；計算被抽中的30名學生每天平均閱讀時間從而判斷D.【詳解】對于A，中位數為和眾數相等，故A錯誤；對于B，將該組數據從小到大排列為，，則該組數據的分位數為5，故B正確；對于C，乙組數據，方差為，則這兩組數據中較穩(wěn)定的是乙，故C正確；對于D，被抽中的30名學生每天平均閱讀時間為，故D正確；故選：A3、C【解析】由弧長的定義，可求得扇形的半徑，再由扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由1弧度的圓心角所對的弧長為6，利用弧長公式，可得，即，所以扇形的面積為.故選C.【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式和扇形的面積公式的應用，著重考查了計算能力，屬于基礎題.4、D【解析】先求出，再分子分母同除以余弦的平方，得到關于正切的關系式，代入求值.【詳解】由得，，所以故選：D5、D【解析】根據f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．結合周期判斷各選項即可【詳解】函數f（x）=asinx+bcosx=周期T=2π由題意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正確；x=取得最小值，那么+=就是相鄰的對稱中心，∴點（,0）不是函數f（x）的一個對稱中心；因為x=取得最小值，根據正弦函數的性質可知，f（x）在是減函數故選D【點睛】本題考查三角函數的性質應用，排除法求解，考查轉化思想以及計算能力6、D【解析】圖一與冪函數圖像相對應，所以應④；圖二與反比例函數相對應，所以應為③；圖三與指數函數相對應，所以應為①；圖四與對數函數圖像相對應，所以應為②所以對應順序為④③①②，故選D7、A【解析】根據的圖象求得，求得，再根據，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據函數的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.8、B【解析】利用指數的運算性質及指數函數的單調性依次判讀4個序號即可.【詳解】，①正確；，，②錯誤；，由，且得，故，③正確；由為減函數，可得，④正確.故選：B.9、C【解析】由不等式與方程的關系轉化為，從而解得【詳解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集為{x|x≠m}，∴，解得，k＝﹣1，m＝﹣1，故m+k＝﹣2，故選：C10、C【解析】由α是第三象限角，且sin（），可得為第二象限角，即可得，然后結合，利用兩角和的正弦公式展開運算即可.【詳解】解：因為α是第三象限角，則，又sin（），所以，即為第二象限角，則，則，故選：C.【點睛】本題考查了角的拼湊，重點考查了兩角和的正弦公式，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】把4個球編號，用列舉法寫出所有基本事件，并得出2球顏色相同的事件，計數后可計算概率【詳解】2個紅球編號為，2個白球編號為，則依次取2球的基本事件有：共6個，其中2球顏色相同的事件有共2個，所求概率為故答案為：12、【解析】作出的圖象如下：結合圖像可知，，故令得：或，令得：，且等號取不到，故，故填.點睛：一般討論函數零點個數問題，都要轉化為方程根的個數問題或兩個函數圖像交點的個數問題，本題由于涉及函數為初等函數，可以考慮函數圖像來解決，轉化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數圖像處理能力要求較高.13、【解析】根據題意可知，的解集為，由即可求出【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得故答案為：14、【解析】根據直角三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊，結合球的對稱性、勾股定理、直三棱柱的幾何性質進行求解即可.【詳解】因為，所以三角形是以為斜邊的直角三角形，因此三角形的外接圓的直徑為，圓心為.因為，所以，在直三棱柱中，側面是矩形且它的中心即為球心O，球的直徑是的長，則，所以球的半徑為故答案為：【點睛】本題考查了直三棱柱外接球問題，考查了直觀想象能力和數學運算能力.15、【解析】根據弧長公式直接計算即可.【詳解】解：扇形半徑為，圓心角為60°，所以，圓心角對應弧度為.所以扇形的弧長為.故答案為：16、51【解析】設燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數之差成正比的比例系數為k，根據條件列方程求出k值，再設當該火箭最大速度達到第--宇宙速度7.9km/s時，燃料質量是箭體質量的a倍，根據題中數據再列方程可得a值.【詳解】設燃料質量不同的火箭的最大速度之差與火箭質量的自然對數之差成正比的比例系數為k，則，解得，設當該火箭最大速度達到第一宇宙速度7.9km/s時，燃料質量是箭體質量的a倍，則，得，則燃料質量是箭體質量的51倍故答案為：51.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)由點D、E分別為AB、AC中點得知DE∥BC,由此證得DE∥平面PBC;(2)要證CD⊥平面PAB,只需證明垂直平面內的兩條相交直線與即可.【詳解】（1）因為點D、E分別為AB、AC中點，所以DE∥BC又因為DE?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因為CA＝CB，點D為AB中點，所以CD⊥AB因為PA⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PA⊥CD又因為PA∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【點睛】本題考查線面平行的證明,線面垂直的證明,屬于基礎題.垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型(1)證明線面、面面平行,需轉化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉化為證明線面垂直.18、（1）；（2）.【解析】易得．（1）由；（2），然后利用分類討論思想對、和分三種情況進行討論.試題解析：集合（1）若，則，則（2），∴，當，即時，成立；當，即時，（i）當時，，要使得，，只要解得，所以的值不存在；（ii）當時，，要使得，只要解得綜上，的取值集合是考點：集合的基本運算.19、（1），（2）最小值為元【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的數據可得出關于、的方程組，可解得、的值，由此可得出函數和的解析式；（2）求出函數的解析式，利用基本不等式、函數單調性求得在且、且的最小值，比較大小后可得出結論.【小問1詳解】解：依題意知第天該商品的日銷售收入為，解得，所以，.由表格可知，解得.所以，.【小問2詳解】解：由（1）知，當且時，，當且時，.，當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即.當時，因為函數、均為減函數，則函數為減函數，所以當時，取得最小值，且.綜上所述，當時，取得最小值，且.故該商品的日銷售收入的最小值為元.20、（1），；，.（2）農戶應該選擇方案三，理由見解析.【解析】（1）根據矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案；（2）先根據基本不等式研究方案甲得面積的最大值為，再根據二次函數的性質結合（1）研究，的最大值即可得答案.【小問1詳解】解：對于方案乙，當時，，所以矩形的面積，；對于方案丙，當時，，由于所以，所以梯形面積為，.【小問2詳解】解：對于方案甲，設，則，所以三角形的面積為，當且僅當時等號成立，故方案甲的雞圈面積最大值為.對于方案乙，由（1）得，