廣東省廣州荔灣區(qū)真光中學2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

廣東省廣州荔灣區(qū)真光中學2025屆數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B.C.1 D.2．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列通項公式，則（）A.6 B.13C.21 D.314．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.36．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.7．已知，,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.8．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）.A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.C.D.是函數(shù)的極小值點9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.10．甲、乙兩名射擊運動員進行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9811．實數(shù)且，，則連接，兩點的直線與圓C：的位置關系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定12．若是等差數(shù)列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過圓內(nèi)的點作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______14．已知數(shù)列{}的前n項和為，則該數(shù)列的通項公式__________.15．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則______16．已知雙曲線中心在坐標原點，左右焦點分別為，漸近線分別為，過點且與垂直的直線分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列的前n項和為，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且（1）求角的大小（2）若，且，求的面積20．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點為，，且長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，兩點，求弦長.21．（12分）同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的整數(shù)倍的概率22．（10分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯(lián)盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質(zhì)測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質(zhì)成績的平均值和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質(zhì)成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D2、B【解析】構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項；構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.3、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B6、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.7、A【解析】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數(shù)的運算以及化簡公式的應用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設誰，再根據(jù)題干將等量關系轉化為代數(shù)關系，從而列出方程，化簡即可.8、B【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖像，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點的定義逐一判斷各個選項即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)的圖象，可得或時，，當或時，，所以函數(shù)在和上遞減，在和上遞增，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；是函數(shù)的極大值點，故D錯誤.故選：B.9、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B10、A【解析】依據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A11、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了計算求解能力，屬于基礎題.12、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標性質(zhì)求得答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當直線時，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.14、2n+1【解析】由計算，再計算可得結論【詳解】由題意時，，又適合上式，所以故答案為：【點睛】本題考查由求通項公式，解題根據(jù)是，但要注意此式不含，15、77【解析】依題意利用等差中項求得，進而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.16、【解析】判斷出三角形的形狀，求得點坐標，由此列方程求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意設雙曲線方程為，雙曲線的漸近線方程為，右焦點，不妨設.由于，所以是線段的中點，由于，所以是線段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，則.直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，則，即，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合“當時，”計算作答.(2)由(1)求出，利用裂項相消法計算得解.【小問1詳解】數(shù)列的前n項和為，，當時，，當時，，滿足上式，則，所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項和18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)，通過余弦定理求解.（2）根據(jù)，通過正弦定理，把角轉化為邊得，再根據(jù)，得．再代入的面積公式求解.【詳解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面積【點睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）由已知直接可得；（2）聯(lián)立方程組求出A，兩點坐標，再由兩點間距離公式可得.【小問1詳解】∵橢圓的中心在原點，焦點為，且長軸長為4，，，，故橢圓的方程為；【小問2詳解】設，聯(lián)立解得和，，∴弦長.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，應用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)有的概率為.22、（1）平均值為74.6分，中位數(shù)為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)和中位數(shù)算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小