2025屆湖北省宜昌市部分示范高中教學(xué)協(xié)作體高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2025屆湖北省宜昌市部分示范高中教學(xué)協(xié)作體高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.2．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.3．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.4．某機構(gòu)通過抽樣調(diào)查，利用列聯(lián)表和統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)，計算得，經(jīng)查對臨界值表知，，現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是（）A.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)"B.因為，故有95%把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”C.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙無關(guān)”D.因為，故有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關(guān)”5．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.6．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.47．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.39．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的點，直線交雙曲線于另一個點（為坐標原點），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.12．若直線與互相垂直，則實數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________14．某公司青年、中年、老年員工的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數(shù)為__________15．經(jīng)過點，的直線的傾斜角為___________.16．已知P為拋物線上的一個動點，設(shè)P到拋物線準線的距離為d，點，那么的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（2）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；18．（12分）已知首項為1的數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.20．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.21．（12分）如圖，在長方體中，底面是正方形，O是的中點，（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值22．（10分）已知點F為拋物線：（）的焦點，點在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點（點A，B與點P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點，當四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個過程，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】設(shè)點A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因為平面ABC，所以,因為，，所以又，，所以,所以,設(shè)點A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A3、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.4、A【解析】根據(jù)給定條件利用獨立性檢驗的知識直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”，也不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關(guān)”，即B，D都不正確.故選：A5、A【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.6、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結(jié)果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B8、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】由給定條件寫出點A，F(xiàn)坐標，設(shè)出點B的坐標，求出線段FC的中點坐標，由三點共線列式計算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點，因直線平分線段，即點D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A11、A【解析】由得，為邊的中點得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設(shè)，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.12、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數(shù)a的值為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.14、200【解析】先根據(jù)分層抽樣的方法計算出該單位青年職工應(yīng)抽取的人數(shù)，進而算出青年職工的總?cè)藬?shù).【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽?。ㄈ耍?因為每人被抽中的概率是0.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.15、【解析】根據(jù)兩點間斜率公式得到斜率，再根據(jù)斜率確定傾斜角大小即可.【詳解】根據(jù)兩點間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：16、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點，準線為，如圖，過作垂直準線于點，則，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見解析【解析】（1）求出的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，變形求得，，，由此推測：然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域為，當，即時，單調(diào)遞增；當，即時，單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當時，，即令，得，即【小問2詳解】；；由此推測：①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①（1）當時，左邊右邊，①成立（2）假設(shè)當時，①成立，即當時，，由歸納假設(shè)可得所以當時，①也成立根據(jù)（1）（2），可知①對一切正整數(shù)都成立18、（1）（2）【解析】（1）由，構(gòu)造是以為首項，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項相消可求.【小問1詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，故數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以.因為，所以，所以數(shù)列的前n項和.19、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時，，當時，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域為當時，，在上單調(diào)遞增；當時，令，解得；令，解得；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當時，，，當時，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即20、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于P點坐標得方程組，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)點到直線距離公式結(jié)合條件解得點M坐標，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設(shè)點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當=時,取得最小值.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以A為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，令，可得的坐標，再求數(shù)量積可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐標，由線面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】在長方體中，以A為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系不妨令，則，，因為，所以【小問2詳解】由（1）可知，，，設(shè)平面的法向量，則令，得，設(shè)直線與平面所成的角，則.22、（1）；（2）或.【