廣州市番禺區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

廣州市番禺區(qū)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的是（）A. B.C. D.2．函數(shù)零點所在的大致區(qū)間的A. B.C. D.3．如圖，在平面四邊形ABCD，，，，．若點E為邊上的動點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．設(shè)，，則（）A.且 B.且C.且 D.且5．下圖是函數(shù)的部分圖象，則（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有8個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.8．若tanα＝2，則的值為（）A.0 B.C.1 D.9．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)的最小值是A. B.C. D.10．函數(shù)與（且）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線經(jīng)過點，且與斜率為的直線垂直，則直線的方程為__________12．聲強(qiáng)級L（單位：dB）由公式給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：W/m2）.聲強(qiáng)級為60dB的聲強(qiáng)是聲強(qiáng)級為30dB的聲強(qiáng)的______倍.13．定義為中的最大值，函數(shù)的最小值為，如果函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的范圍為__________14．若，記，，，則P、Q、R的大小關(guān)系為______15．已知是球上的點，,，,則球的表面積等于________________16．一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）討論的單調(diào)性；（3）求在區(qū)間[,2]上的值域.18．如圖，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上（1）求點C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積19．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P=3-6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q=a+2，設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).（1）當(dāng)甲城市投資50萬元時，求此時公司的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大?20．已知.（1）求的值；（2）求的值.21．定義在R上的函數(shù)對任意的都有，且，當(dāng)時.（1）求的值，并證明是R上的增函數(shù)；（2）設(shè)，（i）判斷的單調(diào)性（不需要證明）（ii）解關(guān)于x的不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】取，得到，對比選項得到答案.【詳解】，取，，解得，，當(dāng)時，D選項滿足.故選：D.2、B【解析】函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則只需時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）上存在零點.【詳解】函數(shù),x>0上單調(diào)遞增，，函數(shù)f（x）零點所在的大致區(qū)間是；故選B【點睛】本題考查利用函數(shù)零點存在性定義定理求解函數(shù)的零點的范圍，屬于基礎(chǔ)題；解題的關(guān)鍵是首先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在的條件：已知函數(shù)在（a，b）連續(xù)，若確定零點所在的區(qū)間.3、A【解析】由已知條件可得，設(shè)，則，由，展開后，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】∵,因為，，，所以，連接，因為，所以≌，所以，所以，則，設(shè)，則，∴，，，，所以，因為，所以.故選：A4、B【解析】容易得出，，即得出，，從而得出，【詳解】，.又，即，，，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求解時注意總結(jié)規(guī)律，即對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)同時大于1或同時大于0小于1，函數(shù)值大于0；若一個大于1，另一個大于0小于1，函數(shù)值小于05、B【解析】由圖象求出函數(shù)的周期，進(jìn)而可得的值，然后逆用五點作圖法求出的值即可求解.【詳解】解：由圖象可知，函數(shù)的周期，即，所以，不妨設(shè)時，由五點作圖法，得，所以，所以故選：B.6、A【解析】利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，然后利用換元法，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷根的個數(shù)即可.【詳解】由，得，解得或，作出的圖象如圖，則若，則或，設(shè)，由得，此時或，當(dāng)時，，有兩根，當(dāng)時，，有一個根，則必須有，有個根，設(shè)，由得，若，由，得或，有一個根，有兩個根，此時有個根，不滿足題意；若，由，得，有一個根，不滿足條件.若，由，得，有一個根，不滿足條件；若，由，得或或，當(dāng)，有一個根，當(dāng)時，有個根，當(dāng)時，有一個根，此時共有個根，滿足題意.所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：A.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題第II卷（非選擇題7、D【解析】利用定義法求出，再用二倍角公式即可求解.【詳解】依題意，角的終邊經(jīng)過點，則，于是.故選：D8、B【解析】將目標(biāo)是分子分母同時除以，結(jié)合正切值，即可求得結(jié)果.【詳解】＝＝.故選：【點睛】本題考查齊次式的化簡和求值，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】將看作整體，先求的取值范圍，再根據(jù)不等式恰有一個整點和函數(shù)的圖像，推斷參數(shù)，的取值范圍【詳解】做出函數(shù)的圖像如圖實線部分所示，由，得，若，則滿足不等式，不等式至少有兩個整數(shù)解，不滿足題意，故，所以，且整數(shù)解只能是4，當(dāng)時，，所以，選擇A【點睛】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，及整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，需要根據(jù)題設(shè)條件，將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為圖形表達(dá)，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)的取值范圍10、B【解析】分析一次函數(shù)的單調(diào)性，可判斷AD選項，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍，結(jié)合直線與軸的交點與點的位置關(guān)系可得出合適的選項.【詳解】因為一次函數(shù)為直線，且函數(shù)單調(diào)遞增，排除AD選項.對于B選項，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點位于點的上方，合乎題意；對于C選項，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點位于點的下方，不合乎題意.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】與斜率為的直線垂直，故得到直線斜率為又因為直線經(jīng)過點，由點斜式故寫出直線方程，化簡為一般式：故答案為．12、1000【解析】根據(jù)已知公式，應(yīng)用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)求60dB、30dB對應(yīng)的聲強(qiáng)，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，可得，，可得，∴聲強(qiáng)級為60dB的聲強(qiáng)是聲強(qiáng)級為30dB的聲強(qiáng)的倍.故答案為：1000.13、【解析】根據(jù)題意，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得的值，進(jìn)而可得，由減函數(shù)的定義可得，解得的范圍，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，則，根據(jù)單調(diào)性可得先減后增，所以當(dāng)時，取得最小值2，則有，則，因為為減函數(shù)，必有，解可得：，即m的取值范圍為；故答案為．【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)最值的計算，關(guān)鍵是求出c的值．14、【解析】利用平方差公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得P、R的關(guān)系，然后作差，因式分解，結(jié)合已知可判斷P、Q的大小關(guān)系.【詳解】又因為，所以所以，即所以P、Q、R的大小關(guān)系為.故答案為：15、【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的點，所以，又，，所以四面體的外接球半徑等于以長寬高分別以SA,AB,BC三邊長為長方體的外接球的半徑，因為，,所以，所以球的表面積點睛：本題考查了球內(nèi)接多面體，球的表面積公式，屬于中檔題．其中根據(jù)已知條件求球的直徑（半徑）是解答本題的關(guān)鍵16、【解析】根據(jù)反射光線的性質(zhì)，確定反射光線上的兩個點的坐標(biāo)，最后確定直線的一般式方程.【詳解】因為一條光線從A處射到點B(0，1)后被軸反射，所以點A關(guān)于直線對稱點為，根據(jù)對稱性可知，反射光線所在直線過點，又因為反射光線所在直線又過點，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）函數(shù)在上為減函數(shù)（3）【解析】（1）直接令真數(shù)大于0即可得解；（2）由和，結(jié)合同增異減即可得解；（3）直接利用（2）的單調(diào)性可直接得值域.【小問1詳解】由，得，解得.所以定義域為；小問2詳解】由在上為增函數(shù)，且為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)；【小問3詳解】由（2）知函數(shù)單調(diào)遞減，因為，，所以在區(qū)間上的值域為.18、（1）（–5，–4）（2）【解析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意寫出關(guān)于的方程組，得到點坐標(biāo)；（2）由兩點間距離公式求出，再由兩點得到直線的方程，利用點到直線的距離公式，求出點到的距離，由三角形面積公式得到答案.【詳解】（1）由題意，設(shè)點，根據(jù)AC邊的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，根據(jù)中點公式，可得，解得，所以點的坐標(biāo)是（2）因為，得，所以直線的方程為，即，故點到直線的距離，所以的面積【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式，兩點間距離公式，點到直線的距離公式，屬于簡單題.19、（1）43.5(萬元)；（2）甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元.【解析】（1）直接代入收益公式進(jìn)行計算即可.（2）由收益公式寫出f(x)=-x+3+26，令t=，將函數(shù)轉(zhuǎn)為關(guān)于t的二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）當(dāng)x=50時，此時甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元，所以公司的總收益為3-6+×70+2=43.5(萬元).（2）由題知，甲城市投資x萬元，乙城市投資(120-x)萬元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依題意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，則t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.當(dāng)t=6，即x=72萬元時，y的最大值為44萬元，所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元.【點睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)正切的差角公式求得，再利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案【詳解】（1）因為，所以，即，解得，所以，所以，（2）21、（1），證明見解析（2）（i）