2025屆福建省沙縣金沙高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆福建省沙縣金沙高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末預(yù)測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線:與橢圓交于、兩點,與圓:交于、兩點.若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.2.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.3.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.4.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有5.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知函數(shù)滿足,設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.8.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.9.函數(shù)的定義域為()A.或 B.或C. D.10.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個月的平均收入為萬元11.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,則的最小值是__.14.已知函數(shù)在處的切線與直線平行,則為________.15.已知,滿足約束條件,則的最大值為________.16.已知圓,直線與圓交于兩點,,若,則弦的長度的最大值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中底面是菱形,,是邊長為的正三角形,,為線段的中點.求證:平面平面;是否存在滿足的點,使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,以橢圓C左頂點T為圓心作圓,設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.(1)求橢圓C的方程;(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點,求證:為定值.19.(12分)已知數(shù)列的前n項和為,且n、、成等差數(shù)列,.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列,求的值.20.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點,是的中點,現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點為.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心,由此得到坐標(biāo)的關(guān)系,再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過定點即為的圓心,因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故選:A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用,難度一般.通過運用點差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的,大大簡化運算.2、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.3、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關(guān)系,進(jìn)行判斷即可.【詳解】由得關(guān)于對稱,若關(guān)于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,結(jié)合對稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.5、C【解析】所對應(yīng)的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡單題.6、B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性,利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若,則,即成立,若,則由,得,則“”是“”的必要不充分條件,故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

直線恒過定點,由此推導(dǎo)出,由此能求出點的坐標(biāo),從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標(biāo)為,∴點B的坐標(biāo)為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用,屬于中檔題.8、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于的不等式,即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得,解得或.因此,函數(shù)的定義域為或.故選:A.【點睛】本題考查具體函數(shù)定義域的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項正確;結(jié)余最高為月份,為,故項正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項正確;前個月的平均收入為萬元,故項錯誤.綜上,故選.11、D【解析】

,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.12、A【解析】

根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】

因為,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),取等號.故答案為:【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.14、【解析】

根據(jù)題意得出,由此可得出實數(shù)的值.【詳解】,,直線的斜率為,由于函數(shù)在處的切線與直線平行,則.故答案為:.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù),解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點與原點距離的平方,利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示,易知當(dāng),時,的最大值為.故答案為:9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.16、【解析】

取的中點為M,由可得,可得M在上,當(dāng)最小時,弦的長才最大.【詳解】設(shè)為的中點,,即,即,,.設(shè),則,得.所以,.故答案為:【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想,是一道有一定難度的題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析;2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要條件是,繼而得出的值.【詳解】解:證明:因為是正三角形,為線段的中點,所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要條件是,所以,.即存在滿足的點,使得,此時.【點睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識;考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想,屬于難題.18、(1);(2);(3)【解析】

(1)依題意,得,,由此能求出橢圓C的方程.(2)點與點關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點在橢圓C上,故,由,知,由此能求出圓T的方程.(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:,由此能證明為定值.【詳解】(1)依題意,得,,,故橢圓C的方程為.(2)點與點關(guān)于軸對稱,設(shè),,設(shè),由于點在橢圓C上,所以,由,則,.由于,故當(dāng)時,的最小值為,所以,故,又點在圓T上,代入圓的方程得到.故圓T的方程為:(3)設(shè),則直線MP的方程為:,令,得,同理:.故又點與點在橢圓上,故,代入上式得:,所以【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中定值問題,考查了學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析,;(2)11202.【解析】

(1)由n,,成等差數(shù)列,可得,,兩式相減,由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列,可求數(shù)列的通項公式;(2)由(1)中的可求出,根據(jù)和求出數(shù)列,中的公共項,分組求和,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式,可得答案.【詳解】(1)證明:因為n,,成等差數(shù)列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又當(dāng)時,,所以,所以,故數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.(2)根據(jù)(1)求解知,,,所以,所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.又因為,,,,,,,,,,,所以.【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義,考查分組求和,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)菱形性質(zhì)可知,結(jié)合可得,進(jìn)而可證明,即,即可由線面垂直的判定定理證明平面;(2)結(jié)合(1)可證明兩兩互相垂直.即以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè),連接,如下圖所示:∵側(cè)面為菱形,∴,且為及的中點,又,則為直角三角形,,又,,即,而為平面內(nèi)的兩條相交直線,平面.(2)平面,平面,,即,從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,為等邊三角形,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,∴可取,設(shè)平面的法向量為,則.同理可取,由圖示可知二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定方法,利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點,并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點,所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點,并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一

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