
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2025屆安徽省定遠(yuǎn)縣重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知球O的半徑為2,球心到平面的距離為1,則球O被平面截得的截面面積為()A. B.C. D.2.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,……,這就是著名的斐波那契數(shù)列,該數(shù)列的前2022項(xiàng)中有()個(gè)奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13503.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()A.40 B.42C.43 D.454.已知拋物線=的焦點(diǎn)為F,M、N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn),若,則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.8 B.4C. D.95.下列橢圓中,焦點(diǎn)坐標(biāo)是的是()A. B.C. D.6.已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解,則m的取值范圍是()A. B.C. D.7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn),,其歐拉線方程為,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是()A. B.C. D.8.已知平面的一個(gè)法向量為,則x軸與平面所成角的大小為()A. B.C. D.9.我國(guó)新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化,各地有序進(jìn)行疫苗接種工作,下面是我國(guó)甲、乙兩地連續(xù)11天的疫苗接種指數(shù)折線圖,根據(jù)該折線圖,下列說法不正確的是()A.這11天甲地指數(shù)和乙地指數(shù)均有增有減B.第3天至第11天,甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%C.在這11天期間,乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量D.第9天至第11天,乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量10.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),其中不在軸上的點(diǎn)有()A.36個(gè) B.30個(gè)C.25個(gè) D.20個(gè)11.如圖是一個(gè)程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的n值是()A.2 B.3C.4 D.512.《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長(zhǎng)篇小說,書中有這樣一個(gè)情節(jié):一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球,燈球有兩種,一種是大燈下綴2個(gè)小燈,另一種是大燈下綴4個(gè)小燈,大燈共360個(gè),小燈共1200個(gè).若在這座樓閣的燈球中,隨機(jī)選取一個(gè)燈球,則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為_________14.若雙曲線的漸近線為,則其離心率的值為_______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn),,則雙曲線的漸近線方程為___________.16.雙曲線的右焦點(diǎn)到C的漸近線的距離為,則C漸近線方程為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的頂點(diǎn),邊上的中線所在直線方程為,邊上的高所在直線方程為.求:(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線的方程.18.(12分)已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)為,離心率為.(1)求雙曲線C的漸近線方程;(2)過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),若,求k的值.19.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.(1)求拋物線的方程;(2)若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且,求證:直線過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21.(12分)如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直,,,.(1)求點(diǎn)C到平面的距離;(2)線段上是否存在點(diǎn)F,使與平面所成角正弦值為,若存在,求出,若不存在,說明理由.22.(10分)已知,p:,q:(1)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若,“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知,截面圓的半徑為,所以截面的面積.故選:B2、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)分析該數(shù)列的項(xiàng)的奇偶規(guī)律,由此確定該數(shù)列的前2022項(xiàng)中的奇數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù),為奇數(shù),為偶數(shù),因?yàn)椋詾槠鏀?shù),為奇數(shù),為偶數(shù),…………所以為奇數(shù),為奇數(shù),為偶數(shù),又故該數(shù)列的前2022項(xiàng)中共有1348個(gè)奇數(shù),故選:C.3、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,,所以,則.故選:B.4、B【解析】過分別作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,則由拋物線的定義可得,再過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為直線如圖,過分別作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,過MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線,垂足為,則由拋物線的定義可得,因?yàn)?,所以,因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€,所以,所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4,故選:B5、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)中的橢圓焦點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,A不是;對(duì)于B,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,B是;對(duì)于C,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,C不是;對(duì)于D,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,D不是.故選:B6、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解,可化為只有一個(gè)整數(shù)解令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí),取最大值,當(dāng)時(shí),恒成立,的草圖如下:,,則若只有一個(gè)整數(shù)解,則,即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解,則m的取值范圍是故選:B7、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo),求出的重心并代入歐拉線方程,驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng),余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的重心坐標(biāo)為,依題意,,整理得:,對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,不滿足題意,排除A;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,不滿足題意,排除D;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,直線AB的斜率,線段AB中點(diǎn),線段AB中垂線方程:,即,由解得:,于是得的外心,若點(diǎn),則直線BC的斜率,線段BC中點(diǎn),該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為,顯然,即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上,不滿足題意,排除B;若點(diǎn),則直線BC的斜率,線段BC中點(diǎn),線段BC中垂線方程為:,即,由解得,即點(diǎn)為的外心,并且在直線上,邊AB上的高所在直線:,即,邊BC上的高所在直線:,即,由解得:,則的垂心,此時(shí)有,即的垂心在直線上,選項(xiàng)C滿足題意.故選:C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:的三頂點(diǎn),則的重心為.8、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為,再利用空間向量法求出線面角的正弦值,即可得解;【詳解】解:依題意軸的方向向量可以為,設(shè)x軸與平面所成角為,則,因?yàn)?,所以,故選:C9、C【解析】由折線圖逐項(xiàng)分析得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,從折線圖中可以直接觀察出甲地和乙地的指數(shù)有增有減,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,從第3天至第11天,甲地指數(shù)和乙地指數(shù)都超過80%,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,從折線圖上可以看出這11天甲的增量大于乙的增量,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,從折線圖上可以看出第9天至第11天,乙地指數(shù)的增量大于甲地指數(shù)的增量,故D正確;故選:C.10、C【解析】根據(jù)點(diǎn)不在y軸上,分2類根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為0,分兩類考慮,第一類含0且為點(diǎn)的縱坐標(biāo),共有個(gè)點(diǎn),第二類坐標(biāo)不含0的點(diǎn),共有個(gè)點(diǎn),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)點(diǎn).故選:C11、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),一般需重復(fù)計(jì)算,根據(jù)判斷框中的條件,確定何時(shí)終止循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】初始值:,當(dāng)時(shí),,進(jìn)入循環(huán);當(dāng)時(shí),,進(jìn)入循環(huán);當(dāng)時(shí),,終止循環(huán),輸出的值為3.故選:B12、B【解析】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè),大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè),根據(jù)題意求得,再由古典概型及其概率的公式,即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè),大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè),根據(jù)題意可得,解得,則燈球的總數(shù)為個(gè),故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為,故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算,其中解答中根據(jù)題意列出方程組,求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意可得,化簡(jiǎn)整理得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其一條漸近線為,所有由題意可得,即,則,所以離心率,故答案為:.14、【解析】利用漸近線斜率為和雙曲線的關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于的齊次方程,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】由漸近線方程可知:,即,,,(負(fù)值舍掉).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線方程求解離心率的問題,關(guān)鍵是利用漸進(jìn)線的斜率構(gòu)造關(guān)于的齊次方程.15、【解析】首先根據(jù)已知條件得到,再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示:,,所以,即.設(shè),則,.即,,,,所以,漸近線方程為.故答案為:16、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線漸近線,再用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算作答【詳解】雙曲線的漸近線為:,即,依題意,,即,解得,所以C漸近線方程為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)求出直線的方程,然后聯(lián)立直線、的方程,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè),可求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程,可求得的值,可得出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而利用直線的斜率和點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解:,所以,而,則,所以直線的方程為,由,解得,所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解:因?yàn)樵谥本€,所以可設(shè),由為線段的中點(diǎn),所以,將的坐標(biāo)代入直線的方程,所以,解得,所以.故,故直線的方程為,即.18、(1)(2)【解析】(1)由離心率可得雙曲線的漸近線方程;(2)設(shè),則的中點(diǎn)為,由,可得,然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可得答案.【小問1詳解】設(shè),則,又,所以,得,所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角,,設(shè),則的中點(diǎn)為,,由,可知,所以,即,因?yàn)榈姆匠虨?,雙曲線的漸近線方程可寫為,由消去y,得,所以,,所以,因?yàn)?,所以,?19、(1)(2)【解析】(1)根據(jù),再結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可求出結(jié)果;(2)由(1)可知,再利用錯(cuò)位相減法,即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,解得當(dāng)時(shí),,所以,即.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故.【小問2詳解】解:由(1)知,則,所以①②,①-②得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和20、(1)(2)證明見解析,定點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0).【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義,即可求出結(jié)果;(2)由題意直線方程可設(shè)為,將其與拋物線方程聯(lián)立,再將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)求解,即可求出定點(diǎn).【小問1詳解】解:拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn),設(shè)拋物線的方程為,到焦點(diǎn)的距離為6,即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6,即解得,即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行,故直線方程可設(shè)為,與拋物線聯(lián)立得,消去得,設(shè),則,則,,由,可得,所以,即,亦即,又,解得,所以直線方程為,易得直線過定點(diǎn).21、(1)(2)存在,1【解析】(1)由題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離(2)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足,由題意得到關(guān)于的方程,解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在【小問1詳解】解:如圖所示,取中點(diǎn),連結(jié),,因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?,所以,因?yàn)槊婷?,面面面,所以平面,又因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?,可得,則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:據(jù)此可得,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令可得,從而,又,故求點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】解:假設(shè)存在點(diǎn),,滿足題意,點(diǎn)在線段上,則,即:,,,,,據(jù)此可得:,,從而,,,,設(shè)與平面所成角所成的角為,則,整理可得:,解得:或(舍去)據(jù)此可知,存在滿足題意的點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),即22、(1)(2)或【解析】(1)根據(jù)命題對(duì)應(yīng)的集合是命題對(duì)應(yīng)的集合的真子集列式解得結(jié)果即可得解;(2)“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,等價(jià)于與一真一假,分兩種情況列式可得結(jié)果.【詳解】(1)
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