北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)分校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題含解析

北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)分校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)2．若向量，則下列結(jié)論正確的是A. B.．C. D.3．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）A. B.C. D.4．如果，，那么直線(xiàn)不通過(guò)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．已知集合，則A. B.C. D.6．在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，BD交CE于F，則=（）A. B.C. D.7．實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組（x，y）的值為（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），則y與x之間的回歸直線(xiàn)方程為（）A.B.C.D.8．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.10．已知直線(xiàn)ax+by+c=0的圖象如圖，則()A.若c>0，則a>0，b>0B.若c>0，則a<0，b>0C.若c<0，則a>0，b<0D.若c<0，則a>0，b>0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_________12．某工廠師徒二人各加工相同型號(hào)的零件2個(gè)，是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個(gè)零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個(gè)零件都是精品的概率為，則徒弟加工2個(gè)零件都是精品的概率為_(kāi)_____13．設(shè)平行于軸的直線(xiàn)分別與函數(shù)和的圖像相交于點(diǎn)，，若在函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)________.14．若三棱錐中，,其余各棱長(zhǎng)均為5，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)____15．若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)________.16．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程.18．某淘寶商城在2017年前7個(gè)月的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表，已知與具有較好的線(xiàn)性關(guān)系.月份銷(xiāo)售額（1）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）分析該淘寶商城2017年前7個(gè)月的銷(xiāo)售額的變化情況，并預(yù)測(cè)該商城8月份的銷(xiāo)售額.附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.19．已知函數(shù)為偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）記集合，，判斷與的關(guān)系；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)值域?yàn)?，求的?20．判斷并證明在的單調(diào)性.21．已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且即函?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答：選項(xiàng)A、選項(xiàng)B、選項(xiàng)C、，正確選項(xiàng)D、因?yàn)樗詢(xún)上蛄坎黄叫?、D【解析】借助正方體模型還原幾何體，進(jìn)而求解表面積即可.【詳解】解：如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體模型中，將三視圖還原成直觀圖為三棱錐，其中，均為直角三角形，為等邊三角形，，所以該幾何體的表面積為故選：D4、A【解析】截距,因此直線(xiàn)不通過(guò)第一象限,選A5、C【解析】分別解集合A、B中的不等式，再求兩個(gè)集合的交集【詳解】集合，集合，所以，選擇C【點(diǎn)睛】進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算前，要搞清楚每個(gè)集合里面的元素種類(lèi)，以及具體的元素，再進(jìn)行運(yùn)算6、A【解析】利用向量加法法則把轉(zhuǎn)化為，再利用數(shù)量關(guān)系把化為，從而可表示結(jié)果.【詳解】解：如圖，∵平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，∴，∴DF，∴，故選A【點(diǎn)睛】此題考查了向量加減法則，平面向量基本定理，難度不大7、A【解析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，即可得答案【詳解】解：由已知可得，所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，因樣本中心必在回歸直線(xiàn)上，所以把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，可得只有成立，故選：A.8、A【解析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因?yàn)?，所?故選：A.9、A【解析】可判斷在單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，，.故選：A.10、D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直線(xiàn)在x，y軸上的截距分別為-，-.如圖，k<0，即-<0，所以ab>0，因?yàn)?>0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，則a>0，b>0；若c>0，則a<0，b<0;故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】對(duì)分類(lèi)討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和，代入，解出的范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，，因?yàn)?，所以不成立；?dāng)，即時(shí)，，，不滿(mǎn)足；當(dāng)，即時(shí)，，，由得，得，得；當(dāng)，即時(shí)，，，由得，得，得，得；當(dāng)，即時(shí)，，，不滿(mǎn)足；當(dāng)，即時(shí)，，，不滿(mǎn)足.綜上所述：.所以得最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)分類(lèi)討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關(guān)鍵.12、##0.25【解析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的乘法公式直接計(jì)算即可.【詳解】記師傅加工兩個(gè)零件都是精品的概率為，則，徒弟加工兩個(gè)零件都是精品的概率為，則師徒二人各加工兩個(gè)零件都是精品的概率為，求得，故徒弟加工兩個(gè)零件都是精品的概率為.故答案為：13、【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，求得點(diǎn)，坐標(biāo)，得到，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形為等邊三角形，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，得到關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得，所以點(diǎn)，由，得，所以點(diǎn)，從而，如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以，，則點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于先由同一參數(shù)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入求解；本題中，先設(shè)直線(xiàn)，分別求出，坐標(biāo)，得到等邊三角形的邊長(zhǎng)，由此用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.14、【解析】由題意得，易知內(nèi)切球球心到各面的距離相等，設(shè)為的中點(diǎn)，則在上且為的中點(diǎn)，在中，，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積為15、【解析】函數(shù)的圖象可以看作的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移4個(gè)單位得到，先求出關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再向右平移4個(gè)單位即得.【詳解】由題得，函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移個(gè)單位得函數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，向右平移4個(gè)單位是，所以函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的平移變換和對(duì)稱(chēng)變換，考查了分析能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)不等式的解集可得、、為對(duì)應(yīng)方程的根，分析兩個(gè)不等式對(duì)應(yīng)方程的根，即可得解.【詳解】由于滿(mǎn)足，即，可得，所以，，所以，方程的兩根分別為、，而可化為，即，所以，方程的兩根分別為、，，且不等式解集為，所以，，解得，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查一元二次不等式與方程之間的關(guān)系，即不等式解集的端點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)方程的根，本題在理解、、分別為方程、的根，而兩方程含有公共根，進(jìn)而可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得圓心到直線(xiàn)的距離為，分類(lèi)直線(xiàn)的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，即可求得直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】解：圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓的方程為，可得，解得，所以圓的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解：由圓，可得圓心，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，可得，解得，即圓心到直線(xiàn)的距離為，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，可得直線(xiàn)的方程為，即由圓心到直線(xiàn)的距離為，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即，綜上可得，所求直線(xiàn)方程為或.18、（1）；（2）預(yù)測(cè)該商城8月份的銷(xiāo)售額為126萬(wàn)元.【解析】（1）根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出與的值從而可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結(jié)合樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得關(guān)于的回歸方程；（2）由（1）知，，故前個(gè)月該淘寶商城月銷(xiāo)售量逐月增加，平均每月增加萬(wàn)，將，代入（1）中的回歸方程，可預(yù)測(cè)該商城月份的銷(xiāo)售額..試題解析：（1）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得，，，，，.所求回歸方程為.（2）由（1）知，，故前7個(gè)月該淘寶商城月銷(xiāo)售量逐月增加，平均每月增加10萬(wàn).將，代入（1）中的回歸方程，得.故預(yù)測(cè)該商城8月份的銷(xiāo)售額為126萬(wàn)元.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)性回歸方程求法與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.求回歸直線(xiàn)方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程為；回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線(xiàn)性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由恒成立，可得恒成立，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的值；（2）化簡(jiǎn)集合，得；（3）先判定的單調(diào)性，再求出時(shí)的范圍，與等價(jià)即可求出實(shí)數(shù)的值.試題解析：（1）為偶函數(shù)，.（2）由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，.（3）.上單