上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.2．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.3．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B.C. D.5．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.6．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.8．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.9．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對(duì)于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.410．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．過點(diǎn)P(2，1)作直線l，使l與雙曲線－y2＝1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條12．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則______14．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________15．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________16．若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，，雙曲線C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)滿足直線RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線l過C上的一點(diǎn)P，且與C的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.18．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.19．（12分）物聯(lián)網(wǎng)(Internetofthings)是一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能夠被獨(dú)立尋址的普通物理對(duì)象實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)，具有十分廣闊的市場(chǎng)前景.現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)存儲(chǔ)貨物，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：倉(cāng)庫(kù)每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x（單位：千米）之間的關(guān)系為，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x之間的關(guān)系為：；若在距離車站11.5千米建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為4萬元和23萬元.（1）求的值；（2）這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最??？最小費(fèi)用是多少？20．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求面積的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于22．（10分）已知橢圓，四點(diǎn)中，恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對(duì)求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.2、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用.3、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo),關(guān)鍵是求函數(shù)時(shí)的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,此時(shí)可求出,然后對(duì)進(jìn)行取值,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對(duì)稱中心為,令,即可得到圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱中心,正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為,余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為.4、B【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，.故選：B5、C【解析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.6、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】由漸近線方程，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求出雙曲線方程.【詳解】∵雙曲線：的一條漸近線方程為：∴設(shè)雙曲線：∵雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)∴，解得：∴雙曲線的方程為.故選：B.8、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A9、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對(duì)于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C10、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A11、B【解析】利用幾何法，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±x，則點(diǎn)P(2，1)在漸近線y＝x上，又雙曲線的右頂點(diǎn)為A(2，0)，如圖所示．滿足條件的直線l有兩條：x＝2，y－1＝－(x－2)【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線的公共點(diǎn)有一個(gè)的條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合圖形，得出結(jié)果，屬于中檔題目.12、C【解析】設(shè)直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率是，可得，又因?yàn)椋?，即直線的傾斜角為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，則拋物線：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：16、【解析】分為和考慮，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)茫?，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得答案，（2）求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可得，然后表示的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案【小問1詳解】由題意得，即，整理得，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足上式，所以C的方程為.【小問2詳解】由（1）可知，曲線C的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因?yàn)?，，所?由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是1.18、（1）C：；D：；（2）①且；②見解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點(diǎn)，再由橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計(jì)算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镈的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因?yàn)橹本€與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問題，難度較大.19、（1）（2）這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是萬元【解析】（1）將題中數(shù)據(jù)代入解析式可求；（2）利用基本不等式可求解.【小問1詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，，解得.【小問2詳解】設(shè)兩項(xiàng)費(fèi)用之和為（單位：萬元），則.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得.所以這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用是萬元.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算即可作答.(2)設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合已知求出m的范圍，再借助韋達(dá)定理求出面積函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性計(jì)算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由(1)知，橢圓E左焦點(diǎn)為，設(shè)過橢圓E左焦點(diǎn)的直線為(存在且不為0)，由消去x得，，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)為，因此線段的垂直平分線為，由得的縱坐標(biāo)為，依題意，且，解得，由(1)知，，，令，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積21、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長(zhǎng))可求內(nèi)切圓半徑r.【小問1詳解】由題意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問2詳解】設(shè)直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實(shí)數(shù)滿足要求【小問3詳解】由(2)知，，點(diǎn)F到直線AB的距離，∴的面積記的內(nèi)切圓半徑為r，∵，∴∴內(nèi)切圓的面積小于22、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設(shè)斜率存在，設(shè)出直線，利用斜