函數(shù)的單調(diào)性與最值

函數(shù)的單調(diào)性與最值【教材知識精梳理】1.增函數(shù)、減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義要求設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的_____兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時,都有___________都有___________結(jié)論函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)任意f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)減函數(shù)圖象

2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是_______或_______,則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)3.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I,都有________(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)對于任意的x∈I,都有________(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x)≥M【教材拓展微思考】1.定義在R上的函數(shù)y=f(x)中有f(-2)<f(3),該函數(shù)一定是增函數(shù)嗎?為什么?提示:不一定,因為-2和3只是定義域R上的兩個特殊值,不能說明對任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2),如函數(shù)y=x2在R上不是增函數(shù).2.在增函數(shù)、減函數(shù)的定義中,x1-x2的符號與f(x1)-f(x2)的符號有什么關(guān)系?提示:當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時,x1-x2與f(x1)-f(x2)同號;當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時,x1-x2與f(x1)-f(x2)異號.3.在最大值、最小值的定義中,條件(2)能否去掉?為什么?提示:不能,因為去掉后不能保證M是一個函數(shù)值,即存在一個x0∈I,使M=f(x0),最大值、最小值必須是函數(shù)值中的最大值、最小值.診

斷

自

測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)

解析

(2)此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接，取x1＝－1，x2＝1，則f(－1)＜f(1)，故應(yīng)說成單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞).(3)應(yīng)對任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間可以是R.答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×考向一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

【典例】(1)(2016·北京高考)下列函數(shù)中,在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是(

)A.y= B.y=cosxC.y=ln(x+1) D.y=2-x(2)判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+(其中1<a<3)在x∈[1,2]上的單調(diào)性.【解題指南】(1)逐個判斷給出的函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用定義法進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】(1)選D.選項A定義域為{x|x≠1},不符合題意;選項B在(-1,1)上先增后減;選項C在(-1,1)上單調(diào)遞增;只有選項D符合題意.(2)設(shè)1≤x1<x2≤2,則f(x2)-f(x1)==(x2-x1)由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4,-1<又因為1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12,得a(x1+x2)->0,從而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故當(dāng)a∈(1,3)時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.【一題多解】因為f′(x)=2ax-而x∈[1,2],所以-1≤又因為a∈(1,3),所以2<2ax<12,故2ax->0,即f′(x)>0,故當(dāng)a∈(1,3)時,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.【母題變式】1.若本例(1)中D選項變?yōu)閥=2-sinx,則結(jié)果如何?【解析】選D.選項A,B,C解析同典例(1)解析,D選項中y=2-sinx=令μ=sinx,則該函數(shù)在(-1,1)上為增函數(shù),而y=在R上為減函數(shù),故y=2-sinx在(-1,1)上為減函數(shù).2.若本例(2)中函數(shù)變?yōu)閒(x)=(a≠0),試求其在(-1,1)上的單調(diào)性.【解析】方法一(定義法):設(shè)-1<x1<x2<1,f(x)=f(x1)-f(x2)=

由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故當(dāng)a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減;當(dāng)a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增.方法二(導(dǎo)數(shù)法):當(dāng)a>0時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減;當(dāng)a<0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增.【技法點撥】確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的常用方法(1)定義法:一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形,為了便于判斷差的符號,通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式,再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷.(2)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,則可由圖象的直觀性確定它的單調(diào)性.(3)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.(4)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則:“同增異減”,即對于y=f(g(x))型的復(fù)合函數(shù),可以把它看成由y=f(t)和t=g(x)復(fù)合而成的,若它們的單調(diào)性相同,則復(fù)合后的函數(shù)為增函數(shù);若它們的單調(diào)性相反,則復(fù)合后的函數(shù)為減函數(shù).提醒:1.單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)以“定義域優(yōu)先”為原則.2.單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示.3.圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫,用“和”“或”“,”連接,不能用“∪”連接.考向二求函數(shù)的最值(值域)【技法點撥】求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點、最低點,求出最值.(3)基本不等式法:先對解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法:先求導(dǎo),然后求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點值,求出最值.(5)換元法:對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求最值.【基礎(chǔ)保分題組】1.若函數(shù)f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值為1,則實數(shù)m的值為(

)A.-3 B.-2 C.-1 D.1【解析】選B.函數(shù)f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1的圖象如圖所示.由圖象知在[3,+∞)上f(x)min=f(3)=32-2×3+m=1,得m=-2.2.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[a,b]上的最大值是1,最小值是則a+b=________.【解析】由題易知f(x)在[a,b]上為減函數(shù),所以a+b=6.答案:63.函數(shù)y=-x(x≥0)的最大值為________.【解析】令t=,則t≥0,所以y=t-t2=當(dāng)t=,即x=時,ymax=答案:

【拓展提升——高考模擬預(yù)測】4.函數(shù)f(x)=(x≥2)的最大值為________.【解析】令t=x-1(t≥1),則x=t+1,所以y=(t≥1).所以0<≤1,所以1<1+≤2.所以f(x)的最大值為2.答案:25.若不等式a>在(0,+∞)上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.【解析】令f(x)=當(dāng)且僅當(dāng)x=2時,等號成立,所以由已知得a>答案:

6.對于任意實數(shù)a,b,定義min{a,b}=設(shè)函數(shù)f(x)=-x+3,g(x)=log2x,則函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.【解析】依題意,h(x)=當(dāng)0<x≤2時,h(x)=log2x是增函數(shù),當(dāng)x>2時,h(x)=3-x是減函數(shù),所以h(x)在x=2時取得最大值h(2)=1.答案:1【加固訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)=的最大值為________.【解析】當(dāng)x≥1時,函數(shù)f(x)=為減函數(shù),所以f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當(dāng)x<1時,易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案:22.用min{a,b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值,則函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是________.【解析】在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的圖象后,取位于下方的部分得函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的圖象,如圖所示,由圖象可知,函數(shù)f(x)