高中數學 第1章 章末檢測 北師大版選修2-2

章末檢測一、選擇題1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是()A．歸納推理 B．演繹推理C．類比推理 D．特殊推理2．設f(n)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n－1)(n≥2)，則f(k＋1)－f(k)等于 ()A.eq\f(1,2k＋1－1)B.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1－1)C.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)D.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)3．用反證法證明命題“eq\r(2)＋eq\r(3)是無理數”時，假設正確的是 ()A．假設eq\r(2)是有理數B．假設eq\r(3)是有理數C．假設eq\r(2)或eq\r(3)是有理數D．假設eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數4．用數學歸納法證明：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2n,n＋1)時，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的項是 ()A.eq\f(2,kk＋2) B.eq\f(1,kk＋1)C.eq\f(1,k＋1k＋2) D.eq\f(2,k＋1k＋2)5．已知f(x＋1)＝eq\f(2fx,fx＋2)，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達式為 ()A.eq\f(4,2x＋2) B.eq\f(2,x＋1)C.eq\f(1,x＋1) D.eq\f(2,2x＋1)6．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于 ()A．f(1)＋2f(1)＋…＋nfB．f(eq\f(nn＋1,2))C．n(n＋1)D.eq\f(nn＋1,2)f(1)7．對“a，b，c是不全相等的正數”，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中判斷正確的個數為 ()A．0個 B．1個C．2個 D．3個8．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫作相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有 ()①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱椎．A．4個 B．3個C．2個 D．1個9．數列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則a2013等于 ()A.eq\f(1,2) B．－1 C．2 D．310．定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上為增函數．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值 ()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可負二、填空題11．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規(guī)律為___________．12．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，經計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推測當n≥2時，有____________．13．如圖所示是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖，設第n個圖有an個“樹枝”，則an＋1與an(n≥2)之間的關系是______．14．在平面幾何中，△ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結論類比到空間：在三棱錐A—BCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且與AB相交于E，則得到的類比的結論是________．三、解答題15．把下面在平面內成立的結論類比地推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立：(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．16．1，eq\r(3)，2能否為同一等差數列中的三項？說明理由．17．設a，b為實數，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．18．設a，b，c為一個三角形的三邊，s＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，且s2＝2ab，試證：s<2a.19．數列{an}滿足a1＝eq\f(1,6)，前n項和Sn＝eq\f(nn＋1,2)an.(1)寫出a2，a3，a4；(2)猜出an的表達式，并用數學歸納法證明．20．設f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，是否存在關于自然數n的函數g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]對于n≥2的一切自然數都成立？并證明你的結論．

答案1．A2.A3.D4.D5．B6．C7．B8.C9.C10.A11．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)212．f(2n)>eq\f(2＋n,2)(n≥2)13．an＋1＝2an＋1(n≥2)14.eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)15．解(1)類比為：如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交，則必和另一個相交．結論是正確的：證明如下：設α∥β，且γ∩α＝a，則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)類比為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行，結論是錯誤的，這兩個平面也可能相交．16．解假設1，eq\r(3)，2能為同一等差數列中的三項，但不一定是連續(xù)的三項，設公差為d，則1＝eq\r(3)－md,2＝eq\r(3)＋nd，m，n為兩個正整數，消去d得m＝(eq\r(3)＋1)n.∵m為有理數，(eq\r(3)＋1)n為無理數，∴m≠(eq\r(3)＋1)n.∴假設不成立．即1，eq\r(3)，2不可能為同一等差數列中的三項．17．證明當a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當a＋b>0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對一切實數恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，對任意實數a，b不等式都成立．18．證明要證s<2a，由于s2＝2ab，所以只需證s<eq\f(s2,b)，即證b<s.因為s＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，所以只需證2b<a＋b＋c，即證b<a＋c.由于a，b，c為一個三角形的三條邊，所以上式成立．于是原命題成立．19．解(1)令n＝2，∵a1＝eq\f(1,6)，∴S2＝eq\f(2×2＋1,2)a2，即a1＋a2＝3a2.∴a2＝eq\f(1,12).令n＝3，得S3＝eq\f(3×3＋1,2)a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝eq\f(1,20).令n＝4，得S4＝eq\f(4×4＋1,2)a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝eq\f(1,30).(2)猜想an＝eq\f(1,n＋1n＋2)，下面用數學歸納法給出證明．①當n＝1時，a1＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,1＋11＋2)，結論成立．②假設當n＝k時，結論成立，即ak＝eq\f(1,k＋1k＋2)，則當n＝k＋1時，Sk＝eq\f(kk＋1,2)ak＝eq\f(kk＋1,2)·eq\f(1,k＋1k＋2)＝eq\f(k,2k＋2)，Sk＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1，即Sk＋ak＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1.∴eq\f(k,2k＋2)＋ak＋1＝eq\f(k＋1k＋2,2)ak＋1.∴ak＋1＝eq\f(\f(k,2k＋2),\f(k＋1k＋2,2)－1)＝eq\f(k,kk＋3k＋2)＝eq\f(1,k＋2k＋3).當n＝k＋1時結論成立．由①②可知，對一切n∈N*都有an＝eq\f(1,n＋1n＋2).20．解當n＝2時，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，得g(2)＝eq\f(f1,f2－1)＝eq\f(1,1＋\f(1,2)－1)＝2，當n＝3時，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，得g(3)＝eq\f(f1＋f2,f3－1)＝eq\f(1＋1＋\f(1,2),1＋\f(1,2)＋\f(1,3)－1)＝3，猜想g(n)＝n(n≥2)．下面用數學歸納法證明：當n≥2時，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．①當n＝2時，由上面計算可知，等式成立．②假設n＝