高中數(shù)學(xué) 第2章 2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)(一)同步訓(xùn)練 蘇教版選修2-1

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)(一)一、基礎(chǔ)過關(guān)1．設(shè)點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，且AB＝1，則A的橫坐標(biāo)的值為________．2．以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為______________．3．經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則eq\f(y1y2,x1x2)的值是________．4．過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，則∠A1FB1＝__________.5．等腰Rt△ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則Rt△ABO的面積是________．6．如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若BC＝2BF，且AF＝3，則此拋物線的方程為________．7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．若x1＋x2＝6，則AB＝________.二、能力提升8．如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m．水位下降1m后，水面寬________m.9．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在y2＝32x上，A(2,8)，且這個(gè)三角形的重心與拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率是________．10．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個(gè)正三角形的邊長．11．線段AB過x軸正半軸上一定點(diǎn)M(m,0)，端點(diǎn)A、B到x軸的距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A、O、B12．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．三、探究與拓展13．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則稱AB為拋物線的焦點(diǎn)弦．求證：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(2,p).

答案1．02．y2＝8x或y2＝－8x3．－44．90°5．4p26．y2＝3x7．88．2eq\r(6)9．－410．解如圖所示，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又OA＝OB，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0.整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2.由此可得|y1|＝|y2|，即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱．由此得∠AOx＝30°，∴y1＝eq\f(\r(3),3)x1.與yeq\o\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，解得y1＝2eq\r(3)p，∴AB＝2y1＝4eq\r(3)p.11．解畫圖可知拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，直線AB的方程為x＝ky＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px,x＝ky＋m))消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2＝－2pm，由已知條件知|y1|·|y2|＝2m從而p＝1，故拋物線方程為y2＝2x.12．解(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由拋物線定義得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，拋物線方程為y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0，化簡得x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(1＋4λ，－2eq\r(2)＋4eq\r(2)λ)，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．證明(1)如圖所示．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程：x＝－eq\f(p,2).設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋eq\f(p,2)，把它代入y2＝2px，化簡，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，∴x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(y1y22,4p2)＝eq\f(－p22,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)根據(jù)拋物線定義知FA＝AA1＝x1＋eq\f(p,2)，F(xiàn)B＝BB1＝x2＋eq\f(p,2)，∴eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\