2024屆廣東省揭陽市華僑高級中學寧夏銀川一中高三年級第六次月考數(shù)學試題

2024屆廣東省揭陽市華僑高級中學寧夏銀川一中高三年級第六次月考數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）3．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．設(shè)集合，，若，則（）A． B． C． D．5．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．6．如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C． D．7．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．8．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．9．在邊長為1的等邊三角形中，點E是中點，點F是中點，則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．211．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值12．一個組合體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為矩形的對角線的交點，現(xiàn)從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為________.14．已知平面向量，，且，則向量與的夾角的大小為________．15．甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.16．已知為偶函數(shù)，當時，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；（2）求證：（，且）.20．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).21．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經(jīng)過點，求直線被曲線截得的線段的長.22．（10分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算，求得復數(shù)z，再利用復數(shù)的表示，即可得到復數(shù)對應(yīng)的點，得到答案．詳解：由題意，復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內(nèi)的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示，其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．2、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞增，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.4、A【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．6、D【解析】

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊的長度之比，從而可知，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【詳解】解：由題意知，以為直徑的半圓面積，以為直徑的半圓面積，則，即.由，得，所以.故選:D.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.7、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結(jié)合四個選項可知，只有正確.故選：A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點E是中點，點F是中點，所以又所以則故選：C【點睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細心觀察，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù)，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現(xiàn)從，，，，這5個點中任選3個點，基本事件總數(shù)，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由，解得，進而求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，所以，解得，所以，所以向量與的夾角的大小為．都答案為：.【點睛】本題主要考查平面向量的運算，平面向量垂直，向量夾角等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．（2）由題可設(shè)，，，所以，，，所以，因為，所以，所以當，即時，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先證明

，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，是平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量為令，則是平面的一個法向量=又二面角為鈍二面角，其余弦值為.【點睛】本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）1；（2）見解析【解析】

（1）分別求得與的導函數(shù)，由導函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值；（2）由（1）可知當時，，當時，，因而，構(gòu)造，由對數(shù)運算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在上恒成立，∴，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立，，∴綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，∴當時，，當時，.∴∴即，∴.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，屬于難題.20、（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進而求得；（2）對函數(shù)進行求導后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當時，在R上沒有零點；③當時，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.ⅰ）若，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當時，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)恰有一個零點；當時，恰有兩個零點.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標.以導數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.21、(1)曲線表示的是焦點為，準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以，利用極坐標與直角坐標之間的關(guān)系即可得出其直角坐標方程；（2）由直線經(jīng)過點，可得的值，再將直線的參數(shù)方程代入曲