2024-2025學(xué)年新教材高中物理第七章萬有引力與宇宙航行核心考點(diǎn)突破含解析新人教版必修2

PAGE10-第七章萬有引力與宇宙航行一、萬有引力定律的理解和計(jì)算【典例1】如圖所示為一質(zhì)量為M的球形物體，密度勻稱，半徑為R，在距球心為2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，若將球體挖去一個(gè)半徑為的小球(兩球心和質(zhì)點(diǎn)在同始終線上，且挖去的球的球心在原來球心和質(zhì)點(diǎn)連線之間，兩球表面相切)，則：(1)球體挖去部分的質(zhì)量是多大？(2)剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的大小是多少？【解析】(1)依據(jù)m=ρV=ρπr3知，挖去部分的半徑是球半徑的一半，則質(zhì)量是球體質(zhì)量的，所以挖去部分的質(zhì)量M′=M。(2)沒挖之前，球體對m的萬有引力F1=G，挖去部分對m的萬有引力F2=G=，則剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力大小F=F1-F2=答案：(1)M(2)【方法技巧】1.萬有引力定律應(yīng)用技巧：(1)萬有引力定律公式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，故求一般物體間的萬有引力時(shí)，應(yīng)把物體進(jìn)行分割，使之能視為質(zhì)點(diǎn)后再用F=G求質(zhì)點(diǎn)間的各個(gè)作用力，最終求其合力。(2)對于兩個(gè)質(zhì)量分布勻稱的球體間的相互作用，可用萬有引力定律的公式來計(jì)算，式中的r是兩個(gè)球體球心間的距離；一個(gè)勻稱球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力也可用公式F=G計(jì)算，式中r是球體球心到質(zhì)點(diǎn)的距離。(3)對于一般狀況物體間的萬有引力中學(xué)階段無法求解，但某些特別狀況下我們應(yīng)用“補(bǔ)償法”可以求出其萬有引力的大小。2.萬有引力和重力的比較：一般認(rèn)為萬有引力等于重力，即mg=，重力加速度g=。在地球表面一般近似認(rèn)為mg=，若考慮地球自轉(zhuǎn)，則萬有引力的一個(gè)分力是重力，另外一個(gè)分力是供應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。在赤道地區(qū)，由于兩個(gè)分力方向一樣，所以有=mg+mR，其中周期T為地球自轉(zhuǎn)周期。不考慮地球自轉(zhuǎn)，在地球表面旁邊的重力加速度g：mg=G，得g=。在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度為g′，mg′=，得g′=，所以=?！舅仞B(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)在探討地球潮汐成因時(shí),地球繞太陽運(yùn)行的軌道與月球繞地球運(yùn)行的軌道均可視為圓軌道。已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍,地球繞太陽運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍。關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力,下列說法正確的是()A.太陽引力遠(yuǎn)大于月球引力B.太陽引力與月球引力相差不大C.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的引力大小相等D.月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的引力大小有差異【解析】選A、D。依據(jù)F=G,可得=·,代入數(shù)據(jù)可知,太陽對地球上相同質(zhì)量海水的引力遠(yuǎn)大于月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力,則A正確,B錯(cuò)誤;由于月心到不同區(qū)域海水的距離不同,所以引力大小有差異,C錯(cuò)誤,D正確。2.假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布勻稱的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布勻稱的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A.1- B.1+C.()2 D.()2【解析】選A。如圖所示，依據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg=G；設(shè)礦井底部處的重力加速度為g′，等效“地球”的質(zhì)量為M′，其半徑r=R-d，則礦井底部處的物體m受到的重力mg′=G，又M=ρV=ρ·πR3，M′=ρV′=ρ·π(R-d)3，聯(lián)立解得=1-，A對。3.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為2R，假如從球的正中心挖去一個(gè)半徑為R的球，放在距離為d的地方，求兩球之間的萬有引力是多大(引力常量為G)。【解析】依據(jù)割補(bǔ)法可得左側(cè)球充溢時(shí)兩球間萬有引力F=G半徑為R的球體對m有F1=被挖去的球體質(zhì)量m=。則被挖去后兩球之間的引力F2=F-F1=。答案：二、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算【典例2】(多選)宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球后，做了如下的試驗(yàn)：取一根細(xì)繩穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)繩的一端拴一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連接在一固定的拉力傳感器上，手捏細(xì)直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。若該星球表面沒有空氣，不計(jì)阻力，停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可接著在同一豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，此時(shí)拉力傳感器顯示砝碼運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)與最高點(diǎn)兩位置時(shí)讀數(shù)差的肯定值為ΔF。已知萬有引力常量為G，依據(jù)題中供應(yīng)的條件和測量結(jié)果，可知 ()A.該星球表面的重力加速度為B.該星球表面的重力加速度為C.該星球的質(zhì)量為D.該星球的質(zhì)量為【解析】選B、C。設(shè)砝碼在最高點(diǎn)的速率為v1，受到的彈力為F1，在最低點(diǎn)的速率為v2，受到的彈力為F2，則有F1+mg=m，F(xiàn)2-mg=m砝碼由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：mg·2R+m=m拉力傳感器讀數(shù)差為ΔF=F2-F1=6mg故星球表面的重力加速度為g=，A錯(cuò)誤，B正確；在星球表面旁邊有：G=mg，則M=，故C正確，D錯(cuò)誤?！痉椒记伞抗浪阒行奶祗w的質(zhì)量和密度的兩條思路1.測出中心天體表面的重力加速度g，由G=mg求出M，進(jìn)而求得ρ===。2.利用環(huán)繞天體的軌道半徑r、周期T，由G=mr可得出M=。若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑r=R，則ρ==?！舅仞B(yǎng)訓(xùn)練】1.“嫦娥一號”是我國首次放射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×10A.8.1×1010kgC.5.4×1019kg【解析】選D。對“嫦娥一號”探月衛(wèi)星，由于萬有引力供應(yīng)其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則G=m(R+h)，整理得：M=(R+h)3，代入數(shù)據(jù)可得M≈7.4×1022kg，2.(多選)通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常量外，至少還須要兩個(gè)物理量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是 ()A.衛(wèi)星的速度和角速度B.衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D.衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑【解析】選A、D。依據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r=，依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力，則有G=m，整理可得M=，故選項(xiàng)A正確；由于衛(wèi)星的質(zhì)量m可約掉，故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；若知道衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，則G=m()2r，整理得M=，故選項(xiàng)D正確。3.宇航員在地球上的水平地面將一小球水平拋出，使小球產(chǎn)生肯定的水平位移，當(dāng)他登陸一半徑為地球半徑2倍的星球后，站在該星球水平地面上以和在地球完全相同的方式水平拋出小球，測得小球的水平位移大約是在地球上平拋時(shí)的4倍，由此宇航員估算該星球的質(zhì)量M星約為(式中M為地球的質(zhì)量)()A.M星=M B.M星=2MC.M星=M D.M星=4M【解析】選C。依據(jù)平拋規(guī)律可計(jì)算星球表面加速度，豎直方向h=gt2，水平方向x=vt，可得g星=g地，依據(jù)星球表面萬有引力公式G=mg星，R星=2R地，可得M星=，C正確。三、天體運(yùn)動(dòng)與人造衛(wèi)星【典例3】如圖，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的運(yùn)行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的線速度比乙的大【解析】選A。衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力供應(yīng)向心力，G=ma=mr()2=m=mrω2，解得a=，T=2π，v=，ω=，由此可知，在半徑肯定時(shí)，中心天體質(zhì)量越大，衛(wèi)星的向心加速度、線速度、角速度越大，周期越小，因此A項(xiàng)正確，B、C、D項(xiàng)錯(cuò)誤?！痉椒记伞?.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑改變的規(guī)律：2.衛(wèi)星變軌問題分析：兩類變軌離心運(yùn)動(dòng)近心運(yùn)動(dòng)變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小受力分析G<mG>m變軌結(jié)果變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動(dòng)或在較大半徑圓軌道上運(yùn)動(dòng)變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動(dòng)或在較小半徑圓軌道上運(yùn)動(dòng)應(yīng)用衛(wèi)星的放射和回收3.宇宙多星模型的規(guī)律：(1)“雙星”模型。①兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由它們之間的萬有引力供應(yīng)的，故兩行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等。②兩顆行星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的。③兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系：r1+r2=L。(2)“三星”模型。①如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動(dòng)，另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)。這三顆行星始終位于同始終線上，中心行星受力平衡。運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力供應(yīng)向心力：+=ma兩行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。②如圖所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)。每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對其萬有引力的合力來供應(yīng)?！?×cos30°=ma其中L=2rcos30°。三顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。【素養(yǎng)訓(xùn)練】1.(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長為R，忽視其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力常量為G，則 ()A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為C.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πD.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無關(guān)【解析】選A、B、C。由題圖可知，每顆星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r==R。由牛頓其次定律得：·2cos30°=m=mω2r=mr=ma，可解得v=，ω=，T=2π，a=，故A、B、C均正確，D錯(cuò)誤。2.近年來，人類放射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激烈人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。假如火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測得該運(yùn)動(dòng)的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個(gè)常數(shù)) ()A.ρ=kT B.ρ=C.ρ=kT2 D.ρ=【解析】選D。火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，G=mR，又M=πR3·ρ，可得ρ==，故只有D正確。【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知一質(zhì)量為m的物體靜止在北極與赤道對地面的壓力差為ΔN，假設(shè)地球是質(zhì)量分布勻稱的球體，半徑為R。則地球的自轉(zhuǎn)周期為 ()A.T=2π B.T=2πC.T=2π D.T=2π【解析】選