2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第1節(jié)空間幾何體學案含解析新人教A版

PAGE立體幾何課程標準命題解讀1.相識和理解空間點、直線、平面的位置關系．2.用數(shù)學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證．3.了解一些簡潔幾何體的表面積與體積的計算方法．4.利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理和應用，體會平面對量和空間向量的共性和差異．5.運用向量的方法探討空間基本圖形的位置關系和度量關系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異.考查形式：一般為2個客觀題，1個解答題．考查內容：空間幾何體的結構特征、體積與表面積的計算、空間點線面的位置關系，直線、平面的平行、垂直關系，及三種角的計算．備考策略：(1)了解幾何體的結構特征，嫻熟應用體積、表面積公式．(2)重視對定理的記憶，留意對空間幾何體的位置關系分析．(3)嫻熟駕馭向量法解決立體幾何問題．核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學運算.第一節(jié)空間幾何體一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)1．多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面相互平行且全等多邊形相互平行側棱平行且相等相交于一點但不肯定相等延長線交于一點側面形態(tài)平行四邊形三角形梯形(1)要駕馭棱柱、棱錐各部分的結構特征，計算問題往往轉化到一個三角形中進行解決．(2)臺體可以看成是由錐體截得的，但肯定要知道截面與底面平行．2．旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側面綻開圖矩形扇形扇環(huán)旋轉體要抓住“旋轉”這一特點，弄清底面、側面及綻開圖的形態(tài)．3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)“斜”：直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°.(2)“二測”：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線，在直觀圖中長度為原來的一半．畫直觀圖要留意平行、長度兩個要素．4．圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面綻開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l5.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3(1)求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時，要結合它們的結構特點與平面幾何學問來解決．(2)一些幾何體表面上的最短距離問題，經常利用幾何體的綻開圖解決．(3)求幾何體的體積時，要留意利用分割、補形與等積法．6．常用結論(1)斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x軸和z軸平行的線段的長度不變更，,相對位置不變更.))(2)幾個與球有關的切、接常用結論①正方體的棱長為a，球的半徑為R，(ⅰ)若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(ⅱ)若球為正方體的內切球，則2R＝a；(ⅲ)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.②若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).③正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.二、基本技能·思想·活動體驗1．推斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． (×)(3)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體肯定是棱臺． (×)(4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱． (×)(5)菱形的直觀圖仍是菱形． (×)(6)錐體的體積等于底面積與高之積． (×)(7)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a． (√)2．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺B．四棱柱C．五棱柱D．簡潔組合體C解析：由幾何體的結構特征知，剩下的幾何體為五棱柱．3．下列說法不正確的是()A．棱柱的側棱長都相等B．棱錐的側棱長都相等C．三棱臺的上、下底面是相像三角形D．有的棱臺的側棱長都相等B解析：依據(jù)棱錐的結構特征知，棱錐的側棱長不肯定都相等．4．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cmB解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2cm.5．利用斜二測畫法得到的以下結論中，正確的是________．(填序號)①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④圓的直觀圖是橢圓．①②④解析：①正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；原圖形中垂直的線段在直觀圖中一般不垂直，故③錯；④正確.考點1空間幾何體的結構特征與直觀圖——基礎性1．(多選題)下列命題中正確的是()A．棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形B．在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C．存在每個面都是直角三角形的四面體D．棱臺的上、下底面可以不相像，但側棱長肯定相等BC解析：A不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不肯定全等；B正確，因為兩個過相對側棱的截面的交線平行于側棱，又垂直于底面；C正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形；D不正確，棱臺的上、下底面相像且是對應邊平行的多邊形，各側棱的延長線交于一點，但是側棱長不肯定相等．2．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形C解析：如圖，在原圖形OABC中，應有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC，所以四邊形OABC是菱形．3．下列結論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用隨意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體肯定是球．其中正確的是________．(填序號)③⑤解析：若這條邊是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，故①錯；若這條腰不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，故②錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面明顯都是圓面，故③正確；假如用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，則得到的不是圓錐和圓臺，故④錯；只有球滿意隨意截面都是圓面，故⑤正確．4．設有以下四個命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是平行六面體；④棱臺的相對側棱延長后必交于一點．其中真命題是________．(填序號)①④解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是真命題的；底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直，故命題②是假命題；因為直四棱柱的底面不肯定是平行四邊形，故命題③是假命題；由棱臺的定義知命題④是真命題．1．空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知條件構建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結構特征進行辨析．2．用斜二測畫法畫直觀圖的技巧在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點后，用平滑的曲線連接而畫出．考點2空間幾何體的表面積和體積——綜合性(1)在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°.若△ABC繞直線BC旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積是()A．(6＋2eq\r(3))πB．2πC．(9＋2eq\r(3))πD．2eq\r(3)πA解析：△ABC繞直線BC旋轉一周，所形成的幾何體是一個大圓錐去掉一個小圓錐．因為AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA＝eq\r(3)，AB＝2eq\r(3)，所以所形成的幾何體的表面積是π×eq\r(3)×(2＋2eq\r(3))＝(6＋2eq\r(3))π.故選A．(2)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，B1為PB的中點，D1為PD的中點，則棱錐A-B1CD1與棱錐P-ABCD的體積之比是()A．1∶4B．3∶8C．1∶2D．2∶3A解析：如圖，棱錐A-B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P-ABCD的體積減去角上的四個小棱錐的體積得到．因為B1為PB的中點，D1為PD的中點，所以棱錐B1-ABC的體積和棱錐D1-ACD的體積都是正四棱錐P-ABCD的體積的eq\f(1,4)，棱錐C-PB1D1的體積與棱錐A-PB1D1的體積之和是正四棱錐P-ABCD的體積的eq\f(1,4)，則中間剩下的棱錐A-B1CD1的體積Veq\s\do6(A-B1CD1)＝VP-ABCD－3×eq\f(1,4)VP-ABCD＝eq\f(1,4)VP-ABCD，則Veq\s\do6(A-B1CD1)∶VP-ABCD＝1∶4.故選A．(3)一件剛出土的寶貴文物要在博物館大廳中心展出，如圖，須要設計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住，罩內充溢愛護文物的無色氣體．已知文物近似于塔形，高1.8米，體積0.5立方米，其底部是直徑為0.9米的圓形，要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，氣體每立方米1000元，則氣體的費用最少為()A．4500元 B．4000元C．2880元 D．2380元B解析：因為文物底部是直徑為0.9米的圓形，文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3米，所以由正方體與圓的位置關系可知，底面正方形的邊長為0.9＋2×0.3＝1.5(米)．又文物高1.8米，文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2米，所以正四棱柱的高為1.8＋0.2＝2(米)，則正四棱柱的體積V＝1.52×2＝4.5(立方米)．因為文物的體積為0.5立方米，所以罩內空氣的體積為4.5－0.5＝4(立方米)．因為氣體每立方米1000元，所以氣體的費用最少為4×1000＝4000(元)．故選B．空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉體的表面積問題留意其側面綻開圖的應用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)體積可用公式法、轉換法、分割法、補形法等求解．1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A．8 B．6eq\r(2)C．8eq\r(2) D．8eq\r(3)C解析：如圖，連接AC1，BC1，AC．因為AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，所以V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).2．(2024·全國卷Ⅱ)已知△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為()A．eq\r(3) B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)C解析：設球O的半徑為R，則4πR2＝16π，解得R＝2.設△ABC外接圓的半徑為r，邊長為a.因為△ABC是面積為eq\f(9\r(3),4)的等邊三角形，所以eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4)，解得a＝3，所以r＝eq\f(2,3)×eq\r(a2－\f(a2,4))＝eq\f(2,3)×eq\r(9－\f(9,4))＝eq\r(3)，所以球心O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(4－3)＝1.3．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為36，E為棱CC1上的點，且CE＝2EC1，則三棱錐E-BCD的體積是()A．3 B．4C．6 D．12B解析：因為S△BCD＝eq\f(1,2)S四邊形ABCD，CE＝eq\f(2,3)CC1，Veq\s\do6(ABCD-A1B1C1D1)＝S四邊形ABCD·CC1＝36，所以VE-BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·CE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S四邊形ABCD·eq\f(2,3)CC1＝eq\f(1,9)×36＝4.故選B．4．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側棱長都相等，則該六棱錐的側面積為________．12解析：設正六棱錐的高為h，側面的斜高為h′.由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，所以h＝1，所以斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以S側＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.考點3與球有關的切、接問題——應用性考向1“相接”問題(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD．eq\r(6)πD解析：(方法一)因為PA＝PB＝PC，△ABC為邊長為2的等邊三角形，所以P-ABC為正三棱錐，所以PB⊥AC．又E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB，所以EF⊥AC．又EF⊥CE，CE∩AC＝C，所以EF⊥平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以∠APB＝90°，所以PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，所以P-ABC為正方體的一部分，2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，即R＝eq\f(\r(6),2)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π.(方法二)設PA＝PB＝PC＝2x，因為E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB，且EF＝eq\f(1,2)PB＝x.因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以CF＝eq\r(3).又∠CEF＝90°，所以CE＝eq\r(3－x2)，AE＝eq\f(1,2)PA＝x.在△AEC中，由余弦定理，得cos∠EAC＝eq\f(x2＋4－3－x2,2×2×x).作PD⊥AC于點D，因為PA＝PC，所以D為AC的中點，cos∠EAC＝eq\f(AD,PA)＝eq\f(1,2x)，所以eq\f(x2＋4－3＋x2,4x)＝eq\f(1,2x)，解得x＝eq\f(\r(2),2)或x＝－eq\f(\r(2),2)(舍)，所以PA＝PB＝PC＝eq\r(2).又AB＝BC＝AC＝2，所以PA，PB，PC兩兩垂直，所以2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，所以R＝eq\f(\r(6),2)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是邊長為eq\r(3)的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A．eq\f(4π,3) B．4πC．8π D．20πC解析：由題意得，此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球．因為△ABC的外接圓半徑r＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝eq\f(PA,2)＝1，所以外接球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(2)，所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π.處理“相接”問題，要抓住空間幾何體“外接”的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．考向2“相切”問題已知正四面體P-ABC的表面積為S1，此四面體的內切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________.eq\f(6\r(3),π)解析：設正四面體的棱長為a，則正四面體的表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)×a2＝eq\r(3)a2，其內切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π).本例中若把“正四面體”改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球的體積為________，內切球的體積為________．32eq\r(3)πeq\f(32π,3)解析：由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內切球的直徑．設該正方體外接球的半徑為R，內切球的半徑為r.又正方體的棱長為4，故其體對角線長為4eq\r(3)，從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V內切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).處理“相切”問題，要找準切點，通過作截面來解決，截面過球心．1．在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝eq\r(3)，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．8πB．eq\f(16,3)πC．eq\f(4,3)πD．eq\f(32\r(3),27)πB解析：如圖，由PA＝PB＝PC＝2，過P作PG⊥平面ABC，垂足為G，則G為三角形ABC的外心．在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC＝eq\r(3)，可得∠BAC＝120°.由正弦定理可得eq\f(\r(3),sin120°)＝2AG，即AG＝1，所以PG＝eq\r(PA2－AG2)＝eq\r(3).取PA中點H，作HO⊥PA交PG于點O，則點O為該三棱錐外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得eq\f(PH,PO)＝eq\f(PG,PA)，則PO＝eq\f(PH·PA,PG)＝eq\f(1×2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，即該棱錐外接球半徑為eq\f(2\r(3),3).所以該三棱錐外接球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up8(2)＝eq\f(16π,3).故選B．2．(2024·全國卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為eq\f(\r(2)π,2).如圖，已知多面體ABC-DEFG中，AB，AC，AD兩兩相互垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．[四字程序]讀想算思多面體的體積？平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1多面體的體積公式，不規(guī)則幾何體的體積求法將不規(guī)則幾何體的體積用規(guī)則幾何體的體積表示轉化與化歸，三棱柱的體積公式，正方體的體積公式思路參考：分割幾何體轉化為三棱柱體積求解．4解析：因為幾何體有兩對相對面相互平行，如圖所示，過點C作CH⊥DG于點H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積