全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.2簡(jiǎn)單不等式的解法學(xué)案理含解析北師大版

1.2簡(jiǎn)潔不等式的解法必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c.(3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d.(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd.(5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2).(6)可開方:a>b>0?na>nb(n∈N,3.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=-b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

xR續(xù)表判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c<0(a>0)的解集

1.若a>b>0,m>0,則ba<b+ma+m;ba>2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法口訣:大于取兩邊,小于取中間.3.恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)恒成立?a>f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.4.能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)能成立?a>f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.5.恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)在M上恰成立?a>f(x)的解集為M?a另一轉(zhuǎn)化方法:若x∈D,f(x)≥A在D上恰成立,等價(jià)于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,則等價(jià)于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)a>b?ac2>bc2.()(2)a>b>0,c>d>0?ad>bc.(3)若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.()(4)不等式x-2x+1≤0的解集是[-1,2].(5)若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根,則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為R.()2.設(shè)a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是()A.ad>bC.ac>bd D.a+c>b+d3.(2024福建廈門期末檢測(cè))實(shí)數(shù)x,y滿意x>y,則下列不等式恒成立的是()A.yx<1 B.2-x<2C.lg(x-y)>0 D.x2>y24.(2024安徽馬鞍山二模,理1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈Z},B={x||x|≤2,x∈Z},則A∩B=()A.{-1,0,1} B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,2} D.{-2,-1,0,1,2,3}5.設(shè)a,b,c是隨意實(shí)數(shù),能夠說(shuō)明“若c<b<a且ac<0,則ab<ac”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小【例1】(1)已知a1,a2∈(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是()A.M<N B.M>N C.M=N D.不確定(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,則A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c思索比較兩個(gè)數(shù)(式)大小常用的方法有哪些?解題心得比較大小常用的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法.(1)作差法的一般步驟:①作差;②變形;③定號(hào);④下結(jié)論.變形常采納配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.(2)作商法一般適用于分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式,作商只是思路,關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形,從而使結(jié)果能夠與1比較大小.(3)構(gòu)造函數(shù)法:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿意b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b(2)已知a,b是實(shí)數(shù),且e<a<b,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則ab與ba的大小關(guān)系是.

考點(diǎn)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(1)(2024北京海淀一模,4)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是()A.b-a<c+a B.c2<abC.cb>c(2)(2024山西太原三模,理3)已知a>b>1,c<0,則()A.ca<cb B.C.ac<bc D.loga(b-c)>logb(a-c)思索已知某些量的范圍,求由這些量組成的代數(shù)式的范圍常用不等式的哪些性質(zhì)?解題心得1.已知某些量的范圍,在求由這些量組成的代數(shù)式的范圍時(shí),常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.在應(yīng)用可乘方性時(shí)要留意應(yīng)用的條件,當(dāng)不等式兩邊異號(hào)時(shí),平方后不等號(hào)不確定;3.當(dāng)ab>0時(shí),對(duì)不等式a>b兩邊取倒數(shù),或兩邊同乘以1ab,化簡(jiǎn)得1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2024海南高三期末,4)已知實(shí)數(shù)a,b滿意a>b>0,則下列不等式肯定成立的有()A.a2<b2 B.-a<-bC.ba+ab≥(2)(2024山東青島5月模擬,9改編)設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),且a>b>0,則下列不等式中正確的是()A.log2(ab)<log2b2 B.ac2>bc2C.ba<1<ab D考點(diǎn)一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1常系數(shù)一元二次不等式的解法【例3】解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.思索如何解不含參數(shù)的一元二次不等式?解題心得對(duì)于常系數(shù)一元二次不等式,可以用分解因式法求解,即把不等式分解成(x-a)(x-b)>0或(x-a)·(x-b)<0型不等式,再依據(jù)“大于取兩邊,小于取中間”的口訣寫出解集;對(duì)難于因式分解的不等式可采納判別式法求解,先計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式,若判別式不小于零,求出相應(yīng)的一元二次方程的根,畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的簡(jiǎn)圖,由圖像得出不等式的解集,若判別式小于零,干脆依據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像確定不等式的解集.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解下列不等式:(1)x2-3x+2<0;(2)3x2+5x-2>0;(3)-2x2+3x+2≤0.考向2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例4】解關(guān)于x的不等式ax2+2x+1<0.思索如何解含參數(shù)的一元二次不等式?解題心得含有參數(shù)的不等式的求解,須要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討,探討有三層:第一,若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù),先探討二次項(xiàng)系數(shù)是否為零,以確定不等式是一次不等式還是二次不等式;其次,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),若不易分解因式,則依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類探討;第三,對(duì)方程的根進(jìn)行探討,比較大小,以便寫出解集.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4解關(guān)于x的不等式x2-ax-2a2<0.考點(diǎn)分式不等式的解法【例5】已知全集U=R,集合A={x||x-1|<1},B=x2x-5x-1≥1,則A∩(A.{x|1<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2} D.{x|1≤x<4}思索解分式不等式的基本思路是什么?解題心得解分式不等式時(shí),切忌干脆去分母,一般先通過(guò)移項(xiàng)、通分,將分式不等式化簡(jiǎn)如化為f(x)g(x)>0或f(x)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5不等式2x-33x-考點(diǎn)一元二次不等式恒成立問(wèn)題(多考向探究)考向1主元x在R上恒成立求參數(shù)范圍【例6】若一元二次不等式2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為(A.(-3,0] B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0)考向2主元x在給定區(qū)間上恒成立求參數(shù)范圍【例7】設(shè)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈[-1,1],不等式x2+ax-3a<0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a>0 B.a>1C.a>0或a<-12 D.a>1思索解決在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題有哪些方法?考向3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題【例8】已知對(duì)隨意的k∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,則x的取值范圍是.

解題心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是a>0,Δ≤0;ax2+bx+c≤0(a≠0)2.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問(wèn)題,常有兩種解決方法:一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)解決;二是先分別出參數(shù),再通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)解決.3.已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法.把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量,得到一個(gè)新的函數(shù),然后利用新函數(shù)求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)已知a為常數(shù),隨意x∈R,ax2+ax+1>0,則a的取值范圍是()A.(0,4) B.[0,4) C.(0,+∞) D.(-∞,4)(2)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對(duì)于隨意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(3)已知不等式xy≤ax2+2y2對(duì)x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù),是不等式證明的主要方法之一.作差法的主要步驟為作差—變形—推斷正負(fù).2.推斷不等式是否成立,主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗(yàn)證兩種方法,特殊是對(duì)于有肯定條件限制的選擇題,用特殊值驗(yàn)證的方法更簡(jiǎn)潔.3.簡(jiǎn)潔的分式不等式可以等價(jià)轉(zhuǎn)化,利用一元二次不等式的解法進(jìn)行求解.4.“三個(gè)二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ);一般可把a(bǔ)<0的情形轉(zhuǎn)化為a>0的情形.5.(1)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題,恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分別參數(shù)法求最值.(2)解決恒成立問(wèn)題肯定要搞清誰(shuí)是主元,誰(shuí)是參數(shù).一般地,知道誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是主元,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).1.2簡(jiǎn)潔不等式的解法必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)>=<(2)>=<3.{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}??考點(diǎn)自診1.(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×2.D∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,依據(jù)同向不等式的可加性,得a+c>b+d,故選D.3.B由x>y,得-x<-y.由y=2t是增函數(shù),得2-x<2-y.4.C由題意,得A={-1,0,1,2,3},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B={-1,0,1,2},故選C.5.1,0,-1(答案不唯一)由c<b<a且ac<0,可取a為正數(shù),c為負(fù)數(shù),由命題為假命題,得ab<ac不成立,即ab≥0,所以a,b,c可取的一組分別為1,0,-1.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)B(2)B(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法1)易知a,b,c都是正數(shù),ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>b;bc=所以b>c.故c<b<a.(方法2)對(duì)于函數(shù)y=f(x)=lnxx,y'=1-lnxx2,易知當(dāng)x>e時(shí),因?yàn)閑<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)A(2)ab>ba(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.∴b-a=a2-a+1=a-1∴b>a.∴c≥b>a.(2)令f(x)=lnxx,則f'(x)=1-lnxx2,當(dāng)x>e時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上遞減,因?yàn)閑<a<b,所以f(a)>f(b),即lnaa>lnb例2(1)D(2)C(1)(方法1)依據(jù)數(shù)軸可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,對(duì)于A:因?yàn)閏<b,a<0,所以c+a<c,b-a>b,則c+a<c<b<b-a,即c+a<b-a,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:因?yàn)閏<b<a<0,|c|>|b|>|a|,所以c2>b2>a2,且b2>ab,所以c2>b2>ab,即c2>ab,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:因?yàn)閎<a<0,所以1b>1a,則cb<ca,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:因?yàn)閨b|>|a|,且c<(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,則c+a=-6<b-a=-3,故A錯(cuò)誤;c2=25>ab=4,故B錯(cuò)誤;cb=54<ca=5,故C錯(cuò)誤;|b|c=-20<|a|c=-5,(2)由于a>b>1,所以0<1a<1b,又c<0,故ca>cb,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)c=-2,a=4,b=3時(shí),ca>cb,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;由于a>b>1,c<0,故ac<bc,選項(xiàng)C正確;由于a>b>1,c<0,所以a-c>b-c,故loga(b-c)<logb(a-c對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)B(2)C(1)因?yàn)閍>b>0,于是a2>b2,故A不正確;由a>b>0,得-a<-b,故B正確;由基本不等式可知ba+ab≥2ba·ab=2,因?yàn)楫?dāng)a=3,b=2時(shí),3+2<2×3,故D不正確.故選B.(2)由a>b>0,得ab>b2,所以log2(ab)>log2b2,故A不正確;因?yàn)閏2≥0,當(dāng)c2=0時(shí),ac2=bc2,故B不正確;由a>b>0,兩邊同乘1b,得ab>1,由a>b>0,兩邊同乘1a,得ba<1,故C正確;由a>b,函數(shù)y=12x為減函數(shù),得12a<12b例3解(1)由2x2-3x-2=2(x-2)x+12>0,得不等式的解集是xx<-12,或x>2.(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.因?yàn)?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-33,x2=1+3因?yàn)楹瘮?shù)y=3x2-6x+2是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是x1-33<x<1+33.(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=12,函數(shù)y=4x2-4x+1是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集是xx=12.(4)因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無(wú)解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解(1)∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.故原不等式的解集為(1,2).(2)方程3x2+5x-2=0的兩解是x1=-2,x2=13函數(shù)y=3x2+5x-2的圖像是開口向上的拋物線,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(-2,0)和13,0.不等式的解集為xx<-2,或x>13.(3)原不等式化為2x2-3x-2≥0,∵2x2-3x-2=0的兩解為x1=-12,x2=2,∴不等式的解集是xx≤-12,或x≥2.例4解(1)當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為xx<-12,(2)當(dāng)a>0時(shí),Δ=4-4a,①Δ>0,即0<a<1時(shí),不等式的解集為x-1-1-aa②Δ≤0,即a≥1時(shí),不等式的解集為?.(3)當(dāng)a<0時(shí),Δ=4-4a>0,不等式的解集為xx<-1+1-aa,或x>對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4解原不等式變形為(x-2a)(x+a)<0.①若a>0,則-a<x<2a,此時(shí)不等式的解集為{x|-a<x<2a};②若a<0,則2a<x<-a,此時(shí)不等式的解集為{x|2a<x<-a};③若a=0,則原不等式即為x2<0,此時(shí)解集為?.例5C由題意得A={x||x-1|<1}={x|-1<x-1<1}={x|0<x<2},B=x|2x-5x-1≥1=x|x-4x∴A∩(?UB)={x|1≤x<2}.故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5-∞,54∪43,+∞由2x-33例6D2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,2解得-3<k<0.例7B(方法1)y=x2+ax-3a的對(duì)稱軸是x=-a2①當(dāng)-a2≥1,即