數(shù)學(xué)學(xué)案：7柱、錐、臺(tái)和球的體積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第一章1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積1．了解柱、錐、臺(tái)和球的體積計(jì)算公式(不要求記憶公式)．2．理解柱、錐和臺(tái)的體積公式的推導(dǎo)，并知道“祖暅原理”在解決體積問題中的重要作用．1．祖暅原理及應(yīng)用(1）祖暅原理．冪勢(shì)既同，則積不容異．這就是說，夾在________的兩個(gè)幾何體，被__________的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積________，那么這兩個(gè)幾何體的體積______．(2)祖暅原理的應(yīng)用．________、________的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等．“祖暅原理”充分體現(xiàn)了空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化的思想方法，這一原理是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)和球的體積公式的基礎(chǔ)和紐帶．【做一做1】已知一斜棱柱的底面積為S,上下兩底面間的距離為h，則利用祖暅原理可知此斜棱柱的體積為__________．2．柱、錐、臺(tái)的體積其中S′，S分別表示上，下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f（1，3)Sh圓錐eq\f（1,3）πr2h臺(tái)體棱臺(tái)eq\f（1，3）h（S＋eq\r(S·S′）＋S′)圓臺(tái)eq\f（1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)柱體、錐體、臺(tái)體的體積有如下關(guān)系：【做一做2－1】在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是（）．A．eq\f(2,3)B．eq\f(7,6)C．eq\f（4，5）D．eq\f（5，6）【做一做2－2】用半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積是（）．A．eq\f(\r（3),24)πR3B．eq\f（\r（3）,8)πR3C．eq\f(\r（5）,24)πR3D．eq\f（\r（5）,8）πR3【做一做2－3】有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖：則該幾何體的體積為__________,表面積為__________．3．球的體積V球＝________,其中R為球的半徑．【做一做3】充滿氫氣的氣球飛艇可以供游客旅行．現(xiàn)有一個(gè)飛艇，若它的半徑擴(kuò)大為原來的4倍，那么它的體積增大到原來的（)．A．4倍B．8倍C．64倍D．16倍1．割補(bǔ)法在空間幾何中的應(yīng)用剖析：試用割補(bǔ)法探究以下問題:（1）用割補(bǔ)的方法說明斜三棱柱的體積等于等底等高的三棱錐體積的三倍；(2）在斜棱柱中,我們把與側(cè)棱垂直的截面稱作斜棱柱的直截面．試說明斜棱柱的側(cè)面積等于直截面的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積；斜棱柱的體積等于直截面的面積與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積．(1)中關(guān)鍵在于要說明如何去找截面，為什么如圖①所示的所截得的三個(gè)三棱錐的體積是相等的，這里用了這樣一個(gè)結(jié)論：若一條線段與平面相交且交點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等．如圖②所示的點(diǎn)A1與點(diǎn)C到截面ABC1的距離相等．（2)如圖③,從割補(bǔ)的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)在割補(bǔ)前后其斜棱柱的每個(gè)側(cè)面上相當(dāng)于將一個(gè)平行四邊形割補(bǔ)成一個(gè)矩形,因而側(cè)面積沒有變化，體積也沒有發(fā)生變化．在解題中使用體積公式時(shí)一定要注意棱錐和棱臺(tái)的體積公式中都有個(gè)eq\f（1,3）。三棱錐是一種比較特殊的棱錐,在求體積時(shí)可以根據(jù)條件適當(dāng)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，根據(jù)這一思想還可以求一些簡(jiǎn)單的距離問題．2．由錐體的體積可得到臺(tái)體的體積剖析：利用錐體和臺(tái)體的聯(lián)系，用平行于底面的平面截錐體，截面和底面之間的部分是臺(tái)體，結(jié)合錐體的體積公式即得臺(tái)體的體積公式．如圖所示，設(shè)臺(tái)體（棱臺(tái)或圓臺(tái))上、下底面面積分別是S′，S，高是h，設(shè)截得臺(tái)體時(shí)去掉的錐體的高是x，則截得這個(gè)臺(tái)體的錐體的高是h＋x,則V臺(tái)體＝V大錐體－V小錐體＝eq\f（1,3）S（h＋x)－eq\f(1,3)S′x＝eq\f(1,3)[Sh＋(S－S′)x］，而eq\f(S′,S)＝eq\f(x2,h＋x2），所以eq\r（\f(S′,S））＝eq\f（x，h＋x),于是有x＝eq\f(\r（S′)h，\r(S)－\r(S′))，代入體積表達(dá)式，得V臺(tái)體＝eq\f(1,3)heq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（S＋S－S′\f（\r(S′），\r（S)－\r(S′)))）＝eq\f(1，3）h（S＋eq\r(SS′）＋S′）．棱錐、圓錐的截面（平行于底面的截面）有如下性質(zhì)：eq\f(S小錐底，S大錐底）＝eq\f（S小錐側(cè),S大錐側(cè))＝eq\f(S小錐全，S大錐全）＝對(duì)應(yīng)線段比的平方；eq\f(V小錐，V大錐)＝對(duì)應(yīng)線段比的立方。題型一有關(guān)柱體體積的問題【例1】已知一個(gè)圓柱去掉兩個(gè)底面，沿任一條母線割開，然后放在平面上展開后得到的平面圖形(我們叫圓柱的側(cè)面展開圖）是一個(gè)矩形，它的對(duì)角線長(zhǎng)為m，對(duì)角線與底邊成α角eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0<α〈\f(π，2))）,求圓柱的體積．分析：（1）圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形；(2）已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為m，對(duì)角線與底邊成α角．解答本題可先明確展開前圖形與展開后圖形中量與量之間的關(guān)系,再畫圖求解．反思：對(duì)于幾何體的側(cè)面展開圖問題，要注意展開前后的“變”與“不變”．對(duì)此題而言，為了求體積要抓住關(guān)鍵元素,即圓柱的底面半徑、高．題型二有關(guān)錐體體積的問題【例2】一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(15）,求這個(gè)正三棱錐的體積．分析：求三棱錐的體積時(shí)需確定其底面和高，由于已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)，可確定正三棱錐的底面面積，這樣可容易求出其體積．反思：在正三棱錐的有關(guān)計(jì)算中，像Rt△SHA,Rt△SHE,Rt△SEB等是非常有用的，它們聯(lián)系了正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)、高、底面正三角形的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等．題型三有關(guān)臺(tái)體體積的問題【例3】圓臺(tái)上底的面積為16πcm2，下底半徑為6cm,母線長(zhǎng)為10cm,那么，圓臺(tái)的側(cè)面積和體積各是多少？分析：在本題中要求圓臺(tái)的體積必須先求出圓臺(tái)的高，通過作軸截面可以得到等腰梯形，進(jìn)一步可以得到矩形ABCO和直角三角形BCD，利用它們可以方便地解決本問題．反思:在多面體和旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形）來計(jì)算．對(duì)于棱錐中的計(jì)算問題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形；對(duì)于棱臺(tái)往往要構(gòu)造直角梯形和直角三角形；在旋轉(zhuǎn)體中通常要過旋轉(zhuǎn)軸作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．題型四有關(guān)球體體積的問題【例4】設(shè)A，B，C，D是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到該平面的距離為球半徑的一半，則球的體積為（）．A．8eq\r（6）πB．64eq\r（6）πC．24eq\r（2）πD．72eq\r（2)π反思：旋轉(zhuǎn)體問題要注意畫軸截面，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，利用平面圖形的性質(zhì)加以解決．題型五易錯(cuò)辨析【例5】如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的兩部分，那么V1∶V2＝__________.錯(cuò)解：由已知可知幾何體AEF－A1B1C1是三棱臺(tái)，幾何體C1B1－EFCB是四棱錐．設(shè)三棱柱底面積為S，高為h,則由錐、臺(tái)的體積公式可得，V1＝eq\f（1,3)heq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(S＋\f（1，4)S＋\r(S·\f(S，4)）)）＝eq\f（7，12）Sh，V2＝eq\f(1,3)h·eq\f(3，4)S＝eq\f（1,4）Sh.∴V1∶V2＝eq\f(7,12)Sh∶eq\f(1,4）Sh＝7∶3.錯(cuò)因分析：幾何體C1B1－EFCB不是一個(gè)規(guī)則的幾何體，而錯(cuò)解中將其看成錐體了．1（2011·福州高一期末）若一個(gè)球的表面積為4π，則這個(gè)球的體積是()．A．eq\f(π,3)B．eq\f（4，3)πC．eq\f(8,3)πD．eq\f（32,3）π2(2012·浙江名校第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A．6B．eq\f（16,3)C．eq\f(14,3）D．43圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的腰長(zhǎng)為a，下底邊長(zhǎng)為2a，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(3）a,則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）．A．eq\f(7\r（3）,4)πa3B．eq\f(7,12）eq\r（3）πa3C．eq\f（7，8）eq\r(3)πa3D．eq\f（7\r（3），24)πa34正四棱臺(tái)的斜高與上、下底面邊長(zhǎng)之比為5∶2∶8，體積為14cm3，則棱臺(tái)的高為__________．5根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，求各幾何體的體積．答案:基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．(1)兩個(gè)平行平面間平行于這兩個(gè)平面總相等相等(2)等底面積等高【做一做1】Sh【做一做2－1】D截去的每個(gè)小三棱錐的體積為eq\f(1，2)×eq\f（1，2)×eq\f（1，2）×eq\f（1,2)×eq\f（1，3）＝eq\f(1，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2))）4,則剩余部分的體積V＝1－eq\f（1,3）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））4×8＝1－eq\f（1,6）＝eq\f(5,6)?！咀鲆蛔?－2】A如圖,設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝l＝π·R?！鄏＝eq\f(1，2)R.∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(R2－\f（1,4）R2）＝eq\f(\r(3)，2)R。∴V錐＝eq\f(1，3)πr2·h＝eq\f(π,3)·eq\f(R2，4)·eq\f（\r(3)，2）R＝eq\f（\r（3),24）πR3?！咀鲆蛔?－3】54π54π3．eq\f（4,3）πR3【做一做3】C設(shè)氣球原來半徑為R，則現(xiàn)在半徑為4R，此時(shí)體積V＝eq\f(4,3)π（4R)3＝64×eq\f（4πR3,3）.故選C.典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h，如圖，則由題意可知:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（h＝msinα,,2πr＝mcosα，））∴h＝msinα，r＝eq\f(mcosα，2π),∴V圓柱＝πr2h＝πeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（mcosα，2π）))2·msinα＝eq\f(m3sinαcos2α，4π)?！纠?】解:如圖，在正三棱錐S－ABC中，設(shè)H為△ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高．連接AH，延長(zhǎng)后交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AH⊥BC。由于△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形,∴AE＝eq\f(\r（3)，2)×6＝3eq\r(3）?！郃H＝eq\f（2,3)AE＝2eq\r（3）.在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15），AH＝2eq\r(3），∴SH＝eq\r（SA2－AH2)＝eq\r(15－12）＝eq\r（3）。在△ABC中，S△ABC＝eq\f（1，2）BC·AE＝eq\f（1,2）×6×3eq\r（3）＝9eq\r（3).∴VS－ABC＝eq\f(1，3)×9eq\r（3）×eq\r（3）＝9.【例3】解：首先,圓臺(tái)的上底的半徑為4cm，于是S圓臺(tái)側(cè)＝π（r＋r′)l＝100π(cm2）．其次，如圖，圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝BC＝eq\r（BD2－OD－AB2）＝eq\r（102－6－42)＝4eq\r（6）（cm）,所以V圓臺(tái)＝eq\f（1，3）h（S＋eq\r(SS′)＋S′）＝eq\f（1,3)×4eq\r（6）×(16π＋eq\r(16π×36π）＋36π）＝eq\f（304\r（6)π,3)（cm3）．【例4】A根據(jù)截面圓的性質(zhì)求球的半徑．設(shè)A，B，C,D所在小圓半徑為r，則2r＝3eq\r（2)，∴r＝eq\f(3\r（2),2)。設(shè)球半徑為R，則R2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(R,2)））2＋r2?！鄀q\f(\r（3）,2)R＝r.∴R＝eq\r(6）.∴V球＝eq\f（4，3)πR3＝8eq\r(6）π.【例5】7∶5正解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S,體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh。因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn),所以S△AEF＝eq\f（1，4）S,V1＝eq\f（1,3）heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（S＋\f（1，4）S＋\r(S·\f（S，4）)))＝eq\f(7,12）Sh,V2＝Sh－V1＝eq\f(5，12)Sh，故V1∶V2＝7∶5。隨堂練習(xí)·鞏固1．B2．