數(shù)學學案：第二講三圓的切線的性質(zhì)及判定定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精三圓的切線的性質(zhì)及判定定理1．理解切線的性質(zhì)定理及其兩個推論，并能解決相關的計算或證明問題．2．掌握切線的判定定理，會判定直線與圓相切．1．切線的性質(zhì)定理文字語言圓的切線垂直于經(jīng)過切點的____符號語言直線l與圓O相切于點A,則______圖形語言作用證明兩條直線垂直【做一做1】如圖所示，直線l與⊙O相切于點A，B是l上任一點(與A不重合），則△OAB是（)A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形2．性質(zhì)定理推論1文字語言經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過____符號語言直線l與圓O相切于點A，過O作直線m⊥l，則A∈__圖形語言作用證明點在直線上【做一做2】如圖所示，直線l與⊙O相切，P是l上任一點，當OP⊥l時，則(）A．P不在⊙O上B．P在⊙O上C．P不可能是切點D．OP大于⊙O的半徑3．性質(zhì)定理推論2文字語言經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過____符號語言直線l與圓O相切于點A，過點A作直線m⊥l，則O∈__圖形語言作用證明點在直線上由性質(zhì)定理及其兩個推論的條件和結(jié)論間的關系，可得出如下的結(jié)論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個．(1)垂直于切線；(2)過切點；（3)過圓心．于是在利用切線的性質(zhì)時,過切點的半徑是常作的輔助線．【做一做3】直線l與⊙O相切于點P，在經(jīng)過點P的所有直線中，經(jīng)過點O的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條4．切線的判定定理文字語言經(jīng)過半徑的____并且____于這條半徑的直線是圓的____符號語言OA是圓O的半徑，直線l⊥OA,且A∈l，則l是圓O的____圖形語言作用證明直線與圓相切在切線的判定定理中要分清定理的題設和結(jié)論，強調(diào)“經(jīng)過半徑的外端"和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線，如圖①,②中的例子就不能同時滿足這兩個條件，所以都不是圓的切線．【做一做4】如圖，AB經(jīng)過⊙O上一點C，且OA＝OB，AC＝CB，求證：直線AB是⊙O的切線．答案:1．半徑OA⊥l【做一做1】C∵l與⊙O相切,∴l(xiāng)⊥OA.∴OA⊥AB?！唷螼AB＝90°，△OAB是直角三角形．2．切點m【做一做2】B由于OP⊥l，則P是l與⊙O的切點,則P在⊙O上．3．圓心m【做一做3】A過P且垂直于l的直線僅有1條,此時點O在該垂線上，故選A.4．外端垂直切線切線【做一做4】分析：轉(zhuǎn)化為證明OC⊥AB即可．證明：如圖，連接OC。∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．又AC＝CB，∴OC⊥AB.又OC是⊙O的半徑，∴直線AB是⊙O的切線．1．圓的切線的有關知識剖析：（1）切線和圓只有一個公共點；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑;（3）切線垂直于過切點的半徑；（4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；（5）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心．2．判定切線的方法剖析:判定切線通常有三種方法：(1)定義法:和圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線;（2）距離法：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3）定理法：過半徑外端且和該半徑垂直的直線是圓的切線．“過半徑外端,垂直于這條半徑的直線是圓的切線”是“到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化．在使用時要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法：若已知要證的切線經(jīng)過圓上一點，則需把這點與圓心相連，證明這條直線與此半徑垂直，即用定理法；若不能確定已知要證的切線與圓有公共點，則需先向這條直線作垂線，再證明此垂線段是圓的半徑，即用距離法證明;通常不用定義法證明．題型一圓的切線性質(zhì)的應用【例題1】如圖，在△ABC中,AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AC于E。求證:DE⊥AC．分析:由于DE是⊙O的切線，則OD⊥DE，故要證DE⊥AC，只需要證明OD∥AC即可．反思：利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進行有關的計算時，連接圓心和切點的半徑是常用輔助線，出現(xiàn)了垂直關系．題型二判斷或證明圓的切線【例題2】如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過E作直線與AF垂直,交AF的延長線于點D，且交AB的延長線于點C．求證:CD是⊙O的切線．分析：只需證明OE⊥CD即可．反思:定理法判定圓的切線是平面幾何中最常用的方法．這種方法的步驟是:①連接圓心和公共點；②轉(zhuǎn)化為證明直線過公共點且垂直于所連線段．由此看出，證明圓的切線可轉(zhuǎn)化為證明直線垂直．答案：【例題1】證明：連接OD，AD，如圖．∵AB為⊙O直徑,∴AD⊥BC。∵AB＝AC,即△ABC為等腰三角形，∴AD為BC邊上的中線，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥AC。∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC?！纠}2】證明：如圖,連接OE.∵OA＝OE,∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3?！郞E∥AD?！逜D⊥CD，∴OE⊥CD?！郈D與⊙O相切于點E。1如圖，PA為⊙O的切線，A為切點,已知PA＝4，OA＝3，則cos∠APO的值為（）A．eq\f(3，4)B．eq\f（3,5）C．eq\f（4,5)D．eq\f（4，3)2如圖所示，CB為⊙O的直徑，P是CB的延長線上一點，且OB＝BP，∠AOC＝120°,則PA與⊙O的位置關系是（)A．相離B．相切C．相交D．不確定3（2011·北京豐臺二模）如圖所示，DB，DC是⊙O的兩條切線，A是圓上一點,已知∠D＝46°,則∠A＝__________。4（2011·北京石景山一模）如圖,圓O的直徑AB＝8，C為圓周上一點，BC＝4，過點C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD,D為垂足，AD與圓O交于點E，則線段AE的長為__________．5如圖,BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C,連接OD，且∠AOD＝∠APC．求證：AP是⊙O的切線．答案:1．C由PA為⊙O的切線，知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理，得OP＝eq\r(OA2＋AP2）＝5。故cos∠APO＝eq\f(PA,OP)＝eq\f(4,5).2．B如圖，連接AB.∵∠AOC＝120°，∴∠AOB＝60°。又OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形,∴OB＝AB.又OB＝BP，∴AB＝BP，∴∠P＝∠BAP.又∠OBA＝60°，∴∠P＝30°.又∠AOB＝60°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP,則PA與⊙O相切．3．67°如圖所示,連接OB，OC，則OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝180°，則四邊形OBDC內(nèi)接于一個圓．則有∠BOC＝180°－∠D＝180°－46°＝134°，所以∠A＝eq\f（1，2)∠BOC＝eq\f(1,2)×134°＝67°。4．4如圖所示，連接OC，連接BE交OC于點F，則OC⊥l，BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC，OC⊥BE.又直徑AB＝8，則OB＝OC＝4.又BC＝4，故△OBC是等