2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章算法初步1.3算法案例學(xué)案含解析新人教版必修3

PAGE1．3算法案例內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).2.會(huì)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值.3.會(huì)在不同進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理培育數(shù)據(jù)分析授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第20頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)預(yù)習(xí)教材P34－37，思索并完成以下問題韓信是秦末漢初的聞名軍事家．據(jù)說有一次漢高祖劉邦在衛(wèi)士的蜂擁下來到練兵場，劉邦問韓信有什么方法，不要逐個(gè)報(bào)數(shù)，就能知道場上的士兵的人數(shù)．韓信先令士兵排成3列縱隊(duì)，結(jié)果有2個(gè)人多余；接著馬上下令將隊(duì)形改為5列縱隊(duì)，這一改，又多出3人；隨后他又下令改為7列縱隊(duì)，這次又剩下2人無法成整行．在場的人都哈哈大笑，以為韓信不能清點(diǎn)出精確的人數(shù)，不料笑聲剛落，韓信高聲報(bào)告共有士兵2333人．眾人聽了一愣，不知道韓信用什么方法這么快就能得出正確的結(jié)果的．(1)如何求18與54的最大公約數(shù)？提示：短除法．(2)要求6750與3492的最大公約數(shù)，上述法還好用嗎？提示：數(shù)值太大，短除法不便利用．學(xué)問梳理1.輾轉(zhuǎn)相除法(1)輾轉(zhuǎn)相除法，又叫歐幾里得算法，是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法．(2)輾轉(zhuǎn)相除法的算法步驟：第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n．其次步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r．第三步，m＝n，n＝r．第四步，若r＝0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則返回其次步．2．更相減損術(shù)(1)更相減損術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法．(2)其基本過程是：第一步，隨意給定兩個(gè)正整數(shù)，推斷它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行其次步．其次步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，接著這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．學(xué)問點(diǎn)二秦九韶算法預(yù)習(xí)教材P37－39，思索并完成以下問題已知多項(xiàng)式f(x)＝x5＋3x4－3x3＋4x2－x－1.(1)求f(1)．提示：f(1)＝1＋3－3＋4－1－1＝3.(2)若求f(39)，再代入運(yùn)算出現(xiàn)什么狀況？提示：運(yùn)算量太大，不易運(yùn)算．學(xué)問梳理秦九韶算法的算法原理把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改寫成如下形式：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…vn＝vn－1x＋a0.這樣，求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值．學(xué)問點(diǎn)三進(jìn)位制預(yù)習(xí)教材P40－45，思索并完成以下問題(1)今日是星期二，那么20天后是星期幾？提示：20天后是星期一．(2)每周七天，逢七便又是一循環(huán)，這與我們所學(xué)過的十進(jìn)制，逢十進(jìn)一是否有相像之處？提示：其實(shí)一周七天，與十進(jìn)制一樣，相當(dāng)于逢七進(jìn)一，是七進(jìn)制法．學(xué)問梳理1.進(jìn)位制(1)概念：進(jìn)位制是為了計(jì)數(shù)和運(yùn)算便利而約定的記數(shù)系統(tǒng)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制．(2)基數(shù)：幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾．2．不同進(jìn)位制之間的互化(1)k進(jìn)制化為十進(jìn)制的方法：anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k＋a0(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1，a0＜k(2)十進(jìn)制化為k進(jìn)制的方法——除k取余數(shù)．[自我檢測]1．設(shè)計(jì)程序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是()A．依次結(jié)構(gòu)B．條件結(jié)構(gòu)C．循環(huán)結(jié)構(gòu) D．以上都有解析：依據(jù)秦九韶算法的含義知選D.答案：D2．以下各數(shù)有可能是五進(jìn)制數(shù)的是()A．15 B．106C．731 D．21340解析：五進(jìn)制數(shù)中各個(gè)數(shù)字均是小于5的自然數(shù)，故選D.答案：D3．228與1995的最大公約數(shù)是__________．解析：1995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，∴57是228與1995的最大公約數(shù)．答案：57授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第21頁探究一求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)[閱讀教材P36例1]用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù)．方法步驟：第一步，隨意給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(m>n)．其次步，計(jì)算m－n所得的差k.第三步，比較n與k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．第四步，若m＝n，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回其次步．[例1]分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261和319的最大公約數(shù)．[解析]法一：(輾轉(zhuǎn)相除法)319÷261＝1(余58)，261÷58＝4(余29)，58÷29＝2(余0)，所以319與261的最大公約數(shù)為29.法二：(更相減損術(shù))319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，29－29＝0，所以319與261的最大公約數(shù)是29.方法技巧1.利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對(duì)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對(duì)，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的較小數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．2．利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一般步驟是：首先推斷兩個(gè)正整數(shù)是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡．也可以不除以2，干脆求最大公約數(shù)，這樣不影響最終結(jié)果．跟蹤探究1.用輾轉(zhuǎn)相除法求80與36的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果．解析：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0，即80與36的最大公約數(shù)是4.驗(yàn)證：80÷2＝40，36÷2＝18.40÷2＝20，18÷2＝9.20－9＝11，11－9＝2.9－2＝7，7－2＝5.5－2＝3，3－2＝1.2－1＝1，1×2×2＝4.所以80與36的最大公約數(shù)為4.探究二秦九韶算法[閱讀教材P38例2]已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝5時(shí)的值．方法步驟：第一步，改寫多項(xiàng)式；其次步，由內(nèi)到外依次計(jì)算；第三步，結(jié)論．[例2]用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當(dāng)x＝3時(shí)的值．[解析]f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x所以有v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故當(dāng)x＝3時(shí)，多項(xiàng)式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值為21324.方法技巧秦九韶算法原理及留意事項(xiàng)(1)秦九韶算法的原理是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v0＝an，,vk＝vk－1x＋an－k，))(k＝1，2，…，n)．(2)在運(yùn)用秦九韶算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)留意每一步的運(yùn)算結(jié)果，像這種一環(huán)扣一環(huán)的運(yùn)算，假如錯(cuò)一步，那么下一步，始終到最終一步就會(huì)全部算錯(cuò)，同學(xué)們?cè)谟?jì)算這種題時(shí)應(yīng)特別當(dāng)心．跟蹤探究2.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4時(shí)的值時(shí)，v3的值為()A．－144 B．－136C．－57 D．34解析：依據(jù)秦九韶算法多項(xiàng)式可化為f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.由內(nèi)向外計(jì)算v0＝3；v1＝3×(－4)＋5＝－7；v2＝－7×(－4)＋6＝34；v3＝34×(－4)＋0＝－136.答案：B3．用秦九韶算法計(jì)算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，須要加法(或減法)與乘法運(yùn)算的次數(shù)分別為()A．5，4 B．5，5C．4，4 D．4，5解析：n次多項(xiàng)式需進(jìn)行n次乘法；若各項(xiàng)均不為零，則需進(jìn)行n次加法，缺一項(xiàng)就削減一次加法運(yùn)算．f(x)中無常數(shù)項(xiàng)，故加法次數(shù)要削減一次，為5－1＝4.故選D.答案：D探究三進(jìn)位制[閱讀教材P41例3]把二進(jìn)制數(shù)110011(2)化為十進(jìn)制數(shù)．方法步驟：第一步，寫成不同位上數(shù)字與2的冪的乘積之和；其次步，依據(jù)十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算．[例3]把“五進(jìn)制”數(shù)1234(5)轉(zhuǎn)化為“十進(jìn)制”數(shù)，再把它轉(zhuǎn)化為“八進(jìn)制”數(shù)．[解析]∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，而∴1234(5)＝194＝302(8)．方法技巧1.把k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是：先把這個(gè)k進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再依據(jù)十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果．2．將十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法是除k取余法，即用k連續(xù)地去除十進(jìn)制數(shù)所得的商，直到商為0為止，然后將余數(shù)倒排寫出，即得到所求的k進(jìn)制數(shù)．3．把一個(gè)非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)非十進(jìn)制數(shù)，通常是把這個(gè)數(shù)先轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，然后再利用除k取余法，再把這個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)非十進(jìn)制數(shù)．延長探究1.將例題改為：把210(6)化成十進(jìn)制數(shù)為__________．85化成七進(jìn)制數(shù)為__________．解析：210(6)＝2×62＋1×6＝78，所以85＝151(7)．答案：78151(7)2．將例題改為：把1234(5)化成七進(jìn)制數(shù)為__________．解析：∵1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194.而∴1234(5)＝194＝365(7)．答案：365(7)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第23頁[課后小結(jié)]1．求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的問題，可以用輾轉(zhuǎn)相除法，也可以用更相減損術(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法，即依據(jù)a＝nb＋r這個(gè)式子，反復(fù)相除，直到r＝0為止；用更相減損術(shù)，即依據(jù)r＝|a－b|這個(gè)式子，反復(fù)相減，直到r＝0為止．2．秦九韶算法的關(guān)鍵在于把n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為一次多項(xiàng)式，留意體會(huì)遞推的實(shí)現(xiàn)過程，實(shí)施運(yùn)算時(shí)要由內(nèi)向外，一步一步執(zhí)行．3．把一個(gè)非十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為另一種非十進(jìn)制數(shù)，通常是把這個(gè)數(shù)先轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，然后再利用除k取余法，把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制數(shù)．而在運(yùn)用除k取余法時(shí)要留意以下幾點(diǎn)：(1)必需除到所得的商是0為止；(2)各步所得的余數(shù)必需從下到上排列；(3)切記在所求數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)．[素養(yǎng)培優(yōu)]對(duì)秦九韶算法中的運(yùn)算次數(shù)理解錯(cuò)誤已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝2時(shí)的值時(shí)，做了幾次乘法？幾次加法