（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專(zhuān)題6.1 平面向量的線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示（含答案及解析）

專(zhuān)題6.1平面向量的線性運(yùn)算，基本定理及坐標(biāo)表題型一平面向量的基本概念題型二平面向量的線性運(yùn)算題型三已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)題型四向量共線與三點(diǎn)共線題型五平面向量共線定理的推論題型六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型七平面向量基本定理題型一 平面向量的基本概念例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中不正確的是（

）A．向量的?？梢员容^大小 B．平行向量就是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有 D．對(duì)于任意向量，必有例2．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谥校ǘ噙x）下列有關(guān)向量命題，正確的是（

）A．若，則B．已知，且，則C．若，，則D．若，則且練習(xí)1．（2023春·吉林·高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┫铝邢蛄恐胁皇菃挝幌蛄康氖牵?/p>

）A． B．C． D．練習(xí)2．（2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中）以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若向量，則點(diǎn)與點(diǎn)不重合C．方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D．若與是平行向量，則練習(xí)3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中學(xué)校校考期中）（多選）下列敘述中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反D．對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量練習(xí)4．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若ABCD為平行四邊形，則 B．若，，則C．互為相反向量的兩個(gè)向量模相等 D．練習(xí)5．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說(shuō)法正確的是（

）A．平行向量不一定是共線向量B．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等C．是與非零向量共線的單位向量D．若四邊形滿足，則四邊形是矩形題型二 平面向量的線性運(yùn)算例3．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）已知，，E為的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．例4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．練習(xí)6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．練習(xí)7．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．練習(xí)8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．練習(xí)9．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．練習(xí)10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝惺阶又?，不能化簡(jiǎn)為的是（

）A． B．C． D．題型三 已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)例5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．例6．（2023·北京·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．1 D．2練習(xí)11．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知的邊的中點(diǎn)為，點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11練習(xí)12．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B．-1 C．1 D．練習(xí)13．（2023春·陜西·高三校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，.(1)若，試用表示；(2)若與交于點(diǎn)，且，求的值.練習(xí)14．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┰谥?，點(diǎn)，滿足，，若，則（

）A． B． C． D．1練習(xí)15．（2023春·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）已知在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．1 D．2題型四 向量共線與三點(diǎn)共線例7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2例8．（2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，，則（

）A．M，N，P三點(diǎn)共線 B．M，N，Q三點(diǎn)共線 C．M，P，Q三點(diǎn)共線 D．N，P，Q三點(diǎn)共線練習(xí)16．（2021春·高三課時(shí)練習(xí)）已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（

）A． B．C． D．或練習(xí)17．（2023春·四川成都·高三川大附中?？计谥校┰O(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，中任意兩個(gè)都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．練習(xí)19．（2023春·陜西西安·高三交大附中?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)向量、是不共線的兩個(gè)平面向量，已知，其中，，若P、Q、R三點(diǎn)共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．練習(xí)20．（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，是直線外一點(diǎn)，若，則________．題型五 平面向量共線定理的推論例9．（2023春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)共線于直線，對(duì)直線外任意一點(diǎn)，都有，則的最小值為_(kāi)_______．例10．（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）△ABC中，D為AB上一點(diǎn)且滿足，若P為CD線段上一點(diǎn)，且滿足（，為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3練習(xí)21．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┲?，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（

）.A． B． C． D．練習(xí)22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為線段上的任意一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2練習(xí)23．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知是平行四邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，其中，寫(xiě)出滿足條件的與的一組的值__________．練習(xí)24．（2023春·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.練習(xí)25．（2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中?？计谀┰谄叫兴倪呅沃校謩e為上的點(diǎn)，且，連接，與交于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_____.題型六 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例11．（湖南省名校2023屆高三考前仿真模擬（二）數(shù)學(xué)試題）（多選）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知向量，，若向量，則可使成立的可能是（

）A． B． C． D．練習(xí)26．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.練習(xí)27．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).(1)求以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)若實(shí)數(shù)，滿足，求的值.練習(xí)28．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1練習(xí)29．（2023春·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．1練習(xí)30．（2023春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，若，則m＝______．題型七 平面向量基本定理例13．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）在下列各組向量中，能作為平面的基底的是（）A． B．C． D．練習(xí)31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若是一組基底，向量，則稱(chēng)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在另一組基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．練習(xí)32．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，直線交于點(diǎn)，若則_________.

練習(xí)33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①與；②與；③與；④與．其中不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是_____．（寫(xiě)出所有滿足條件的序號(hào)）練習(xí)34．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，記，，則以為基底表示向量______．練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)，線段OD上有點(diǎn)M滿足，線段CO上有點(diǎn)N滿足，設(shè)，已知，則_________．

專(zhuān)題6.1平面向量的線性運(yùn)算，基本定理及坐標(biāo)表示題型一平面向量的基本概念題型二平面向量的線性運(yùn)算題型三已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)題型四向量共線與三點(diǎn)共線題型五平面向量共線定理的推論題型六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型七平面向量基本定理題型一 平面向量的基本概念例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．向量的?？梢员容^大小 B．平行向量就是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有 D．對(duì)于任意向量，必有【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的模、平行向量、共線向量的定義即可判斷AB；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可判斷CD.【詳解】A：向量的模表示向量的長(zhǎng)度，為數(shù)量，是可以比較大小的，故A正確；B：平行向量就是共線向量，故B正確；C：由，得，故C正確；D：，，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.例2．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谥校ǘ噙x）下列有關(guān)向量命題，正確的是（

）A．若，則B．已知，且，則C．若，，則D．若，則且【答案】CD【分析】根據(jù)向量的模，數(shù)量積，向量相等的概念判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A：若，，此時(shí)滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，且與垂直，此時(shí)，但不一定等于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，故C正確；對(duì)于D：若，則且與同向，故D正確；故選：CD練習(xí)1．（2023春·吉林·高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┫铝邢蛄恐胁皇菃挝幌蛄康氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義，一一判斷各選項(xiàng)中的向量，即得答案.【詳解】由于，故，即為單位向量；，則，故不是單位向量；，則，為單位向量；根據(jù)單位向量的定義可知為單位向量，故選：B練習(xí)2．（2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中）以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若向量，則點(diǎn)與點(diǎn)不重合C．方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D．若與是平行向量，則【答案】D【分析】利用向量共線的基本定理可判定A、C、D選項(xiàng)，利用向量相等的性質(zhì)可以判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，則，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若向量，則兩向量的起點(diǎn)都是A，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C選項(xiàng)，方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量可知，兩個(gè)向量方向相反，是共線向量，故C說(shuō)法正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若與是平行向量，則，兩向量的模長(zhǎng)不一定相等，故D說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：D.練習(xí)3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中學(xué)校?？计谥校ǘ噙x）下列敘述中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反D．對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量【答案】CD【分析】A注意即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷；C由共線向量的定義判斷；D由單位向量的定義判斷.【詳解】A：若時(shí)，不一定有，錯(cuò)誤；B：向量不能比較大小，錯(cuò)誤；C：非零向量與且//，則與的方向相同或相反，正確；D：非零向量，則是一個(gè)單位向量，正確.故選：CD練習(xí)4．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若ABCD為平行四邊形，則 B．若，，則C．互為相反向量的兩個(gè)向量模相等 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若ABCD為平行四邊形，則，故A正確；對(duì)于B：若，則與任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：相反向量：模長(zhǎng)相等，方向相反的向量互為相反向量，所以互為相反向量的兩個(gè)向量模相等，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，故D正確；故選：B.練習(xí)5．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)校考期中）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．平行向量不一定是共線向量B．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等C．是與非零向量共線的單位向量D．若四邊形滿足，則四邊形是矩形【答案】BC【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判斷A不正確；根據(jù)相反向量概念，可判定B正確；由向量是與非零向量同向的單位向量，可判定C不正確；由，得到四邊形是平行四邊形，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)共線向量的概念，可得平行向量一定是共線向量，所以A不正確；對(duì)于B中，向量與向量是相反向量，可得，所以B正確；對(duì)于C中，根據(jù)單位向量概念，向量是與非零向量同向的單位向量，也是與向量共線的單位向量，所以C正確；對(duì)于D中，四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，所以D正確.故選：BC.題型二 平面向量的線性運(yùn)算例3．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）已知，，E為的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.【詳解】由得,所以,故選：B例4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，?duì)A，，正確；對(duì)B，，錯(cuò)誤；對(duì)C，，正確；對(duì)D，，正確.故選：B.練習(xí)6．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用向量加法、減法運(yùn)算求解即可.【詳解】故選：C.練習(xí)7．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取BC中點(diǎn)F，先征得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合平面向量基本運(yùn)算求解即可.【詳解】取BC中點(diǎn)F，連接AF，如圖所示，

又因?yàn)?，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所?故選：D.練習(xí)8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)椋允蔷€段的四等分點(diǎn)，且,所以,故A,B錯(cuò)誤；由，可得，故C正確，D錯(cuò)誤，故選:C.練習(xí)9．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】.故選：D練習(xí)10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┫铝惺阶又?，不能化簡(jiǎn)為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加減法法則化簡(jiǎn)各式，即可得答案.【詳解】A：；B：；C：；D：；故選：B題型三 已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)例5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.故選：D.例6．（2023·北京·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】將分別用表示，根據(jù)平面向量基本定理即可求解.【詳解】,,故，故，解得.所以.故選:A.練習(xí)11．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知的邊的中點(diǎn)為，點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可將轉(zhuǎn)化為，則得到的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】因?yàn)?，邊的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，，?故選：D．練習(xí)12．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中）平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析求解.【詳解】由題意可得：，即，則.故選：D.練習(xí)13．（2023春·陜西·高三校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，.(1)若，試用表示；(2)若與交于點(diǎn)，且，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量加減法的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算；(2)先求出AG與GF的比值，以作為基底，將根據(jù)向量平行的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】（1）由題意可知，，所以，；（2）若，則，，由題意可知三點(diǎn)共線，，，由，可得，解得；綜上，（1），；（2）.練習(xí)14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在中，點(diǎn)，滿足，，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由已知得，由此能求出結(jié)果．【詳解】在中，點(diǎn)，滿足，，，，，．故選：B．練習(xí)15．（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】在中，，又點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則，則又，則，則故選：C題型四 向量共線與三點(diǎn)共線例7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的正交分解得到，，的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)運(yùn)算得到和的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量共線列方程求即可.【詳解】解：根據(jù)題意，，，；，；與共線；；解得．故選：A．例8．（2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，，則（

）A．M，N，P三點(diǎn)共線 B．M，N，Q三點(diǎn)共線 C．M，P，Q三點(diǎn)共線 D．N，P，Q三點(diǎn)共線【答案】B【分析】根據(jù)共線定理即可判斷各項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，即，所以，所以不存在，使得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于，，所以，所以，又相交于點(diǎn)，故M、N、Q三點(diǎn)共線.B正確；對(duì)于C，，令，即，所以，所以不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，即，所以，所以不存在，使得，D錯(cuò)誤.故選：B練習(xí)16．（2021春·高三課時(shí)練習(xí)）已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由題意可得存在使得，得到關(guān)于的方程組，根據(jù)方程組求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)所有向量的一組基底，所以不共線，且不為零向量，由與共線可得使得，即，又因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故選：A練習(xí)17．（2023春·四川成都·高三川大附中?？计谥校┰O(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】“與共線”等價(jià)于.因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得：.所以“與共線”是“”的必要不充分條件.故選：B練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，中任意兩個(gè)都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線定理即可得到相關(guān)方程組，解出即可.【詳解】∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得.①又∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使得.②由①得，.∴，∴即.∴故選：D.練習(xí)19．（2023春·陜西西安·高三交大附中?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)向量、是不共線的兩個(gè)平面向量，已知，其中，，若P、Q、R三點(diǎn)共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再由向量共線的列式求出值判斷作答.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，即共線，則存在實(shí)數(shù)使得，因此，又不共線，于是，解得，又，所以或.故選：CD練習(xí)20．（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，是直線外一點(diǎn)，若，則________．【答案】1【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，又，所以1．故答案為：1.題型五 平面向量共線定理的推論例9．（2023春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)共線于直線，對(duì)直線外任意一點(diǎn)，都有，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】先由A、B、C三點(diǎn)共線，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】由題意，A、B、C三點(diǎn)共線所以存在實(shí)數(shù)λ使得，即，所以而所以則，所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)．因此的最小值為．故答案為：．例10．（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）△ABC中，D為AB上一點(diǎn)且滿足，若P為CD線段上一點(diǎn)，且滿足（，為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3【答案】D【分析】由向量對(duì)應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示判斷A；由題設(shè)可得，結(jié)合共線有，結(jié)合基本不等式“1”的代換等判斷B、C、D.【詳解】由，A錯(cuò)誤；由，則，因?yàn)楣簿€，所以，則，B錯(cuò)誤；而，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，即，故的最大值為，C錯(cuò)誤；，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，D正確.故選：D.練習(xí)21．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考二模）中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上一點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量基本定理得到，結(jié)合平面向量共線定理得推論得到，求出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以，故，則，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A練習(xí)22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為線段上的任意一點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】依題意可得、、三點(diǎn)共線，即可得到，再由，即可得到，從而得解.【詳解】解：依題意可得、、三點(diǎn)共線，所以，又關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，又，所以，所以，，則.故選：C練習(xí)23．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知是平行四邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，其中，寫(xiě)出滿足條件的與的一組的值__________．【答案】（答案不唯一，滿足或即可）【分析】若在上可得，若在上，根據(jù)共線定理的推論得到，填寫(xiě)符合題意的答案即可.【詳解】因?yàn)椋粼谏?，則，又，所以，若在上，即、、三點(diǎn)共線，又，則．故答案為：（答案不唯一，滿足或即可）練習(xí)24．（2023春·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)、、三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得；（2）因?yàn)椋?，，所以，由圖可知，又因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取最小值.練習(xí)25．（2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中校考期末）在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接，與交于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量定理的推論求解作答.【詳解】在中，不共線，因?yàn)?，則有，又三點(diǎn)共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：題型六 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例11．（湖南省名校2023屆高三考前仿真模擬（二）數(shù)學(xué)試題）（多選）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算；C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算；D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，則A正確；，則B正確；因?yàn)?/，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以或，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤．故選：AB例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知向量，，若向量，則可使成立的可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得用表示，逐項(xiàng)檢驗(yàn)看是否滿足即可得答案.【詳解】設(shè)，由向量，，若向量，則，解得，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．故選：AC．練習(xí)26．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo)；（2）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，?所以，.（2）解：由已知可得，，因?yàn)椋瑒t，解得.練習(xí)27．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn).(1)求以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)若實(shí)數(shù)，滿足，求的值.【答案】(1)和(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)公式分別求出，，即可得解；（2）先分別求出，再根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）由，，，，所以以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為和；（2）∵，∴，所以.練習(xí)28．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平行充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因?yàn)?，所以，解?故選：A.練習(xí)29．（2023春·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．1【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再由求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，又因?yàn)?，所以，解得，故選：D練習(xí)30．（2023春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)校考期中）已知向量，，若，則m＝______．【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量，，再利用模長(zhǎng)公式整理即可計(jì)算出.【詳解】根據(jù)題意可