(圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué))專(zhuān)題6.1 平面向量的線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示(含答案及解析)_第1頁(yè)
(圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué))專(zhuān)題6.1 平面向量的線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示(含答案及解析)_第2頁(yè)
(圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué))專(zhuān)題6.1 平面向量的線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示(含答案及解析)_第3頁(yè)
(圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué))專(zhuān)題6.1 平面向量的線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示(含答案及解析)_第4頁(yè)
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專(zhuān)題6.1平面向量的線性運(yùn)算,基本定理及坐標(biāo)表題型一平面向量的基本概念題型二平面向量的線性運(yùn)算題型三已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)題型四向量共線與三點(diǎn)共線題型五平面向量共線定理的推論題型六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型七平面向量基本定理題型一 平面向量的基本概念例1.(2023春·北京海淀·高三人大附中??计谥校┫铝姓f(shuō)法中不正確的是(

)A.向量的??梢员容^大小 B.平行向量就是共線向量C.對(duì)于任意向量,必有 D.對(duì)于任意向量,必有例2.(2023春·寧夏銀川·高三銀川一中??计谥校ǘ噙x)下列有關(guān)向量命題,正確的是(

)A.若,則B.已知,且,則C.若,,則D.若,則且練習(xí)1.(2023春·吉林·高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谥校┫铝邢蛄恐胁皇菃挝幌蛄康氖牵?/p>

)A. B.C. D.練習(xí)2.(2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中)以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.若,則B.若向量,則點(diǎn)與點(diǎn)不重合C.方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D.若與是平行向量,則練習(xí)3.(2023春·四川成都·高三成都市第十八中學(xué)校校考期中)(多選)下列敘述中正確的是(

)A.若,則B.若,則C.已知非零向量與且//,則與的方向相同或相反D.對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量練習(xí)4.(2023春·安徽六安·高三六安二中??计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若ABCD為平行四邊形,則 B.若,,則C.互為相反向量的兩個(gè)向量模相等 D.練習(xí)5.(2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)??计谥校ǘ噙x)下列說(shuō)法正確的是(

)A.平行向量不一定是共線向量B.向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等C.是與非零向量共線的單位向量D.若四邊形滿足,則四邊形是矩形題型二 平面向量的線性運(yùn)算例3.(2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中)已知,,E為的中點(diǎn),記,,則(

)A. B. C. D.例4.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中??茧A段練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)A. B.C. D.練習(xí)6.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中??茧A段練習(xí))化簡(jiǎn)(

)A. B. C. D.練習(xí)7.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中校考階段練習(xí))如圖,在梯形ABCD中,,BC=2AD,DE=EC,設(shè),,則(

A. B. C. D.練習(xí)8.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則(

)A. B.C. D.練習(xí)9.(2023春·北京·高三匯文中學(xué)??计谥校┤鐖D,在平行四邊形中,(

)A. B. C. D.練習(xí)10.(2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)??计谥校┫铝惺阶又?,不能化簡(jiǎn)為的是(

)A. B.C. D.題型三 已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)例5.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在中,是邊上一點(diǎn),且是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為(

)A. B. C. D.例6.(2023·北京·高一專(zhuān)題練習(xí))在中,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),若,則(

)A. B. C.1 D.2練習(xí)11.(2023·江蘇南京·南京師大附中??寄M預(yù)測(cè))已知的邊的中點(diǎn)為,點(diǎn)在所在平面內(nèi),且,若,則(

)A.5 B.7 C.9 D.11練習(xí)12.(2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中)平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E滿足,則(

)A. B.-1 C.1 D.練習(xí)13.(2023春·陜西·高三校聯(lián)考期中)如圖,在平行四邊形中,.(1)若,試用表示;(2)若與交于點(diǎn),且,求的值.練習(xí)14.(2023春·四川成都·高一??计谥校┰谥?,點(diǎn),滿足,,若,則(

)A. B. C. D.1練習(xí)15.(2023春·廣東佛山·高三校考階段練習(xí))已知在中,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),若,則(

)A. B. C.1 D.2題型四 向量共線與三點(diǎn)共線例7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,,分別是與軸、軸方向相同的單位向量,已知,,,若與共線,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.4 B.1 C.3 D.2例8.(2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)??计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn),為不共線向量,,,,則(

)A.M,N,P三點(diǎn)共線 B.M,N,Q三點(diǎn)共線 C.M,P,Q三點(diǎn)共線 D.N,P,Q三點(diǎn)共線練習(xí)16.(2021春·高三課時(shí)練習(xí))已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底,,,,則與共線的條件為(

)A. B.C. D.或練習(xí)17.(2023春·四川成都·高三川大附中??计谥校┰O(shè),是兩個(gè)不共線的非零向量,則“與共線”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件練習(xí)18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量,,中任意兩個(gè)都不共線,并且與共線,與共線,那么等于()A. B.C. D.練習(xí)19.(2023春·陜西西安·高三交大附中??茧A段練習(xí))(多選)設(shè)向量、是不共線的兩個(gè)平面向量,已知,其中,,若P、Q、R三點(diǎn)共線,則角的值可以是(

)A. B. C. D.練習(xí)20.(2022春·高一課時(shí)練習(xí))已知三點(diǎn)共線,是直線外一點(diǎn),若,則________.題型五 平面向量共線定理的推論例9.(2023春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)??计谥校┮阎c(diǎn)共線于直線,對(duì)直線外任意一點(diǎn),都有,則的最小值為_(kāi)_______.例10.(2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末)△ABC中,D為AB上一點(diǎn)且滿足,若P為CD線段上一點(diǎn),且滿足(,為正實(shí)數(shù)),則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.C.的最大值為 D.的最小值為3練習(xí)21.(2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)??级#┲?,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N為AB上一點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)D,且,.則(

).A. B. C. D.練習(xí)22.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知為線段上的任意一點(diǎn),為直線外一點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,若,則的值為(

)A. B.0 C.1 D.2練習(xí)23.(2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模)已知是平行四邊形對(duì)角線上的一點(diǎn),且,其中,寫(xiě)出滿足條件的與的一組的值__________.練習(xí)24.(2023春·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)??计谥校┤鐖D所示,在中,為邊上一點(diǎn),且,過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn)(,兩點(diǎn)不重合).(1)用,表示;(2)若,,求的最小值.練習(xí)25.(2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中??计谀┰谄叫兴倪呅沃校謩e為上的點(diǎn),且,連接,與交于點(diǎn),若,則的值為_(kāi)_____.題型六 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例11.(湖南省名校2023屆高三考前仿真模擬(二)數(shù)學(xué)試題)(多選)已知向量,//,,,則(

)A. B. C. D.例12.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(多選)已知向量,,若向量,則可使成立的可能是(

)A. B. C. D.練習(xí)26.(2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)??茧A段練習(xí))已知向量,,.(1)求;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.練習(xí)27.(2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn).(1)求以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)若實(shí)數(shù),滿足,求的值.練習(xí)28.(2023·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測(cè))若向量,,,且,則(

)A. B. C. D.1練習(xí)29.(2023春·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量,,,則實(shí)數(shù)m的值為(

).A. B. C. D.1練習(xí)30.(2023春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)??计谥校┮阎蛄?,,若,則m=______.題型七 平面向量基本定理例13.(2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,,點(diǎn)P在線段AB上,且,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____.例14.(2023春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)??茧A段練習(xí))(多選)在下列各組向量中,能作為平面的基底的是()A. B.C. D.練習(xí)31.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))若是一組基底,向量,則稱(chēng)為向量在基底下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量在基底下的坐標(biāo)為,則向量在另一組基底下的坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.練習(xí)32.(2023春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,在中,,,直線交于點(diǎn),若則_________.

練習(xí)33.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè),是不共線的兩個(gè)向量,給出下列四組向量:①與;②與;③與;④與.其中不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是_____.(寫(xiě)出所有滿足條件的序號(hào))練習(xí)34.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),F(xiàn)是CE的中點(diǎn),記,,則以為基底表示向量______.練習(xí)35.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于O點(diǎn),線段OD上有點(diǎn)M滿足,線段CO上有點(diǎn)N滿足,設(shè),已知,則_________.

專(zhuān)題6.1平面向量的線性運(yùn)算,基本定理及坐標(biāo)表示題型一平面向量的基本概念題型二平面向量的線性運(yùn)算題型三已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)題型四向量共線與三點(diǎn)共線題型五平面向量共線定理的推論題型六平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型七平面向量基本定理題型一 平面向量的基本概念例1.(2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中)下列說(shuō)法中不正確的是(

)A.向量的??梢员容^大小 B.平行向量就是共線向量C.對(duì)于任意向量,必有 D.對(duì)于任意向量,必有【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的模、平行向量、共線向量的定義即可判斷AB;根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可判斷CD.【詳解】A:向量的模表示向量的長(zhǎng)度,為數(shù)量,是可以比較大小的,故A正確;B:平行向量就是共線向量,故B正確;C:由,得,故C正確;D:,,又,所以,故D錯(cuò)誤.故選:D.例2.(2023春·寧夏銀川·高三銀川一中??计谥校ǘ噙x)下列有關(guān)向量命題,正確的是(

)A.若,則B.已知,且,則C.若,,則D.若,則且【答案】CD【分析】根據(jù)向量的模,數(shù)量積,向量相等的概念判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A:若,,此時(shí)滿足,但是,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若,且與垂直,此時(shí),但不一定等于,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:若,,則,故C正確;對(duì)于D:若,則且與同向,故D正確;故選:CD練習(xí)1.(2023春·吉林·高三長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谥校┫铝邢蛄恐胁皇菃挝幌蛄康氖牵?/p>

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義,一一判斷各選項(xiàng)中的向量,即得答案.【詳解】由于,故,即為單位向量;,則,故不是單位向量;,則,為單位向量;根據(jù)單位向量的定義可知為單位向量,故選:B練習(xí)2.(2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中)以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.若,則B.若向量,則點(diǎn)與點(diǎn)不重合C.方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D.若與是平行向量,則【答案】D【分析】利用向量共線的基本定理可判定A、C、D選項(xiàng),利用向量相等的性質(zhì)可以判斷B選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),若,則,則,故A說(shuō)法正確;對(duì)于B選項(xiàng),若向量,則兩向量的起點(diǎn)都是A,點(diǎn)與點(diǎn)不重合,故B說(shuō)法正確;對(duì)于C選項(xiàng),方向?yàn)闁|偏南的向量與北偏西的向量可知,兩個(gè)向量方向相反,是共線向量,故C說(shuō)法正確;對(duì)于D選項(xiàng),若與是平行向量,則,兩向量的模長(zhǎng)不一定相等,故D說(shuō)法錯(cuò)誤;故選:D.練習(xí)3.(2023春·四川成都·高三成都市第十八中學(xué)校??计谥校ǘ噙x)下列敘述中正確的是(

)A.若,則B.若,則C.已知非零向量與且//,則與的方向相同或相反D.對(duì)任一非零向量是一個(gè)單位向量【答案】CD【分析】A注意即可判斷;B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷;C由共線向量的定義判斷;D由單位向量的定義判斷.【詳解】A:若時(shí),不一定有,錯(cuò)誤;B:向量不能比較大小,錯(cuò)誤;C:非零向量與且//,則與的方向相同或相反,正確;D:非零向量,則是一個(gè)單位向量,正確.故選:CD練習(xí)4.(2023春·安徽六安·高三六安二中??计谥校┫铝姓f(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.若ABCD為平行四邊形,則 B.若,,則C.互為相反向量的兩個(gè)向量模相等 D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A:若ABCD為平行四邊形,則,故A正確;對(duì)于B:若,則與任何向量均平行,可得,,但不一定平行,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:相反向量:模長(zhǎng)相等,方向相反的向量互為相反向量,所以互為相反向量的兩個(gè)向量模相等,故C正確;對(duì)于D:因?yàn)?,故D正確;故選:B.練習(xí)5.(2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)校考期中)(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A.平行向量不一定是共線向量B.向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等C.是與非零向量共線的單位向量D.若四邊形滿足,則四邊形是矩形【答案】BC【分析】根據(jù)共線向量的概念,可判斷A不正確;根據(jù)相反向量概念,可判定B正確;由向量是與非零向量同向的單位向量,可判定C不正確;由,得到四邊形是平行四邊形,可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中,根據(jù)共線向量的概念,可得平行向量一定是共線向量,所以A不正確;對(duì)于B中,向量與向量是相反向量,可得,所以B正確;對(duì)于C中,根據(jù)單位向量概念,向量是與非零向量同向的單位向量,也是與向量共線的單位向量,所以C正確;對(duì)于D中,四邊形滿足,則四邊形是平行四邊形,不一定是矩形,所以D正確.故選:BC.題型二 平面向量的線性運(yùn)算例3.(2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中)已知,,E為的中點(diǎn),記,,則(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.【詳解】由得,所以,故選:B例4.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中??茧A段練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義,結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,?duì)A,,正確;對(duì)B,,錯(cuò)誤;對(duì)C,,正確;對(duì)D,,正確.故選:B.練習(xí)6.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中??茧A段練習(xí))化簡(jiǎn)(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】運(yùn)用向量加法、減法運(yùn)算求解即可.【詳解】故選:C.練習(xí)7.(2023春·吉林長(zhǎng)春·高三東北師大附中校考階段練習(xí))如圖,在梯形ABCD中,,BC=2AD,DE=EC,設(shè),,則(

A. B. C. D.【答案】D【分析】取BC中點(diǎn)F,先征得四邊形為平行四邊形,再結(jié)合平面向量基本運(yùn)算求解即可.【詳解】取BC中點(diǎn)F,連接AF,如圖所示,

又因?yàn)?,,所以且,所以四邊形為平行四邊形,所?故選:D.練習(xí)8.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖,因?yàn)椋允蔷€段的四等分點(diǎn),且,所以,故A,B錯(cuò)誤;由,可得,故C正確,D錯(cuò)誤,故選:C.練習(xí)9.(2023春·北京·高三匯文中學(xué)??计谥校┤鐖D,在平行四邊形中,(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】.故選:D練習(xí)10.(2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)??计谥校┫铝惺阶又?,不能化簡(jiǎn)為的是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用向量加減法法則化簡(jiǎn)各式,即可得答案.【詳解】A:;B:;C:;D:;故選:B題型三 已知平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)例5.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在中,是邊上一點(diǎn),且是上一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示,又因?yàn)槿c(diǎn)共線,利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由,得出,由得,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,解得.故選:D.例6.(2023·北京·高一專(zhuān)題練習(xí))在中,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),若,則(

)A. B. C.1 D.2【答案】A【分析】將分別用表示,根據(jù)平面向量基本定理即可求解.【詳解】,,故,故,解得.所以.故選:A.練習(xí)11.(2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測(cè))已知的邊的中點(diǎn)為,點(diǎn)在所在平面內(nèi),且,若,則(

)A.5 B.7 C.9 D.11【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可將轉(zhuǎn)化為,則得到的值,進(jìn)而即可求解.【詳解】因?yàn)?,邊的中點(diǎn)為,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,即,因?yàn)?,所以,,?故選:D.練習(xí)12.(2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考期中)平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E滿足,則(

)A. B.-1 C.1 D.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析求解.【詳解】由題意可得:,即,則.故選:D.練習(xí)13.(2023春·陜西·高三校聯(lián)考期中)如圖,在平行四邊形中,.(1)若,試用表示;(2)若與交于點(diǎn),且,求的值.【答案】(1),(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量加減法的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算;(2)先求出AG與GF的比值,以作為基底,將根據(jù)向量平行的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.【詳解】(1)由題意可知,,所以,;(2)若,則,,由題意可知三點(diǎn)共線,,,由,可得,解得;綜上,(1),;(2).練習(xí)14.(2023春·四川成都·高一校考期中)在中,點(diǎn),滿足,,若,則(

)A. B. C. D.1【答案】B【分析】由已知得,由此能求出結(jié)果.【詳解】在中,點(diǎn),滿足,,,,,.故選:B.練習(xí)15.(2023春·廣東佛山·高三??茧A段練習(xí))已知在中,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),若,則(

)A. B. C.1 D.2【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】在中,,又點(diǎn)為邊的中點(diǎn),則,則又,則,則故選:C題型四 向量共線與三點(diǎn)共線例7.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,,分別是與軸、軸方向相同的單位向量,已知,,,若與共線,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.4 B.1 C.3 D.2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的正交分解得到,,的坐標(biāo),然后利用坐標(biāo)運(yùn)算得到和的坐標(biāo),最后根據(jù)向量共線列方程求即可.【詳解】解:根據(jù)題意,,,;,;與共線;;解得.故選:A.例8.(2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)??计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn),為不共線向量,,,,則(

)A.M,N,P三點(diǎn)共線 B.M,N,Q三點(diǎn)共線 C.M,P,Q三點(diǎn)共線 D.N,P,Q三點(diǎn)共線【答案】B【分析】根據(jù)共線定理即可判斷各項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,令,即,所以,所以不存在,使得,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由于,,所以,所以,又相交于點(diǎn),故M、N、Q三點(diǎn)共線.B正確;對(duì)于C,,令,即,所以,所以不存在,使得,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,令,即,所以,所以不存在,使得,D錯(cuò)誤.故選:B練習(xí)16.(2021春·高三課時(shí)練習(xí))已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底,,,,則與共線的條件為(

)A. B.C. D.或【答案】A【分析】由題意可得存在使得,得到關(guān)于的方程組,根據(jù)方程組求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠矫鎯?nèi)所有向量的一組基底,所以不共線,且不為零向量,由與共線可得使得,即,又因?yàn)椴还簿€,所以,所以,故選:A練習(xí)17.(2023春·四川成都·高三川大附中??计谥校┰O(shè),是兩個(gè)不共線的非零向量,則“與共線”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】“與共線”等價(jià)于.因?yàn)?,是兩個(gè)不共線的非零向量,所以,解得:.所以“與共線”是“”的必要不充分條件.故選:B練習(xí)18.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量,,中任意兩個(gè)都不共線,并且與共線,與共線,那么等于()A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)向量共線定理即可得到相關(guān)方程組,解出即可.【詳解】∵與共線,∴存在實(shí)數(shù),使得.①又∵與共線,∴存在實(shí)數(shù),使得.②由①得,.∴,∴即.∴故選:D.練習(xí)19.(2023春·陜西西安·高三交大附中??茧A段練習(xí))(多選)設(shè)向量、是不共線的兩個(gè)平面向量,已知,其中,,若P、Q、R三點(diǎn)共線,則角的值可以是(

)A. B. C. D.【答案】CD【分析】三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線,再由向量共線的列式求出值判斷作答.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線,即共線,則存在實(shí)數(shù)使得,因此,又不共線,于是,解得,又,所以或.故選:CD練習(xí)20.(2022春·高一課時(shí)練習(xí))已知三點(diǎn)共線,是直線外一點(diǎn),若,則________.【答案】1【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線,則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì),使得,又,所以1.故答案為:1.題型五 平面向量共線定理的推論例9.(2023春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)??计谥校┮阎c(diǎn)共線于直線,對(duì)直線外任意一點(diǎn),都有,則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【分析】先由A、B、C三點(diǎn)共線,得到,利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】由題意,A、B、C三點(diǎn)共線所以存在實(shí)數(shù)λ使得,即,所以而所以則,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故答案為:.例10.(2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末)△ABC中,D為AB上一點(diǎn)且滿足,若P為CD線段上一點(diǎn),且滿足(,為正實(shí)數(shù)),則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.C.的最大值為 D.的最小值為3【答案】D【分析】由向量對(duì)應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示判斷A;由題設(shè)可得,結(jié)合共線有,結(jié)合基本不等式“1”的代換等判斷B、C、D.【詳解】由,A錯(cuò)誤;由,則,因?yàn)楣簿€,所以,則,B錯(cuò)誤;而,僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故,即,故的最大值為,C錯(cuò)誤;,僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為3,D正確.故選:D.練習(xí)21.(2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考二模)中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N為AB上一點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)D,且,.則(

).A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)向量基本定理得到,結(jié)合平面向量共線定理得推論得到,求出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn),所以,故,則,故,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以存在使得,即,則,所以,解得:.故選:A練習(xí)22.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知為線段上的任意一點(diǎn),為直線外一點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,若,則的值為(

)A. B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】依題意可得、、三點(diǎn)共線,即可得到,再由,即可得到,從而得解.【詳解】解:依題意可得、、三點(diǎn)共線,所以,又關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,所以,又,所以,所以,,則.故選:C練習(xí)23.(2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模)已知是平行四邊形對(duì)角線上的一點(diǎn),且,其中,寫(xiě)出滿足條件的與的一組的值__________.【答案】(答案不唯一,滿足或即可)【分析】若在上可得,若在上,根據(jù)共線定理的推論得到,填寫(xiě)符合題意的答案即可.【詳解】因?yàn)椋粼谏?,則,又,所以,若在上,即、、三點(diǎn)共線,又,則.故答案為:(答案不唯一,滿足或即可)練習(xí)24.(2023春·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)??计谥校┤鐖D所示,在中,為邊上一點(diǎn),且,過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn)(,兩點(diǎn)不重合).(1)用,表示;(2)若,,求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化用,表示,根據(jù)、、三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系,再利用基本不等式計(jì)算可得;【詳解】(1)因?yàn)?,所以,化?jiǎn)得;(2)因?yàn)椋?,,所以,由圖可知,又因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線,所以,所以,當(dāng),即時(shí),取最小值.練習(xí)25.(2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中校考期末)在平行四邊形中,分別為上的點(diǎn),且,連接,與交于點(diǎn),若,則的值為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)給定條件,利用向量的加法,結(jié)合共線向量定理的推論求解作答.【詳解】在中,不共線,因?yàn)?,則有,又三點(diǎn)共線,于是得,解得,所以的值為.故答案為:題型六 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例11.(湖南省名校2023屆高三考前仿真模擬(二)數(shù)學(xué)試題)(多選)已知向量,//,,,則(

)A. B. C. D.【答案】AB【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷;B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算;C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算;D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)?,所以,則A正確;,則B正確;因?yàn)?/,所以設(shè),因?yàn)?,所以,解得,所以或,故C錯(cuò)誤;,故D錯(cuò)誤.故選:AB例12.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))(多選)已知向量,,若向量,則可使成立的可能是(

)A. B. C. D.【答案】AC【分析】設(shè),由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得用表示,逐項(xiàng)檢驗(yàn)看是否滿足即可得答案.【詳解】設(shè),由向量,,若向量,則,解得,當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),.故選:AC.練習(xí)26.(2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)校考階段練習(xí))已知向量,,.(1)求;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo);(2)求出向量、的坐標(biāo),利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)解:因?yàn)?,?所以,.(2)解:由已知可得,,因?yàn)椋瑒t,解得.練習(xí)27.(2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn).(1)求以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2)若實(shí)數(shù),滿足,求的值.【答案】(1)和(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)公式分別求出,,即可得解;(2)先分別求出,再根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)由,,,,所以以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為和;(2)∵,∴,所以.練習(xí)28.(2023·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測(cè))若向量,,,且,則(

)A. B. C. D.1【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平行充要條件列出關(guān)于m的方程,解之即可求得m的值.【詳解】,因?yàn)?,所以,解?故選:A.練習(xí)29.(2023春·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量,,,則實(shí)數(shù)m的值為(

).A. B. C. D.1【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo),再由求解.【詳解】解:因?yàn)橄蛄浚?,又因?yàn)?,所以,解得,故選:D練習(xí)30.(2023春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)校考期中)已知向量,,若,則m=______.【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量,,再利用模長(zhǎng)公式整理即可計(jì)算出.【詳解】根據(jù)題意可

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