第08講直角三角形全等的判定（2類題型）（原卷版）

第08講直角三角形全等的判定（2類題型）課程標準學習目標1.用HL判斷三角形全等；2.全等的性質(zhì)與HL的綜合；3.1.掌握用HL證三角形全等；2.掌握全等的性質(zhì)與HL的綜合；知識點01：HL證明三角形全等定理：在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“HL”）.要點詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.【即學即練1】1．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，D是上一點，于點E，，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．【即學即練2】2．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點E，若∠B=28°，則∠AEC=（）A．28° B．59° C．60° D．62°題型01用HL證明三角形全等1．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，垂足分別為D、E，且，則與全等的直接理由是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·八年級課時練習）在和中，，有如下幾個條件：①，；②，；③，；④，．其中，能判定的條件的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為.

4．（2023秋·江蘇南京·八年級校考開學考試）如圖，在中，，線段兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，點從點運動到點A，點的運動速度為每秒鐘，當運動時間為時，和全等．

5．（2023春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，池塘兩端、的距離無法直接測量，請同學們設計測量、之間距離的方案．小明設計的方案如圖①：他先在平地上選取一個可以直接到達、的點，然后連接和，接著分別延長和并且使，，最后連接，測出的長即可．小紅的方案如圖②：先確定直線，過點作的垂線，在上選取一個可以直接到達點的點，連接，在線段的延長線上找一點，使，測的長即可．你認為以上兩種方案可以嗎？請說明理由．

6．（2023春·江蘇淮安·七年級淮陰中學新城校區(qū)校聯(lián)考階段練習）如圖，點B、F、C、E存同一直線上，，、相交于點G，，垂足為B，，垂足為E，且，．

(1)求證：；(2)．題型02全等的性質(zhì)和HL綜合1．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，于，，．則的長是（

）

A． B． C． D．2（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，平分于，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，

其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個3．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點，，分別是邊，上的點，，則度．

4．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，于點E，，則的值為．5．（2023秋·八年級課時練習）如圖所示，平分，P是上一點，D是上一點，E是上一點，且．求證：．

6．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，為等腰直角三角形，，點D在上，點E在的延長線上，且．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．A夯實基礎1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，．則的理由是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·湖南永州·八年級?？计谥校┤鐖D，，，垂足分別為、，且，則與全等的理由是（

）

A．SAS B．AAS C．SSS D．HL3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，要用“”判斷和全等的條件是（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023春·山東濟南·八年級濟南育英中學?？计谥校┤鐖D，在中，，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，點E為線段上一動點．若，當最小時，的面積是（）．A．15 B．30 C．45 D．605．（2023春·湖南常德·八年級常德市第五中學校聯(lián)考期中）如圖，，，，要根據(jù)“”證明，則還需要添加一個條件是．

6．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，已知，是的兩條高線，，，則度．7．（2023秋·八年級課前預習）如圖，已知，邊的垂直平分線交與點D，連接，如果，，那么的周長等于．8．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，則∠EDF＝．9．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知：如圖，，，，．求證：．10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．B能力提升1．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，垂足為C，且，若用“”證明，則需添加的條件是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（）A． B． C． D．3．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點P，若，則（

）

A． B． C． D．4．（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，交于點，若，則的長為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，若要使與全等，則添加的條件可以是：．（寫出一個條件即可）

6．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點，，分別是邊，上的點，，則度．

7．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，于點E，，則的值為．8．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，中，，AD平分交BC于點D，E為線段AC上一點，連接DE，且．若，，則AE的長為．

9．（2023春·山東濟南·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點E在上，點F在的延長線上，且，求的度數(shù)．

10．（2023春·寧夏銀川·八年級?？计谥校┤鐖D，于點E，于點F，若平分，．

(1)求證：；(2)請猜想與之間的數(shù)量關系，并給予證明．C綜合素養(yǎng)1．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，已知，垂足為，，，則可得到，理由是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南平頂山·八年級校考階段練習）如圖，點E是的中點，，，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④．四個結(jié)論中成立的是（

）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預測）如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為和，則的面積為（）A． B． C． D．4．（2023春·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于D，點E、G分別在邊、上，連接，．過D作于F．已知，，，則的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．55．（2023秋·全國·八年級專題練習）和中，，，，、分別為、邊的高，且，則的度數(shù)為．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，中，，平分交于點D，交的延長線于點E，交于點F．若，，則的長為．7．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在中，，按以下步驟作圖：以點為圓心，以小于的長為半徑作?。謩e交、于點、；再分別以點、為圓心．以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；連接，交于點．若，，則的長為．

8．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知長方形中，，，點在邊上，，點在線段上以的速度由點向點運動，到達點后馬上折返，向點運動，點在線段上以的速度由C點向D點運動．點F、G同時出發(fā)，當一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒．若以E，B，F(xiàn)為頂點的三角形和以F，C，G為頂點的三角形全等，則t=秒．

9．（2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，中，．

(1)【實踐操作】尺規(guī)作圖：①作的平分線，交于點D；②過點D作的垂線，交于點E；③在線段上求作一點F，使．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)【靈活運用】在（1）