考點(diǎn)15等腰三角形

考點(diǎn)15等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)及判定是初中數(shù)學(xué)最為重要的知識(shí)點(diǎn)之一，也是重要幾何模型的“發(fā)源地”，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的。而數(shù)學(xué)中考中，等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大的，多以選擇填空題型出現(xiàn)，但是因?yàn)榈妊切慰梢苑旁诤芏嗄Ｐ椭?，所以等腰三角形結(jié)合其他考點(diǎn)出成壓軸題的幾率特別大，所占分值也是比較多，屬于是中考必考的中等偏上難度的考點(diǎn)。等腰三角形的性質(zhì)和判定角平分線的性質(zhì)定理與判定定理線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理考向一：等腰三角形的性質(zhì)和判定等腰三角形的性質(zhì)和判定定義有兩邊長相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長叫做腰，第三邊叫做底性質(zhì)軸對稱性：一般等腰三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸等邊對等角三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。判定①定義法；②等角對等邊等邊三角形的性質(zhì)和判定定義三邊長都相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸等邊三角形三個(gè)角都相等，分別都等于60°三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。判定定義法有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形特別注意：當(dāng)一個(gè)三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時(shí)，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形。等邊三角形面積的求解方法：1．等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm．則該等腰三角形的腰長為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【分析】已知的邊可能是腰，也可能是底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：當(dāng)腰是3cm時(shí)，則另兩邊是3cm，9cm．而3+3＜9，不滿足三邊關(guān)系定理，因而應(yīng)舍去．當(dāng)?shù)走吺?cm時(shí)，另兩邊長是6cm，6cm．則該等腰三角形的底邊為3cm．故選：B．2．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則它的底角的大小是（）A．25° B．20° C．25°或65° D．20°或70°【分析】分兩種情況討論：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出頂角∠BAC，即可求出底角的度數(shù)．【解答】解：分兩種情況討論：①若∠A＜90°，如圖1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；②若∠A＞90°，如圖2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為70°或20°，故選：D．3．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BEC的周長為（）A．12 B．8 C．15 D．13【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE＝BE，然后求出△BEC周長＝AC+BC，再根據(jù)等腰三角形兩腰相等可得AC＝AB，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴△BEC周長＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC，∵腰長AB＝10，∴AC＝AB＝10，∴△BEC周長＝10+5＝15．故選：C．4．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝AD＝AC，∠BAC＝108°，則∠DAC的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．85° D．84°【分析】由BD＝AD＝AC得∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠4＝∠1+∠2得，∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，由∠BAC＝108°得∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，即可求出∠2＝24°，最后便可求出∠DAC的度數(shù)．【解答】解：∵BD＝AD＝AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠4＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝2∠1＝2∠2，∵∠BAC＝108°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠BAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠2+2∠2＝72°，∴∠2＝24°，∴∠1＝24°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣24°＝84°，故選：D．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，則下列四個(gè)結(jié)論：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF，其中正確的有（1）（2）（3）（4）．（填序號(hào)）【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE＝DF，即可證得∠DEF＝∠DFE；又由等角的余角相等，可得∠ADE＝∠ADF，然后由角平分線的性質(zhì)，證得AE＝AF，又由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，證得AD垂直平分EF．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE；正確；（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ADE＝∠ADF，ED＝FD，∴AE＝AF，正確；（3）∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF，故（4）正確；由（2）知ED＝FD，∴AD平分∠EDF；故（3）正確．故答案為：（1）（2）（3）（4）．6．等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E為底邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EA長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，測得∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，則∠DEB＝31°．【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可求∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AEC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠AED，再根據(jù)平角的定義即可求解．【解答】解：∵∠CAE＝80°，∠EAD＝54°，∴∠CAB＝134°，∵AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣134°）÷2＝23°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝77°，由作圖可知EA＝ED，∴∠EDA＝54°，∴∠AED＝180°﹣54°×2＝72°，∴∠DEB＝180°﹣77°﹣72°＝31°．故答案為：31．7．如圖所示，在坐標(biāo)平面中，A（0，4），C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，CO＝3，AC＝5，若點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以PC為腰作等腰三角形△PCQ，已知∠CPQ＝2∠ACO＝2α（α為定值），連接OQ，則OQ的最小值為．【分析】延長AC至點(diǎn)M，連接PM，使PM＝AP，證出∠CPM＝∠APQ，進(jìn)而證明△CPM≌△QPA（SAS），得到∠PAQ＝∠M＝∠CAO，求出OC＝ON，當(dāng)OQ⊥AN時(shí)，OQ有最小值，利用S△AON＝S△AOC，求出OQ的最小值．【解答】解：延長AC至點(diǎn)M，連接PM，使PM＝AP，∵∠ACO＝α，∴∠M＝∠CAO＝90°﹣α，∴∠APQ＝180°﹣2α，∴∠APM＝2α＝∠CPQ，∴∠CPM＝∠APQ，又∵CP＝PQ，PM＝PA，∴△CPM≌△QPA（SAS），∴∠PAQ＝∠M＝∠CAO，∴OC＝ON，∴當(dāng)OQ⊥AN時(shí)，OQ有最小值，∵S△AON＝S△AOC，∴，∴3×4＝5OQ，解得，∴OQ的最小值是，故答案為：．8．如圖，已知點(diǎn)P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，∠AMN＝35°，當(dāng)∠A為110°或72.5°或35°時(shí)，△AMP是等腰三角形．【分析】若△AMP為等腰三角形則有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三種情況，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得∠A的值．【解答】解：若△AMP為等腰三角形則有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三種情況，①當(dāng)AM＝AP時(shí)，則有∠M＝∠APM＝35°，∴∠A＝110°；②當(dāng)AM＝MP時(shí)，則∠A＝∠APM＝72.5°；③當(dāng)MP＝AP時(shí)，則∠A＝∠AMN＝35°，綜上可知∠A為110°或72.5°或35°，故答案為：110°或72.5°或35°．9．在如圖所示的3×3方格中，以AB為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有4個(gè)．【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，即可得出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置．【解答】解：如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C1、C2、C3、C4，即為第三個(gè)頂點(diǎn)的位置；故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè)．故答案為：410．如圖所示，∠AOB＝60°，C是BO延長線上的一點(diǎn)，OC＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝或12s時(shí)，△POQ是等腰三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)．分別列式計(jì)算即可求．【解答】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，設(shè)t時(shí)后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣3t＝2t，解得，t＝s；（2）當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過CO時(shí)的時(shí)間已用5s，當(dāng)△POQ是等腰三角形時(shí)，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即3t﹣12＝2t，解得，t＝12s故答案為或12．11．如圖，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，圖中與BD（BD除外）相等的線段共有（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知條件可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED＝∠EDB＝60°，可得△BED是等邊三角形，即可得出BD＝ED＝BE，再根據(jù)BD＝CD，ED∥AC，可得ED是△ABC的中位線，即可得出BE＝AE，即可得出答案．【解答】解：△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵AD是BC上的高，∴BD＝CD，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，∴△BED是等邊三角形，∴BD＝ED＝BE，∵BD＝CD，ED∥AC，∴ED是△ABC的中位線，∴BE＝AE，∴BD＝AE．∴圖中與BD（BD除外）相等的線段有CD、DE、BE、AE共4條．故選：D．12．已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等邊三角形．其中，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)先證明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根據(jù)已知給出的條件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故選項(xiàng)①正確；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故選項(xiàng)②正確；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故選項(xiàng)③正確；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故選項(xiàng)④正確；∴CM＝CN，∴△CMN為等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等邊三角形，故選項(xiàng)⑤正確；故選：D．13．如圖，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，則BC＝7．【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BEM為等邊三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案．【解答】解：延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，如圖，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM為等邊三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝DM＝，∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，∴BC＝2BN＝7．故答案為：7．14．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以O(shè)C為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．（1）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（2）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設(shè)∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，則a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．15．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點(diǎn)D，連接CD．（1）求證：△ACD為等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度數(shù)．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠3，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)得出AC＝AD即可；（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根據(jù)已知條件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根據(jù)平行線的選擇得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD為等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，若AF＝BF．求證：（1）△ADF是等腰三角形．（2）DF＝2EF．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證得∠D＝∠DFA，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；（2）過A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得DH＝FH，根據(jù)全等三角形的判定證得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）過A作AH⊥DE于H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由（1）知，AD＝AF，∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，，∴△AFH≌△BFE（AAS），∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF．考向二：角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)定理與判定定理性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。判定定理：角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。角平分線常見的處理策略：1.角平分線＋∥→等腰△特別地：①特別地：①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED若以上3個(gè)條件中有2個(gè)成立，則剩余的那個(gè)就會(huì)成立。即：三條件滿足“知2得1”☆☆其中：1.平行線的引入方法常見的有：①直接給出的平行；②平行四邊形及特殊平行四邊形；③梯形的上下底邊；④輔助線作出的平行；⑤其他條件證明得到的平行；2.當(dāng)?shù)妊魇墙Y(jié)論時(shí)，常接著用等腰△的性質(zhì)；3.“知2得1”在圓中應(yīng)用時(shí)，常用“角平分線＋等腰→∥”，進(jìn)而得某角=Rt∠，證直線與圓相切。2.角平分線＋⊥→等腰△；（即“三線合一”的你應(yīng)用，此類問題常和圓的性質(zhì)結(jié)合考察）3.見角平分線，作雙垂→得全等或線段相等，亦可以用；（作“⊥”，即作“高”；有“高”想“面積”，進(jìn)而拓展想“等積法”；其中，“得線段相等”是因?yàn)槠湫再|(zhì)定理；更深一步的應(yīng)用方向可以是：①其中，“得線段相等”是因?yàn)槠湫再|(zhì)定理；更深一步的應(yīng)用方向可以是：①用于“等量代換”；②再證全等的條件；③將“雙垂”看作“雙高線”，進(jìn)而得兩個(gè)△面積之間的關(guān)系；④當(dāng)角平分線多于1條時(shí)，可能要結(jié)合其判定定理證其他線也是角平分線4.見角平分線，作對稱（即截長補(bǔ)短構(gòu)全等）5．圓中：由角平分線得角相等，進(jìn)而推知1得4；6．重要思想→倍半角模型：與角平分線有關(guān)的問題，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“倍半角”關(guān)系，可利用“倍半角模型”解題。1．三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（）A．三邊高線的交點(diǎn) B．三條垂直平分線的交點(diǎn) C．三邊中線的交點(diǎn) D．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【解答】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在∠A、∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．故選：D．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積是（）A．9 B．12 C．15 D．24【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面積＝．故選：C．3．如圖，已知△ABC的面積為10，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點(diǎn)P，則△BPC的面積是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】延長AP交BC于E，根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出．【解答】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴，故選：C．4．如圖，∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB于D，PC＝4，則PD的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE＝PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），∴PD＝PE＝2，故選：A．5．如圖：已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，CE為△ABC的角平分線，EF∥AC，則EF的長度是（）A． B． C． D．4【分析】根據(jù)EF∥AC，得到EF⊥BC，過點(diǎn)E作ED⊥AC，易得：EF＝ED，利用等積法，求出EF的長度即可．【解答】解：∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠ACB＝90°，∴EF⊥BC，過點(diǎn)E作ED⊥AC，交AC于點(diǎn)D，∵CE為△ABC的角平分線，∴DE＝EF，∵S△ABC＝S△AEC+S△CEB，即：?AC?BC＝?AC?ED+?BC?EF＝?（AC+BC）?EF，∴6×8＝（6+8）?EF，∴；故選：B．6．如圖，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，延長BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，則下列結(jié)論：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PD，∵PM⊥BE，PD⊥AC，∴AP平分∠EAC，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正確，故選：D．7．如圖，A、B兩點(diǎn)分別在射線OM，ON上，點(diǎn)C在∠MON的內(nèi)部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MON；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BE＝3，根據(jù)全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，Rt根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．8．如圖，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)在一直線上，在BC同側(cè)作△BCD、△BCE，若BE，CE分別平分∠ABD，∠BCD，過點(diǎn)B作∠CBD的平分線交CE于點(diǎn)F．（1）已知∠E＝27°，求∠D的度數(shù)；（2）若BE∥CD，BD＝8，求線段BE的長；（3）在（2）的條件下，若BF＝6，求線段CD的長．【分析】（1）由∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE，再由角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，可推出∠D＝2∠E；（2）由平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，可以推出BE＝BD；（3））延長BF交DC于G，作BH⊥EC于H，由勾股定理可以求出CF的長，列出關(guān)于FG的方程，求出FG，再由勾股定理求出CG的長，即可求出CD的長．【解答】解：（1）BE，CE分別平分∠ABD，∠BCD，∴∠EBD＝∠ABD，∠DCE＝∠BCD，∵∠ABD＝∠D+∠DCB，∴∠EBD＝∠D+∠DCB，∵∠E+∠EBD＝∠D+∠DCE，∴∠E+∠D+∠DCB＝∠D+∠BCD，∴∠D＝2∠E＝54°；（2）∵BE∥DC，∴∠D＝∠EBD，∠DCB＝∠EBA，∠E＝∠DCE，∵∠EBD＝∠EBA，∠DCE＝∠BCE，∴∠D＝∠DCB，∠E＝∠ECB，∴BE＝BC，BD＝BC，∴BE＝BD＝8；（3）延長BF交DC于G，作BH⊥EC于H，∵∠EBD＝∠ABD，∠DBF＝∠DBC，∴∠EBD+∠DBF＝（∠ABD+∠DBC），∴∠EBF＝∠ABC＝90°，∴EF＝＝＝10，∵EF?BH＝BE?BF，∴10BH＝8×6，∴BH＝4.8，∴CH＝＝＝6.4，F(xiàn)H＝＝＝3.6，∴CF＝CH﹣FH＝2.8，∵BD＝BC，BG平分∠CBD，∴BG⊥DC，∵CG2＝BC2﹣BG2＝CF2﹣FG2，∴82﹣（6+FG）2＝2.82﹣FG2，∴FG＝1.68，∴CG＝＝＝2.24，∴CD＝2CG＝4.48．考向三：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定線段垂直平分線的性質(zhì)定理與判定定理性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等。判定定理：到線段兩端的距離相等點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。角平分線與線段垂直平分線常見輔助線的區(qū)別：角平分線：過點(diǎn)作到邊的垂線段；線段垂直平分線：連接兩個(gè)端點(diǎn)1．下列說法正確的是（）A．三角形的角平分線將三角形的面積平分 B．三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)內(nèi)角 C．在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，則這個(gè)三角形是直角三角形 D．若線段AB垂直平分線段CD，則線段CD必垂直平分線段AB【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中線，三角形的內(nèi)角和定理，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、三角形的中線將三角形的面積平分，故A不符合題意；B、三角形的外角一定大于它的任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故B不符合題意；C、在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，則這個(gè)三角形是直角三角形，故C符合題意；D、若線段AB垂直平分線段CD，而線段CD不一定垂直平分線段AB，故D不符合題意；故選：C．2．如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，BC＝10，AC＝14，則△BCD的周長為（）A．14 B．24 C．10 D．26【分析】依據(jù)DE是△ABC中AB邊的垂直平分線，即可得到AD＝BD，再根據(jù)BC＝10，AC＝14，即可得到△BCE的周長．【解答】解：∵DE是△ABC中AB邊的垂直平分線，∴AD＝BB，又∵BC＝10，AC＝14，∴△BCD的周長＝BC+CD+BD＝BC+CD+AED＝BC+AC＝24，故選：B．3．如圖，∠BAC＝105°，AB＝AC，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．45°【分析】由AB＝AC，∠BAC＝100°，可求得∠B+∠C的度數(shù)，又由MP，NQ分別垂直平分AB，AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP＝BP，AQ＝CQ，繼而求得∠BAP+∠CAQ的度數(shù)，則可求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∵M(jìn)P，NQ分別垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝75°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝30°．故選：C．4．如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC的垂直平分線，直線m為∠ABC的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)，若∠A＝65°，∠ACP＝22°，則∠ABP的度數(shù)是（）A．31° B．22° C．43° D．32°【分析】連接PA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠PCB，根據(jù)角平分線的定義得到∠PBC＝∠ABP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．【解答】解：連接PA，∵直線L為BC的垂直平分線，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵直線PM為∠ABC的角平分線，∴∠PBC＝∠ABP，設(shè)∠PBC＝x，則∠PCB＝∠ABP＝x，∴x+x+x+65°+22°＝180°，解得，x＝31°，故選：A．5．如圖，在Rt△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，則AC＝（）A．3 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，∴DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝6，∴∠DAB＝∠B，∵∠CAD＝4∠B，∴∠CAB＝5∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAB＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，∴AC＝AD＝3，故選：A．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（5，5），點(diǎn)B（1，1），點(diǎn)C（7，1），若點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出點(diǎn)P，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離相等，∴點(diǎn)P是線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），故答案為：（4，2）．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為不重合的兩個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)C到A，B兩點(diǎn)的距離相等，則稱點(diǎn)C是線段AB的“公正點(diǎn)”．特別地，當(dāng)60°≤∠ACB≤180°時(shí)，稱點(diǎn)C是線段AB的“近公正點(diǎn)”．（1）已知A（1，0），B（3，0），在點(diǎn)C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）中，線段AB的“公正點(diǎn)”為點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)E（2，﹣2.3）；（2）已知點(diǎn)M（0，3），作∠OMN＝60°，射線MN交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P是線段MN的“公正點(diǎn)”，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，﹣3）；②若點(diǎn)Q（a，b）是線段MN的“近公正點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍是﹣3≤b≤6．【分析】（1）判斷點(diǎn)C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）在直線x＝2上即可；（2）①畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出答案即可；②得出點(diǎn)Q的兩個(gè)“臨界值”，即b的“臨界值”即可．【解答】解：（1）如圖，A（1，0），B（3，0），線段AB的“公正點(diǎn)”在線段AB的中垂線上．即“公正點(diǎn)”在直線x＝2的直線上，在C（2，0），D（1，2），E（2，﹣2.3），F(xiàn)（0，4）中只有點(diǎn)C、點(diǎn)E在直線x＝2上，故答案為：點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)E（2，﹣2.3）；（2）①如圖，作MN的中垂線交y軸的負(fù)半軸于P1，∵OM＝3，∠OMN＝60°，∴MN＝2OM＝6，ON＝OM＝3，在Rt△P1QM中，MQ＝MN＝3，∠OMN＝60°，∴P1M＝6，∴OP1＝P1M﹣OM＝6﹣3＝3，∴點(diǎn)P1（0，﹣3），故答案為：（0，﹣3）；②如圖，連接P1N，由對稱性可知△MNP1是正三角形，此時(shí)，∠MP1N＝60°，△MNP1是關(guān)于MN的對稱三角形△MNP2是正三角形，此時(shí)P2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，∵點(diǎn)Q（a，b）是線段MN的“近公正點(diǎn)”，∴60°≤∠MQN≤180°，即點(diǎn)Q在線段P1P2上，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P1時(shí)，b＝﹣3，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P2時(shí)，OE＝6，即b＝6，∴b的取值范圍為﹣3≤b≤6，故答案為：﹣3≤b≤6．8．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，求證：BE垂直平分CD．【分析】證明Rt△BDE≌Rt△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED＝EC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明．【解答】證明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．1．（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC＝120°，則∠C的大小為30°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案為：30°．2．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．【分析】過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案為：1．3．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【分析】過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接AD，若△ACD為等腰三角形，則∠ADB的度數(shù)為（）A．80° B．110° C．120° D．80°或110°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，△ACD為等腰三角形，分三種情況分別計(jì)算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵△ACD為等腰三角形，當(dāng)AD＝CD時(shí)，∠C＝∠CAD＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝80°；當(dāng)AD＝AC時(shí)，∠C＝∠ADC＝40°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝140°；當(dāng)CD＝AC時(shí)，∠C＝40°，∴∠ADC＝＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°；故選：D．5．已知某等腰三角形的周長為36，腰長為x，底邊長為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域是（）A．x＝（9＜y＜18） B．y＝36﹣2x（0＜x＜18） C．y＝（0＜y＜18） D．y＝36﹣2x（9＜x＜18）【分析】根據(jù)已知列方程，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系確定定義域即可．【解答】解：∵2x+y＝36，∴y＝36﹣2x，即x＜18，∵兩邊之和大于第三邊，∴x＞9．故選：D．6．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，AD＝6，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若△AED的周長為16，則邊AB的長為（）A．6 B．8 C．10 D．1【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EBD＝∠CBD，根據(jù)平行線的定義得到∠EDB＝∠CBD，等量代換得到∠EBD＝∠EDB，求得BE＝DE，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∵△AED的周長為16，∴AB+AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10，故選：C．7．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于點(diǎn)G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，則△DCG的面積是（）A．10 B．5 C． D．【分析】先由CD＝AE得到，AB的長度，繼而求得DE＝5，從而證明△CDE為等腰三角形，求得△ABC的面積，根據(jù)CE中線的性質(zhì)，求出△BCE的面積，再用△BCE的面積減去△BDE的面積即可求解．【解答】解：∵CE是AB邊上的中線，∴AE＝BE，∵CD＝AE＝5，∴AB＝10，根據(jù)勾股定理得：AD＝＝8，∴△ABC的面積為，∵CE是△ABC的中線，∴S△BCE＝S△ACE＝22，∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，∴，∵DE是△ABD的中線，∴S△BDE＝12，∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，∴DC＝DE，∵DG⊥CE，∴．故選：B．8．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，∠AED＝69°，若點(diǎn)P是等腰三角形ABC的腰AC上的一點(diǎn)，則當(dāng)△EDP為等腰三角形時(shí)，∠EDP的度數(shù)是100°或142°．【分析】過D作DH⊥AC，DG⊥AB，易證Rt△DEG≌Rt△DP2H，Rt△DEG≌Rt△DP1H，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和360°即可得到答案．【解答】解：連接AD，∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵點(diǎn)P是等腰△ABC的腰AC上的一點(diǎn)，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，過D作DH⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DH，在Rt△DEG與Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝69°，∵∠BAC＝80°，∴∠EDP2＝142°，同理可得Rt△DEG≌Rt△DP1H，∴∠EDG＝∠P1DH，∴∠EDP1＝∠GDH＝100°，故答案為：100°或142°，9．如圖，玩具車從A點(diǎn)出發(fā)，向西走了a米，到達(dá)B點(diǎn)，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，前進(jìn)b米，到達(dá)C點(diǎn)，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，前進(jìn)c米，到達(dá)D點(diǎn)，D點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的正北方向，則a、b、c之間的關(guān)系為（）A．a(chǎn)+c＝b B．2a＝b+c C．4c＝a+b D．a(chǎn)＝b﹣c【分析】連接AD，延長CD，BA交于E點(diǎn)，則AD⊥AB，通過證明△BCE為等邊三角形可得BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，即可求得∠ADE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE＝2AE，進(jìn)而可得2（b﹣a）+c＝b，化簡即可求解．【解答】解：連接AD，延長CD，BA交于E點(diǎn)，則AD⊥AB，由題意得∠ABC＝∠BCD＝60°，∴△BCE為等邊三角形，∴BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，∵AD⊥AB，∴∠EAD＝90°，∴∠ADE＝∠EAD﹣∠E＝30°，∴DE＝2AE，∵CD＝c，AB＝a，∴2（b﹣a）+c＝b，即2a＝b+c，故選：B．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（5，5），點(diǎn)B（1，1），點(diǎn)C（7，1），若點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2）．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出點(diǎn)P，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離相等，∴點(diǎn)P是線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），故答案為：（4，2）．11．（2022?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是6．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，進(jìn)一步即可求出△ADC的周長．【解答】解：∵邊BC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周長為AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案為：6．12．如圖，等邊△ABD和等邊△BCE中，A、B、C三點(diǎn)共線，AE和CD相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證△ABE≌△DBC，可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判斷④選項(xiàng)；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，進(jìn)一步可得BF平分∠AFC，可判斷②選項(xiàng)；在AE上截取AI＝DF，連接BI，易證△ABI≌△DBF（SAS），再證明△BFI是等邊三角形，得FI＝BF，進(jìn)一步可判斷③選項(xiàng)．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正確；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正確；作BG⊥CD于點(diǎn)G，BH⊥AE于點(diǎn)H，如圖所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD?BG＝AE?BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴點(diǎn)B在∠AFC的平分線上，∴BF平分∠AFC，故②正確；在AE上截取AI＝DF，連接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等邊三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正確，故選：D．13．如圖，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AG、BD相交于點(diǎn)F，BE⊥AG交AG的延長線于點(diǎn)E，連接CE，下列結(jié)論中正確的有（）①若∠BAD＝70°，則∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，由外角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求∠EBC＝5°，故①正確；同理可求∠BFE＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可得BF＝2EF，故②正確；由“ASA”可證△ABE≌△AHE，可得BE＝EH，由直角三角形的性質(zhì)可得EC≠BE，故③錯(cuò)誤；由“SAS”可證△BFN≌△BFG，可得∠BFN＝∠BFG＝60°，由“ASA”可證△AFD≌△AFN，可得AD＝AN，即AB＝BG+AD，故④正確；由角平分線的性質(zhì)可得NQ＝NP，由全等三角形的性質(zhì)可得S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，可得＝，故⑤正確，即可求解．【解答】解：①∵∠ACB＝60°，∠BAD＝70°，∴∠ABC＝50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝25°，∠BAG＝∠CAG＝35°，∴∠BFE＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴∠EBC＝5°，故①正確；②∵ACB＝60°，∴∠BAD+∠ABC＝120°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∠BAG＝∠CAG＝∠BAC，∴∠BFE＝∠ABD+∠BAG＝（∠ABC+∠BAC）＝60°，∵BE⊥AG，∴∠FBE＝30°，∴BF＝2EF，故②正確；③如圖，延長BE，AC交于點(diǎn)H，∵∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，∠AEB＝∠AEH＝90°，∴△ABE≌△AHE（ASA），∴BE＝EH，∵BC≠AC，∴EC≠BE，故③錯(cuò)誤；④如圖，在AB上截取BN＝BG，連接NF，∵BN＝BG，∠ABD＝∠CBD，BF＝BF，∴△BFN≌△BFG（SAS），∴∠BFN＝∠BFG＝60°，∴∠AFD＝∠AFN＝60°，又∵∠BAG＝∠CAG，AF＝AF，∴△AFD≌△AFN（ASA），∴AD＝AN，∴AB＝BG+AD，故④正確；⑤如圖，過點(diǎn)N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，∵∠AFN＝∠BFN＝60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，∴NP＝NQ，∵S△AFN＝×AF×NQ，S△BFN＝×BF×NP，∴＝，∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，∴S△BFN＝S△BFG，S△AFD＝S△AFN，∴＝，故⑤正確，故選：B．14．（2022?青海）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊．求證：BD＝CE；（2）解決問題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【分析】（1）根據(jù)△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，證明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；（2）根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，從而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：如圖：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴DE＝2CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．1．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝3．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD＝DE，然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC?CD+AB?DE＝AC?BC，即×6?CD+×10?CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案為：3．2．（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根據(jù)題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長．【解答】解：由題意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周長是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周長是19，故選：C．3．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是40°．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，從而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案為：40°．4．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝5，故選：C．5．（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路AB∥CD，道路AB與AE的夾角∠BAE＝50°．城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE，要求CF＝EF，則∠E的度數(shù)為（）A．23° B．25° C．27° D．30°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠E，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠E的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故選：B．6．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．49° D．51°【分析】利用等邊對等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故選：A．7．（2022?宜賓）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的點(diǎn)，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F，那么四邊形AEDF的周長是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明?AFDE的周長等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴?AFDE的周長＝AB+AC＝5+5＝10．故選：B．8．（2022?天津）如圖，△OAB的頂點(diǎn)O（0，0），頂點(diǎn)A，B分別在第一、四象限，且AB⊥x軸，若AB＝6，OA＝OB＝5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），故選：D．9．（2022?泰安）如圖，l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行線的性質(zhì)得到∠BEA＝95°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故選：A．10．（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)題意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故選：B．11．（2022?綿陽）下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是（）A．是軸對稱圖形 B．對稱軸的交點(diǎn)是其重心 C．是中心對稱圖形 D．繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的定義，中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：等邊三角形是軸對稱圖形，每條邊的高線所在的直線是其對稱軸，故A選項(xiàng)不符合題意；三條高線的交點(diǎn)為等邊三角形的重心，∴對稱軸的交點(diǎn)是其重心，故B選項(xiàng)不符合題意；等邊三角形不是中心對稱圖形，故C選項(xiàng)符合題意；等邊三角形繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合，故D選項(xiàng)不符合題意，故選：C．12．（2022?廣安）若（a﹣3）2+＝0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為11或13．【分析】先求a，b．再求第三邊c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，設(shè)三角形的第三邊為c，當(dāng)a＝c＝3時(shí)，三角形的周長＝a+b+c＝3+5+3＝11，當(dāng)b＝c＝5時(shí)，三角形的周長＝3+5+5＝13，故答案為：11或13．13．（2022?蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．【分析】由等腰△ABC是“倍長三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的長為6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍長三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，則△ABC三邊分別是6，6，3，符合題意，∴腰AB的長為6；若BC＝3＝2AB，則AB＝1.5，△ABC三邊分別是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰AB的長是6，故答案為：6．14．（2022?云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，則△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．【分析】分∠A是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【解答】解：當(dāng)∠A是頂角時(shí)，△ABC的頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A是底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)為180°﹣2×40°＝100°；綜上，△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°．故答案為：40°或100°．15．（2022?鞍山）如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠3＝80°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故選：A．16．（2022?黑龍江）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD＝1.5，則PE的長是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，證明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位線定理可得AD的長，由三角形ABC的面積是24，得BC的長，最后由勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴G是AD的中點(diǎn)，∴EG＝BD，∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面積是24，∴?BC?AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故選：A．17．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．18．（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．【分析】根據(jù)SAS證△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，證△APB∽△BFE，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周長為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案為：．19．（2022?鄂爾多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是AE＝CF，位置關(guān)系是AE⊥CF；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．【分析】（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝∠F，則可得出結(jié)論；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝＝＝6，∴EM＝GM+EG＝6+6．1．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知等腰△ABC，∠A的相鄰?fù)饨鞘?30°，則這個(gè)三角形的頂角為（）A．65°或80° B．80° C．50°或80° D．50°【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠A，再分∠A是頂角與底角兩種情況討論求解即可．【解答】解：∵∠A的相鄰?fù)饨鞘?30°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，①∠A是頂角時(shí)，頂角為50°，②∠A是底角時(shí)，頂角為180°﹣50°×2＝80°，所以，這個(gè)三角形的頂角為50°或80°．故選：C．2．如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°，底邊BC＝，則腰長AB為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，故在△ABD中，可以求出AB的值．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴BD＝，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABD中，設(shè)AD＝x，則AB＝2x，根據(jù)勾股定理，x2+（）2＝（2x）2，解得，x＝，所以AB＝2×＝．故選：C．3．（2022?威遠(yuǎn)縣校級二模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x﹣3|+＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不對【分析】先利用絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性可得x﹣3＝0，y﹣4＝0，從而可得x＝3，y＝4，然后分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為3時(shí)；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3，底邊長為4時(shí)；分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，∴x＝3，y＝4，分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為3時(shí)，∴等腰三角形的周長＝4+4+3＝11；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為3，底邊長為4時(shí)，∴等腰三角形的周長＝3+3+4＝10；綜上所述：等腰三角形的周長是10或11，故選：C．4．（2022?建湖縣一模）如圖，每個(gè)小方格的邊長為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩圓一線”畫圖找點(diǎn)即可．【解答】解：如圖，C點(diǎn)與P、Q、R重合時(shí)，均滿足△ABC是等腰三角形，故選：C．5．（2022?威寧縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為BC邊的中點(diǎn)，CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則∠AFC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠B＝40°，再由CE平分∠ACB，可得∠DCF＝20°，然后根據(jù)D為BC邊的中點(diǎn)，可得∠ADC＝90°再利用三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCF＝20°，∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴∠AFC＝∠DCF+∠ADC＝110°．故選：C．6．（2022?安陽縣一模）如圖，在△PRQ中，M是線段PQ的中點(diǎn)，PS平分∠RPQ交RQ于點(diǎn)S．ST∥PR交PQ于點(diǎn)T，PQ＝10，MT＝1．則PR的長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)已知可得QT＝4，PT＝6，再根據(jù)角平分線和平行兩個(gè)條件證明△PTS是等腰三角形，從而求出ST的長，最后證明△QST∽△QRP，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵M(jìn)是線段PQ的中點(diǎn)，∴PM＝MQ＝PQ＝5，∵M(jìn)T＝1，∴QT＝MQ﹣MT＝4，PT＝PM+MT＝6，∵PS平分∠RPQ，∴∠RPS＝∠SPQ，∵ST∥PR，∴∠RPS＝∠PST，∴∠SPQ＝∠PST，∴PT＝TS＝6，∵ST∥PR，∴∠R＝∠TSQ，∠RPQ＝∠STQ，∴△QST∽△QRP，∴＝，∴＝，∴