專題09圓中的最值模型之阿氏圓模型（原卷版）

專題09圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊恳阎矫嫔蟽牲c(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________．例2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．例3．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長為2，銳角大小為，與相切于點(diǎn)E，在上任取一點(diǎn)P，則的最小值為___________．例4.（2023·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對(duì)相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請(qǐng)把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD取到最小值請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請(qǐng)?jiān)趫D3中添加相應(yīng)的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．例6．（2022·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值和的最大值．的最小值例7．（2022·廣東·廣州市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則4PD+2PC的最小值為_______．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．2．（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，，點(diǎn)C與點(diǎn)D在的同側(cè)，且，，，，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．3．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．4．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

5．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．6．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．7．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為．8．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．9．如圖，扇形中，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．（2023·四川成都·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______16．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考二模）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列材料：如圖①，給定一個(gè)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)A是不同于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A的反演點(diǎn)定義為射線上一點(diǎn)，滿足．顯然點(diǎn)A也是點(diǎn)的反演點(diǎn)．即點(diǎn)A與點(diǎn)互為反演點(diǎn)，點(diǎn)O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點(diǎn)A到點(diǎn)的變換或從點(diǎn)到點(diǎn)A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B；C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；若C關(guān)于的反演點(diǎn)分別為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請(qǐng)根據(jù)上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（1）點(diǎn)D關(guān)于的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點(diǎn)（點(diǎn)O除外）關(guān)于的反演點(diǎn)組成的圖形具有的特征是__________________．17．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．18．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋AD的最小值．19．（2022·廣東·統(tǒng)考二模）（1）初步研究：如圖1，在△