第2章直線與圓的位置關(guān)系章末重難點檢測卷

第2章直線與圓的位置關(guān)系章末重難點檢測卷注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）已知的半徑為3，圓心O到直線的距離為2，則直線L與的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】將圓心到直線距離與半徑比較，即可解答．【詳解】解：∵的半徑為3，圓心O到直線的距離為2，，∴直線L與的位置關(guān)系是相交，故選：A．【點睛】本題主要考查了圓與直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握圓心到直線距離為d，半徑為r，當(dāng)時，直線與圓相離；當(dāng)時，直線與圓相切；當(dāng)時，直線與圓相交．2．（2022上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，若的半徑為6，點到某條直線的距離為6，則這條直線可能是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵的半徑為6，點O到某條直線的距離為6，∴這條直線與圓相切，∴這條直線可能是；故選：B．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記：當(dāng)?shù)陌霃綖閞，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和相交，②直線l和相切，③直線l和相離．3．（2022上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）的周長為36，面積為36，則該三角形的內(nèi)切圓半徑是（）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】B【分析】設(shè)這個三角形的內(nèi)切圓半徑是r，再根據(jù)三角形的面積公式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這個三角形的內(nèi)切圓半徑是r，∵三角形面積為36，周長為36，∴，解得．故選：B．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟知三角形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021下·福建龍巖·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，、切于點、，直線切于點，交于，交于點，若，則的周長是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得到，結(jié)合題意，即可求得的周長．【詳解】是的切線，．的周長．故選：C．【點睛】本題考查了切線長定理，理解切線長定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，是的弦，是的切線，A為切點，經(jīng)過圓心．若，則的大小等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得到，則由三角形內(nèi)角和定理得到．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴，故選C．6．（2023下·浙江嘉興·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，點P是直徑的延長線上一點，過點P作的切線，C為切點．連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，得到的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：∵是的切線∴，∵∴由圓周角定理可得：故選：C【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．7．（2023下·浙江寧波·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點D為的內(nèi)心，過點D作一條平分面積的直線，那么這條直線分成的兩個圖形的周長比是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，過點作于點，作于點，作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：也是一條角平分線，為的內(nèi)心，則有，根據(jù)平分的面積以此來列等式即可求解．【詳解】解：連接，過點作于點，作于點，作于點，

的兩條內(nèi)角平分線相交于點，也是的角平分線，則點為的內(nèi)心，，設(shè)平分的面積，則，，，，，，，，，，，即這條直線分成的兩個圖形的周長比是：．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握三角形中三條角平分線的交點為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)校考三模）如圖，在中，D是上一點，以為直徑的半圓O恰好切于點B．連結(jié)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切線的性質(zhì)求得的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，

∵是半圓O的切線，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，掌握“圓的切線垂直于過切點的半徑”是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，過外一點P引的兩條切線，切點分別是A、B，交于點C，點D是優(yōu)弧上不與點A、B重合的一個動點，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)定理及全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，利用圓周角定理即可求解，結(jié)合圖形，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．【詳解】解；如圖，連接，∵是圓O的切線，∴，，由四邊形的內(nèi)角和定理，得，在和中，，∴，∴，∴，故選D．10．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在銳角中，，，以為弦作，交于點D，與交于點E，與相切，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的結(jié)論有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理即可求出，判斷①即可；根據(jù)切線性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的判定即可判斷②；用反證法推出，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判定假設(shè)不成立，即可判斷③；求出的度數(shù)得出，再加上，根據(jù)相似三角形的判定即可推出④，過作于，設(shè)，由勾股定理求出，代入求出即可．【詳解】解：∵，∴由圓周角定理得：，則，∴①正確；∵切于，∴，∴，∴，∴②正確；假如，因為，所以，根據(jù)垂徑定理得：，則，∵已證出，∴此時不存在，∴③錯誤；∵，，∴，即，∵，∴，∴④正確；

過作于，則，∵，∴，∴，設(shè)則由勾股定理得：，∵，又∵，，∴，∴，在中，∴，∴⑤正確；故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，但是一道難度偏大的題目．二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11．（2021上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）已知⊙O的半徑為，點在⊙O外，則（填＞或＝，＜）．【答案】＞【分析】根據(jù)點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑，即可．【詳解】∵⊙O的半徑為，點在⊙O外∴故答案為：．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)⊙O的半徑為，點在⊙O外；點在⊙O上；點在⊙O內(nèi)．12．（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知⊙O的直徑為5，設(shè)圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)直線l與⊙O相交時，d的取值范圍是．【答案】0≤d＜2.5【分析】根據(jù)直線和相交可知，，即可得到的取值范圍．【詳解】解：∵⊙O的直徑為5，∴⊙O的半徑是2.5，∵直線l與⊙O相交，∴圓心O到直線l的距離d的取值范圍是0≤d＜2.5，故答案為：0≤d＜2.5．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是記住直線和相交，；直線和相切，；直線和相離，．13．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期中）已知的半徑是，若圓心O到直線的距離是，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】相離【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與的位置關(guān)系即可解答，掌握判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：已知的半徑為，圓心O到直線的距離是，即半徑小于圓心到直線的距離，故直線與的位置關(guān)系為相離，故答案為：相離．14．（2023·浙江杭州·校考二模）如圖，是的直徑，點P是延長線上的一點，是的切線，C為切點．若，，則．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)正切的定義以及勾股定理進(jìn)行計算，得到答案．【詳解】解：連接，

∵是的切線，∴，在中，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、正切的定義、勾股定理等知識，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰中，，點P在以斜邊為直徑的半圓上，M為的中點．當(dāng)點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是

．

【答案】【分析】取的中點O、的中點E、的中點F，連結(jié)，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，則，于是根據(jù)圓周角定理得到點M在以為直徑的圓上，由于點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，則利用四邊形為正方形得到，所以M點的路徑為以為直徑的半圓，然后根據(jù)弧長公式計算點M運動的路徑長．【詳解】解∶如圖，取的中點O、的中點E、的中點F，連接，則，

∵在等腰中，，∴，∴．∵M(jìn)為的中點，∵，∴，∴點M在以為直徑的圓上，點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴M點的路徑為以為直徑的半圓，，∴點M運動的路徑長．故答案為．【點睛】本題考查了軌跡：點按一定規(guī)律運動所形成的圖形為點運動的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點的軌跡為以為直徑的半圓．16．（2021上·浙江臺州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，經(jīng)過點C且與邊相切的動圓與、分別相交于點P、Q，則線段長度的最小值是．

【答案】//【分析】設(shè)圓心為點F，圓F與的切點為D，連接、、，則有，由勾股定理的逆定理可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，又由，為圓F的直徑，可得點F在直角三角形的斜邊的高上時，有最小值，即為圓F的直徑，再利用的面積即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為點F，圓F與的切點為D，連接、、，∵圓F與相切，∴，∵在中，，即，∴，∴，又∵，∴，∵，為圓F的直徑，∴當(dāng)點F在直角三角形的斜邊的高上時，有最小值，即為圓F的直徑，∵，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的定理、三角形的三邊關(guān)系及三角形的面積公式，根據(jù)題意可知當(dāng)點F在直角三角形的斜邊的高上時，有最小值是解題的關(guān)鍵．三、解答題(本大題共7小題,共66分)17．（2021上·九年級課時練習(xí)）如圖，中，，點O是的內(nèi)心．求的度數(shù)．【答案】117.5°【分析】由點是的內(nèi)心，，，根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，即可求得與的度數(shù)，又由三角形內(nèi)角和定理，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：點是的內(nèi)心，，，，，．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點．18．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，已知是的直徑，點D為延長線上的一點，點A為圓上一點，且，．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由于，于是得到；（2）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，由是的直徑，得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）連接，∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴OA⊥AD，∴是的切線．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江·一模）如圖，為的直徑，是延長線上一點，且為的切線，為切點，連結(jié)．

(1)求的長（結(jié)果保留）．(2)求證：為等腰三角形．【答案】(1)；(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，再利用弧長公式即可解答；（2）利用圓周角的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的判定即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵是的切線，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為；

（2）證明：∵，，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考期中）如圖，是的直徑，點是劣弧中點，與相交于點．連接，，與的延長線相交于點．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，請直接寫出．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及等腰三角形轉(zhuǎn)換得，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，以及平行線的判定和性質(zhì)，推論轉(zhuǎn)化即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)垂徑定理得到點為的中點，設(shè)，則，利用勾股定理列方程計算得出，再利用中位線的性質(zhì)即可求出的長．【詳解】（1）連接，

∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）∵點是中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）如圖：設(shè)交于點H，

∵，，∴，∴；設(shè)，則為，根據(jù)勾股定理，，解得：，∴，∵是的中位線，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了圓的切線的判定定理，直徑所對的圓周角是直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理，勾股定理等知識，利用同弧或等弧所對的圓周角相等以及勾股定理列出方程，是解決問題的關(guān)鍵．21．（2023上·浙江金華·九年級?？计谥校﹫D1是修正帶實物圖，圖2是其示意圖，使用時上的白色修正物隨透明條（載體）傳送到點O處進(jìn)行修正，留下來的透明條傳到收集，即透明條的運動路徑為：，假設(shè)在同一直線上，，于點D，，P為中點．

（1）點B到的距離為．（2）若的半徑為，當(dāng)留下的透明條從點O出發(fā)，第一次傳送到上某點，且點B到該點距離最小時，最多可以擦除的長度為．【答案】；．【分析】（1）過點B作交的延長線于H，判斷出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理即可求出答案；（2）過點A作于F，同（1）的方法求出，再判斷出，進(jìn)而求出，再求出，，最后判斷出則點E到點B的距離最小，即可求出答案．【詳解】解：如圖（2），（1）過點B作交的延長線于H，，，，，，，，，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，，∴點B到的距離為，故答案為：；（2）過點A作于F，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，，在中，，，，，，，∵點P是的中點，，由題意得，切于N，連接，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，，記線段與的交點為E，則點E到點B的距離最小，，，∴當(dāng)點B到該點距離最小時，最多可以擦除的長度為：故答案為：．

【點睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，勾股定理，求出是解本題的關(guān)鍵．22．（2023上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，D是上一動點，連接，以為直徑的交于點E，連接并延長交于點F，交于點G，連接．(1)求證：點B在上．(2)當(dāng)點D移動到使時，求的值．(3)求證：．【答案】(1)見詳解(2)(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)題意得，，即可證明；（2）連接，和，由題意得，求得，有，在中，，即可求得答案；（3）分別作，交于點，連結(jié)，由題意得，，根據(jù)同弧所對圓周角相等得，有，由，得，由，得，則，得，，由題意得，，得，有，在中，有成立，即可證得結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴，又∵，∴，∴點B在上．（2）連接，如圖，∵為的直徑，，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，在中，，∵，∴，（3）分別作，交于點，連結(jié)，如圖，∵，，∴，∵，∴，又∵∴，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．23．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，是內(nèi)接三角形，．點是弧上一點（不與重合），連結(jié)，過點作平行線交延長線于點，請完成以下幾個問題：

(1)求證：；(2)若，①求的半徑；②當(dāng)是等腰三角形時，求．【答案】(1)證明見詳解(2)①的半徑是；②的長為或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可求解；（2）①如圖所示，連接，并延長交于點，連接，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解；②分類討論：當(dāng)時；當(dāng)時，如圖所示，連接交于點，連接，運用全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：①如圖