專題01 平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（解析版）

專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，由，即可得，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得，，又由，即可求得與互余．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質(zhì)與垂直的定義．注意兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．掌握輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個(gè)景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每?jī)蓚€(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，則，由平行線的性質(zhì)可得，，由此進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解此題的關(guān)鍵．例3．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.例4．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)校考期中）如圖，，：：：：：：，若，則

【答案】【分析】過(guò)作，過(guò)作，利用平行線的性質(zhì)可得，，，，然后設(shè)出未知數(shù)，利用方程思想解決問(wèn)題即可．【詳解】解：過(guò)作，過(guò)作，

，，，，，，，：：：：：：，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．例5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

【答案】/度【分析】過(guò)作，過(guò)作，可得，，，，，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)作，過(guò)作，

，，，，，，設(shè)，，，，和分別平分和，，，，，，，，，解得：，；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．例6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進(jìn)一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平角的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．例7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加常用輔助線（即過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線），一般而言，有幾個(gè)“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問(wèn)題；過(guò)點(diǎn)、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過(guò)點(diǎn)、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．例8．（2023下·上?！て吣昙?jí)校考期中）已知，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例9．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┮阎本€與直線，分別交于點(diǎn)F，E，點(diǎn)H在直線上．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，求證：；(2)如圖2，平分，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且平分．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，平分，當(dāng)H在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)F重合）時(shí)，平分交于點(diǎn)N，于點(diǎn)Q，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或，見(jiàn)解析【分析】（1）由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得，再由三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即可證明；（2）同（1）的證明，得出可求得結(jié)論；（3）點(diǎn)H的位置不同，結(jié)論不同，要進(jìn)行分類．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）解：由（1）可得，，∵平分，平分，∴，，∴，（3）解：①如圖3，，理由如下：，∵，∴，∴，∵，∴．②如圖，，理由如下：

，∵，∴，∴，∵，∴．綜上，可得當(dāng)H在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)F重合）時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，的直角頂點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)，求出．【詳解】解：∵中，，∴，∵，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．（2023下·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，，為直角，則的度數(shù)（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°【答案】D【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，可證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)為直角可得，可求出的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，

∵，∴，∴，，∵，為直角，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，正確作出輔助線，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．3．（2022上·重慶沙坪壩·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連接，若，．則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，，，，判斷與的大小關(guān)系（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形銳角互余即可求解；【詳解】過(guò)C作于H，，，H、C、D三點(diǎn)共線，則，∵，∴，，；故選：C

【點(diǎn)睛】該題考查了平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是將角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換5．（2023下·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則，，的度數(shù)之比可能為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)的頂點(diǎn)作，可得，利用平行線的性質(zhì)求出，，可得，結(jié)合選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：過(guò)的頂點(diǎn)作，∵，∴，∴，，∴，∴，，的度數(shù)之比可能為，故C正確．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知表示兩幢大樓，現(xiàn)從點(diǎn)分別對(duì)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，俯角分別為和，若點(diǎn)在同一條直線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】確定點(diǎn)對(duì)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)的俯角即可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得：

由水平線互相平行可得：∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查俯角的定義：朝下看時(shí)，視線與水平面夾角為俯角．掌握相關(guān)定義即可求解．7．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，于C，E是上一點(diǎn)，，，，，則與與之間的數(shù)量關(guān)系為(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】利用可以證明，，從而得到，再由，，推出，從而得到，繼而選出選項(xiàng).【詳解】解：過(guò)點(diǎn)H作

∵，∴∵，∴∴∴同理可得：又∵，∴∵，，∴，∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知船在觀測(cè)站的北偏東方向上，且在觀測(cè)站的北偏西方向上，那么的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如圖所示：

，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2023下·河南周口·七年級(jí)期中）如圖，，，若，則．【答案】/26度【分析】過(guò)點(diǎn)作，則有，可得，，再由垂直可得，可求得，即可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如圖，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．10．（2023下·山東棗莊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，，則．

【答案】/度【分析】過(guò)點(diǎn)作，進(jìn)而可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作

∵，∴∴∴∴∵，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·河北廊坊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，則．

【答案】/度【分析】連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而得出，則，即可求解．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．12．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，，，則．【答案】【分析】過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．【詳解】解：過(guò)E點(diǎn)作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)，分別在直線，上，若，，則°．

【答案】40【分析】由題意可得，，則有，由平行線的性質(zhì)可求得，即可求．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，∵，，．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．14．（2023下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，的平分線交直線于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為．

【答案】/19度【分析】過(guò)點(diǎn)B作，利用平行線的性質(zhì)求得，從而得到，再運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得到，繼而求出，最后利用平行線的性質(zhì)得到．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作，∵，，∴∴，

又∵，∴，∴，又∵是的平分線，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平分線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·四川成都·八年級(jí)校考期末）太陽(yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈以及其他很多物品都與如圖所示的曲線有關(guān)、如圖，從點(diǎn)O照射到曲線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出．圖中如果，，則，．【答案】/40度/115度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，然后計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得．故答案為：；．16．（2023下·湖南湘西·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，于點(diǎn)C，E是上一點(diǎn)，，，平分，平分，若，則的度數(shù)為．

【答案】/70度【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，根據(jù)外角的定義、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到，，求出，則．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，

，，，，，平分，平分，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂直的定義，角平分線的定義，三角形外角的定義和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．17．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）完成下面的證明：如圖所示，，求證：．證明：過(guò)E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵_(dá)_____，∴．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，過(guò)E作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可，熟記“平行于同一直線的兩直線平行”、“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】過(guò)E作，∵，∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵（已作），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵，∴．故答案為：；平行于同一直線的兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；．18．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）在圖中，若，又得到什么結(jié)論？【答案】【分析】根據(jù)圖①可得，根據(jù)圖②可得，即可根據(jù)規(guī)律得出題目的結(jié)論．【詳解】解：①如圖：過(guò)點(diǎn)E作，，,，，；②如圖，過(guò)E點(diǎn)作，過(guò)F點(diǎn)作過(guò)G點(diǎn)作，，，，，即;③如圖：，根據(jù)以上規(guī)律可得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2023下·貴州遵義·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，已知，，求證：(1)(2)

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，得到，由平行線的性質(zhì)即可得到；（2）由（1）知，再根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，由平行線的性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；（2）證明：由（1）知，，，，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理，是解此題的關(guān)鍵．20．（2022下·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答(1)如圖1，平分，平分，且．請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，且，當(dāng)直角頂點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，，為線段上定點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與有何數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并加以說(shuō)明．

【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，推出，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，再利用外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得，再利用外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：平分，平分，，，又，，；（2），理由如下：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，為的一個(gè)外角，，；（3），理由如下：如圖，，，是的一個(gè)外角，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．21．（2023下·廣東中山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：直線，點(diǎn)、分別在直線，上，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)如圖1，猜想，，的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．(2)利用（）的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2，已知，平分，平分，，求的度數(shù)．

【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)題意和平行線的判定得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，根據(jù)，即可得；（2）根據(jù)題意得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，根據(jù)得，即可得，進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1），證明如下：證明：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)E作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形找到角之間的和差關(guān)系，熟練掌握平行線的性質(zhì)．22．（2023下·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，是位于，之間的一點(diǎn)，現(xiàn)作如下操作：第一次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第二次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第三次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若，直接寫出的度數(shù)（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先過(guò)作，根據(jù)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到；（2）先根據(jù)和的平分線交點(diǎn)為，運(yùn)用（1）中的結(jié)論，得出；同理可得；（3）根據(jù)和的平分線，交點(diǎn)為，得出；根據(jù)和的平分線，交點(diǎn)為，得出；據(jù)此得到規(guī)律，最后求得的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)作，

，，，，，；（2），理由如下：如圖2，和的平分線交點(diǎn)為，由（1）可得，；和的平分線交點(diǎn)為，由（1）可得，；（3）如圖2，和的平分線交點(diǎn)為，由（1）可得，；和的平分線，交點(diǎn)為，；以此類推，，當(dāng)度時(shí)，等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的運(yùn)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，解題時(shí)注意：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．23．（2023下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，已知直線，線段在直線a上運(yùn)動(dòng)，C為直線b上一定點(diǎn)，D為直線a，b之間一定點(diǎn)，E為直線b上C點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)．（本題中的角均為小于的角）

(1)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，若與互余，求的度數(shù)；(2)在線段在直線a上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，的平分線交直線a于點(diǎn)F，G為直線a上點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）在左邊作，可證得，求解即可；（2）在左邊作，根據(jù)（1）的思路可證得；（3）在左邊作，利用（2）結(jié)論，再推理即可．【詳解】（1）在左邊作，則

，∵，∴，∴,∵，∴，∵與互余，∴（2）在左邊作，則

，∵，∴，∴,∵，∴;（3）在左邊作，則，，

，∵，∴，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵的平分線，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．（2023下·安徽滁州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依