專題04 平行線中的拐點模型之羊角模型（解析版）

專題04平行線中的拐點模型之羊角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（羊角模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·湖北·八年級?？计谀┤鐖D，，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，再根據(jù)可得，從而解決問題．【詳解】

∵，∴．∵，∴．故選：C【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023下·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）補全下列證明過程：已知：如圖，求證：．證明：如圖，作射線，使，

（_______________）又（________________）（_________________）即∴（_________________）又（__________________）【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】證明：如圖，作射線，使，

（兩直線平行內(nèi)錯角相等），又（已知），（等量代換），即，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），又，（平行于同一直線的兩直線平行）．【點睛】本題考查了平行直線的性質(zhì)與判定，平行線公里推論的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)．例3．（2023上·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，如果，求的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．根據(jù)可得，又根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，從而．【詳解】∵，∴，∵，，∴．故選：B例4．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）如圖，，平分，，已知，則度．【答案】115【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，．如圖所示，連接，過點C作，先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明，再由平行線的性質(zhì)證明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根據(jù)，推出，再由，推出，即．【詳解】解：如圖所示，連接，過點C作，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．例5．（2023上·福建三明·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，請通過度量、觀察、分析等手段，猜測圖1、圖2、圖3中之間的大小關(guān)系，用等式表示出來，再對圖3中的結(jié)論加以證明．

【答案】圖1：；圖2：；圖3：；見解析．【分析】利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)進行分析即可．【詳解】解：通過度量可知：圖1：；圖2：；圖3：．證明：延長，交于點F，如圖所示，

∵，∴，∵是的一個外角，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．例6．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點E，F(xiàn)分別為直線上的一點．

(1)如圖1，點G在直線之間，且．直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；(2)如圖2，點G在同旁．直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；(3)如圖3，點G在同旁，的平分線與的平分線交于點H．用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）如圖所示，過點G作，則，由平行線的性質(zhì)可得，再由垂直的定義得到，由此即可得到結(jié)論；（2）如圖所示，過點G作，則，由平行線的性質(zhì)可得，再由角度之間的關(guān)系即可得到；（3）同理可得，由角平分線的定義推出，由此即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點G作，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；

（2）解：如圖所示，過點G作，∵，∴，∴，∵，∴（3）解：，證明如下：同理可得，∵的平分線與的平分線交于點H，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023下·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，點B在的邊的延長線上，，若，，則的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的外角進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴；故選C【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．2．（2023下·云南昆明·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，則（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求出的度數(shù)，根據(jù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，在中，，，，故選A．【點睛】本題考查的是三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．在解答時，要結(jié)合圖形，正確運用平行線的性質(zhì)．3．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖直線，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，進而根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023上·云南昭通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形外角的定義及性質(zhì)可得，再由平行線的性質(zhì)可得．【詳解】解：，，，，，故選：A．【點睛】本題考查三角形外角的定義及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解此題的關(guān)鍵．5．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，則與一定滿足的關(guān)系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用等量代換即可解答．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·四川瀘州·七年級?？计谀┤鐖D，在線段的延長線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理可判斷①；由平行線的性質(zhì)得到，等量代換得到，可判斷②；根據(jù)的余角比大，又，由此列方程得到，可判斷③；設(shè)，，得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論，可判斷④．【詳解】解：∵，，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴平分，故②正確；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③錯誤；設(shè)，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯誤，∴正確結(jié)論的個數(shù)有2個．故選：B．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，余角的定義，正確識別圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則°．【答案】20【分析】運用平行線的性質(zhì)，三角形外角定理求解．【詳解】解：∵，∴∴∵∴故答案為：20．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角定理，觀察圖形，理解角之間的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若，，則．

【答案】/50度【分析】設(shè)與交于點，利用三角形外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：設(shè)與交于點，如下圖：

利用三角形外角的性質(zhì)可得∵∴∴故答案為：【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．9．（2023上·黑龍江大慶·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，，，則．

【答案】/16度【分析】由平行線的性質(zhì)可求得，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可求得．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．10．（2023上·河南周口·八年級校考階段練習(xí)）如圖，，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/39度【分析】根據(jù)：兩直線平行，同位角相等，可得的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．理解和掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，，則．以上結(jié)論正確的是．

【答案】②③④【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論;③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出;④先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷.【詳解】解：①過點E作直線，∵，∴，∴，∴，故本小題錯誤；②過點E作直線，∵，∴，∴，∴，即，故本小題正確；③過點E作直線，∵，∴，∴，∴，即，故本小題正確；④∵是的外角，∴，∵，∴，即，故本小題正確，

故答案為：②③④．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.12．（2023上·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數(shù)為．

【答案】/68度【分析】如圖，延長交于M．由題意設(shè)，．構(gòu)建方程組證明即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交于M．由題意設(shè)，．

則有，得：，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟悉基本圖形，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題．13．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，已知，點為上一點，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．

【答案】【分析】（1）延長，交與點H，令和相交于點I，根據(jù)三角形的外角定理得出，易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求出，進而求出，最后根據(jù)三角形的外角定理得出，即可求解；（2）設(shè)，則，根據(jù)角平分線的定義的得出，則，進而得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，列出等式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）延長，交與點H，令和相交于點I，∵，，∴，∵，，∴，∵，

∴，，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：20°；

（2）設(shè)，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，

∵，∴，∵，，，∴，即，整理得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補；三角形的內(nèi)角和為；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．14．（2023下·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，．若，試求的度數(shù)．

【答案】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的外角性質(zhì)可以得到解題即可；【詳解】解：（1）∵，，∴，又∵，，∴；【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．15．（2023下·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)，三角形的外角定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查平行線的判定及性質(zhì)，三角形的外角定理，熟練運用平行線的判定及性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．16．（2023下·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）已知：如圖1，，求證：；（2）已知：如圖2，，試探求、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出，，即可得出答案．【詳解】（1）證明：過點作，如圖1所示：，

又，，，即；（2）解：，理由如下：過點作，如圖2所示：，

又，，，又，．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．17．（2023下·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）探究題：

(1)如圖，若，則，你能說明理由嗎？(2)若將點移至圖的位置，此時、、之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論．(3)若將點移至圖的位置，此時、、之間有什么關(guān)系？直接寫出結(jié)論．(4)在圖中，，與之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）過點作，由平行線的性質(zhì)可知，，再由角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）過點作，由平行線的性質(zhì)可知，，再由角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）過點作，由平行線的性質(zhì)可知，，再由角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；（4）過點作，用（1）的結(jié)論可知，，再由角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：相等，過點作，如圖1所示．，，，，．

（2）過點作，如圖2所示．，，，，，，．（3）過點作，如圖3所示．，，，，．（4）過點作，如圖4所示．，結(jié)合（1）結(jié)論，，，結(jié)合（1）結(jié)論，，又，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等或互補的量是解題的關(guān)鍵．18．（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖1，點P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)點P在直線上運動時，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說明理由．【答案】(1)65°(2)當(dāng)在的上方時，∠2＝∠1+∠APB，當(dāng)在線段上時，；當(dāng)在的下方時，【分析】（1）過點作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論；（2）分三種情況討論：當(dāng)在的上方時，當(dāng)在線段上時，由（1）可得：；當(dāng)在的下方時，過作，依據(jù)，可得，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∵，∴，，．又，∵，，∴；（2）解：．理由如下：當(dāng)在的上方時，如圖，過作，∵，∴，，，，．當(dāng)在線段上時，由（1）可得：；當(dāng)在的下方時，如圖，過作，∵，∴，，，，．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．19．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級校考期末）已知直線，直線交于點M，交于點N，平分交于點H，．（本題不允許直接使用三角形內(nèi)角和定理）

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，交于點G，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點P在上，平分，延長線交于點Q，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)；（2）作，根據(jù)（1）所求，可求得，再根據(jù)平分，，證明；（3）作，得出，，根據(jù)已知條件求得，根據(jù)平分和，根據(jù)已知角度求出，再作，根據(jù)以上證明方式求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，且∴，∵平分∴；∴；（2）證明：作，如下圖所示，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴∥，∴，∴，∴；（3）解：作，如下圖所示，∴，，

∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作，如上圖所示，同理可證．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線，，然后在平行線間畫了一點E，連接，后（如圖①），他用鼠標左鍵點住點E，拖動后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時他突然一想，，與之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能，找到了這三個角之間的關(guān)系．(1)請直接寫出圖①到圖④各圖中的，與之間的關(guān)系嗎？(2)請從圖③④中，選一個說明它成立的理由．【答案】(1)圖①：；圖②：；圖③：；圖④：(2)以圖③為例說明理由見解析【分析】（1）分別過E作，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補解答；（2）選擇③，過點E作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，再根據(jù)整理即可得證．【詳解】（1）圖①：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴圖②：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴；圖③：；證明見小問2詳解；圖④：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴（2）以圖③為例：如圖，過點E作，∵，∴，∴，．∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目解題關(guān)鍵在于過拐點作平行線，然后借助平行線的性質(zhì)進行證明．21．（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）【問題原型】如圖①，，點M在直線AB、CD之間，請說明，【問題遷移】如圖②，，點M與直線CD分別在AB的兩側(cè)，請寫出、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．

【推廣應(yīng)用】（1）如圖③，，點M在直線AB、CD之間，的平分線與的平分線交于點N，