專題05 全等模型-對角互補(bǔ)模型（原卷版）

專題05全等模型-對角互補(bǔ)模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就對角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。對角互補(bǔ)模型概念：對角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對對角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見的對角互補(bǔ)模型含90°-90°對角互補(bǔ)模型、120°-60°對角互補(bǔ)模型、2α-（180°-2α）對角互補(bǔ)模型。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（90°--全等型）1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.例1．（2023·黑龍江黑河·八年級期中）Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．（2022·山東棗莊·中考模擬）在中，，，于點,（1）如圖1，點，分別在，上，且，當(dāng)，時，求線段的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：;例3．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過點A的直線，過點D作于點B，連接CB；過點C作，與MN交于點E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長為______（直接寫結(jié)果）；(4)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，直接寫出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．例4.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點A的直線CD⊥MN于點D，連接BD．（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點B作BE⊥BD，交MN于點E，進(jìn)而得出：DC+AD=BD．（2）探究證明：將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；模型2、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（60°或120°--全等型）1）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.3）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2022四川宜賓八年級期末）如圖1，，平分，以為頂點作，交于點，于點E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長；（3）如圖2，，平分，以為頂點作，交于點，于點.若，求四邊形的面積．例2．（2022湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個60°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．例3．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處，將角繞點旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點．（1）當(dāng)、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．例4．（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點，將一個角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與射線相交于點.（1）如圖1，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與垂直時，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到與不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到點位于的反向延長線上時，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.模型3、旋轉(zhuǎn)中的對角互補(bǔ)模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α對180°-2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個條件可知二推一。2）“蝴蝶型對角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個例2.（2023·浙江金華·校考三模）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不變；（3）△OMN的周長不變；（4）四邊形PMON的面積不變，其中正確的序號為_____．例3.（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形的對角互補(bǔ)，且，，．過頂點C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2例4.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．試說明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．課后專項訓(xùn)練1．如圖，在四邊形中，于，則的長為__________2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．3.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC＝，OC＝，則另一直角邊BC的長為．4．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．5．已知：，求證：．5．（2023·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°．6．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．7．（2023?西城區(qū)校級期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說明AD＝DC．8．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是邊AB上一點，點P是對角線BD上一點，且PE⊥PC．（1）求證：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的長．9．（2023?阜新中考模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D．（1）如圖1，點E，F(xiàn)在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點M在AD的延長線上時，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點M在點A，D之間，且∠AMN＝30°時，已知AB＝2，直接寫出線段AM的長．10．問題：如圖(1)，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）11、在等邊中，點D為的中點，點F在延長線上，點E在射線上，．（1）如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，則與的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）當(dāng)點E在線段上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點E在的延長線上時，，請直接寫出的長．12、已知：如圖，在等邊△ABC中，點O是BC的中點，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點D，與AC相交于點E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．13.如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，且與點B，C不重合，連接AD．作以∠FAD為直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°①當(dāng)點D在線段BC上時，試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC．上，且CF⊥BD時，如圖3，試求∠BCA的度數(shù)．14．已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．15.綜合實踐初步探究：如圖，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．(1)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系為；解決問題：(2)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；(3)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間的數(shù)量關(guān)系為；拓展應(yīng)用：(4)當(dāng)∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時，請猜想四邊形CDOE的周長與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；16．（2022山西省呂梁市八年級期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點、，，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系