專題06 特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（直線軌跡）（解析版）

專題06特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（直線軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段?！咀钪翟怼縿?dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定：=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2023·湖北三模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AM，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M在∠EAF的平分線上，所以當(dāng)AM⊥PM時(shí)，PM取得最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，進(jìn)而即可得到PM最小值．【詳解】解：∵P是邊AD的中點(diǎn)，AD=6，∴AP=3，如圖，連接AM，∵等邊，是邊的中點(diǎn)，∴AM平分∠EAF，∴在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M在∠EAF的平分線上，∴當(dāng)AM⊥PM時(shí)，PM取得最小值，∵是等邊的邊的中點(diǎn)，∴PM⊥AM，∠EAM=30°，∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，推出在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M在∠EAF的平分線上，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·福建·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），為等邊三角形，過D點(diǎn)作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任意一點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則線段BG長(zhǎng)的最小值是（）A． B．6 C． D．9【答案】B【分析】連接，，設(shè)交于點(diǎn)，先判定為線段的垂直平分線，再判定，然后由全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，設(shè)交于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，為等邊三角形，，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，為線段的垂直平分線，，，點(diǎn)在射線上，當(dāng)時(shí)，的值最小，如圖所示，設(shè)點(diǎn)為垂足，，，，，則在和中，，．，∵，，，∴，，∴，解得：，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)F按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，G為點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，則的最小值為__．【答案】【分析】如圖取的中點(diǎn)K，連接，，，延長(zhǎng)交于J，作于H．首先證明是等邊三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明，利用圓周角定理證明，推出，推出點(diǎn)G在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與H重合時(shí)，的值最小，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖取的中點(diǎn)K，連接，，，延長(zhǎng)交于J，作于H．∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與H重合時(shí)，的值最小，在中，∵，，，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．例4．（2023上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為邊上的點(diǎn)，且．為邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊在其右側(cè)作等腰直角三角形，．設(shè)中點(diǎn)為，則的最小值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作，證明，可得，可得點(diǎn)在平行且到距離為的直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作，∴，∵四邊形是長(zhǎng)方形也就是矩形，，，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)在平行且到距離為的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，，則，此時(shí)有最小值，此時(shí)，∴四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．例5．（2022·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．【答案】5【分析】以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，由“SAS”可證△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂線段最短可得當(dāng)EH⊥AB時(shí)，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，∴當(dāng)EH⊥AB時(shí)，EH有最小值，即AF有最小值，

∵∠EAH＝90°?∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30°直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例6．（2023春·廣東·八年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)，，，，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的對(duì)角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【分析】連接，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，設(shè)交于點(diǎn)，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴此時(shí)是直角三角形，且是斜邊，∵,∴，∴的對(duì)角線的最小值是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，G、H分別為的中點(diǎn)，連接．若的最小值為3，則的長(zhǎng)為__________．【答案】【分析】連接，利用中位線的性質(zhì)，要使最小，只要最小，當(dāng)時(shí)，最小為6，由確定為等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．【詳解】解：連接∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且，要使最小，只要最小，當(dāng)時(shí)，最小，∵的最小值為3，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用問題，掌握中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例8．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時(shí)，線段的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，，∴四邊形是矩形，∴，由垂線段最短可得時(shí)，線段的值最小，此時(shí)線段的值最小，此時(shí)，，代入數(shù)據(jù)：，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出時(shí)，線段的值最小是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】連接，先證四邊形是矩形，得，再由勾股定理得，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，然后由面積法求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，由勾股定理得：，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，此時(shí)，，即，，的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，連接易證得，得到點(diǎn)G為的中點(diǎn)，所以是中位線，可得到，求最小值即為求最小值的一半，隨著點(diǎn)E的變化，點(diǎn)M在上動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，然后在中，借助三角函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴是中位線，∴，∴求最小值即為求最小值的一半，隨著點(diǎn)E的變化，點(diǎn)M在上動(dòng)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，即最小值=，∵是的中點(diǎn)，∴，∵∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最值，根據(jù)條件做出輔助線，利用中位線轉(zhuǎn)化所求線段，然后借助點(diǎn)到線距離垂線段最短計(jì)算即可．3．（2023上·天津河?xùn)|·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形中，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，則的最小值為

【答案】【分析】將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接交于點(diǎn)J，首先證明，推出點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)，的值最小，，求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接交于點(diǎn)J，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．5．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，是的中點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取中點(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形為矩形，得到四邊形為矩形，，結(jié)合點(diǎn)O為的中點(diǎn)，有為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，則求得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)最?。驹斀狻拷猓喝≈悬c(diǎn)H，連接，交于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形為矩形，∴，，，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)H為中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為矩形，，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，∵在直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)最小為，故答案為：．6．（2023下·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，點(diǎn)是射線上的任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，最短，利用平行四邊形性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)平行四邊形的對(duì)角線、相交于O，如圖，當(dāng)時(shí)，最短，∵平行四邊形∴，，∴此時(shí)，最短，∵，∴∴故答案為：．7．（2023上·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的長(zhǎng)的最小值為．【答案】8【分析】連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，證明，可得，由勾股定理可得，根據(jù)，即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，在與中，，，，正方形中，，是邊上的中點(diǎn)，，，，，，線段的最小值為8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查線段的最值問題，涉及三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．8．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，正方形中，，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，是等腰直角三角形,在射線上運(yùn)動(dòng)，則是等腰直角三角形，與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B，C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．【答案】【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)，∵，∴，∵，∴．根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)Q的在射線上運(yùn)動(dòng)．10．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，對(duì)角線上的有一動(dòng)點(diǎn)E，以為邊作正方形，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，．連接，則的最小值是________．【答案】【分析】連接CG．證明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時(shí)，GH的值最小，最后根據(jù)正弦即可得出答案．【詳解】解：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時(shí)，GH的值最小．此時(shí)CH＝∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線段最短，解決問題的關(guān)鍵是得到∠DCG＝∠DAE＝45°，及證明出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線CG．11．（2022·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長(zhǎng)為_______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，此時(shí)線段BE的長(zhǎng)為__________．【答案】

【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得結(jié)論，再由勾股定理求解當(dāng)重合時(shí)，從而可得答案.【詳解】解：如圖，連接EC．∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=EC，∵點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為，當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．12．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)）．連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為______．【答案】【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGF＝60°，得出點(diǎn)F在平行于AB的射線GH上運(yùn)動(dòng)，求出DM即可．【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DM⊥GH于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，∴點(diǎn)F在平行于AB的射線GH上運(yùn)動(dòng)，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH?sin60°，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F與M重合時(shí)，DF的值最小，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)F的在射線GH上運(yùn)動(dòng)，屬于中考填空題中的壓軸題．13．（2023·江蘇·揚(yáng)州八年級(jí)期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到連接，則的最小值是_____．【答案】【分析】如圖所示，根據(jù)題意構(gòu)造出△AED和△GFE全等，分析出點(diǎn)F的軌跡，然后根據(jù)D、F、C三點(diǎn)共線時(shí)求出最小值即可．【詳解】解：連接BF，過點(diǎn)F作FG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∵，，∴∠EDA＝∠FEG，∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點(diǎn)在∠CBC′的角平分線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作BF的對(duì)稱點(diǎn)，則∴C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，是等腰直角三角形，∴當(dāng)D、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，DF+CF＝最小，∴在中，AD＝4，，∴，∴DF+CF的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑，能夠?qū)⒕€段的和通過軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為共線線段是解題的關(guān)鍵．14.（2023·綿陽市八年級(jí)月考）如圖，已知線段AB＝12，點(diǎn)C在線段AB上，且△ACD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接MB，則線段MB的最小值為.【解答】6【解析】連接AM、CM，如圖所示：∵△ACD為等邊三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60o，∵四邊形DCFE是矩形，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴DM＝CM，在△ADM與△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，∵∠DAC＝60o，∴∠ACM＝30o，即直線AM的位置是固定