專題06 填空小壓軸18題（旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義25題）（解析版）

專題06填空小壓軸18題（旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義25題）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含旋轉(zhuǎn)、翻折、新定義等18題常考類型題。一、填空題1．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.

【答案】【分析】設(shè)與交點為，過作交于，證出為的中位線，由三角形中位線定理得出，由翻折變換的性質(zhì)得出：，，同理由三角形中位線定理得出，設(shè)，則，，得出，，利用勾股定理求出，根據(jù)余弦的定義即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)與交點為，過作交于，如圖所示：

為的中點，為的中點，為的中位線，，由翻折變換的性質(zhì)得：，，同理：是的中位線，，設(shè)，則，，，，，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出，是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，點，分別在邊、上，且，將沿直線翻折，翻折后點落在點處，如果，那么.【答案】/0.5【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，延長交于點D，先解，求出，，由折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，由推出，再解和求出x的值，進而即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點D，中，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．3．（2024上·上海長寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，是對角線，點在邊上，聯(lián)結(jié)，將沿著直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在內(nèi)，那么線段的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查矩形的折疊問題，相似三角形的判定和性質(zhì)等，計算出點恰好落在邊上，以及點恰好落在邊上時的值，即可得出線段的取值范圍．【詳解】解：當點的對應(yīng)點恰好落在邊上時，如圖：由折疊的性質(zhì)知，，，又矩形中，，四邊形是正方形，，；當點的對應(yīng)點恰好落在邊上時，如圖，由折疊的性質(zhì)知，，又矩形中，，，，又，，，即，，，線段的取值范圍是．故答案為：．4．（2024上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期末）在菱形中，點E為邊的中點．聯(lián)結(jié)，將沿著所在的直線翻折得到，點B落在點F處，延長交邊于點G．如果的延長線恰好經(jīng)過點D，那么的值為．【答案】/0.75【分析】延長、交于點，由菱形的性質(zhì)得，，，則，由折疊得，，則，，而，所以，推導(dǎo)出，可證明，得，則，所以，則，再證明，得，再證明，得，則，而，即可求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：延長、交于點，四邊形是菱形，，，，，由折疊得，，，，，，，，，在和中，，，，點為邊的中點，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，的值為．故答案為：【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、同角的補角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）如果一個三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”．已知在中，，，，點D在邊上，且是“倍角互余三角形”，那么的長等于．【答案】或【分析】分兩種情況討論，當時，利用，列式計算即可求解；當時，即是的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：當時，，即，是“倍角互余三角形”，則∴∴∴；當時，，即，是“倍角互余三角形”，此時是的角平分線，作于E，則，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得．綜上，的長等于或．故答案為：或．【點睛】本題考查了正切函數(shù)的定義，角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，分情況討論是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，已知在兩個直角頂點重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，將繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在邊上時，連接，那么．【答案】【分析】利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，分別求出的長，證明，得到，推出，在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∴，，∴，設(shè)，則：，∴，在中，，即：，解得：或（不合題意，舍去）；∴．故答案為：．【點睛】本題考查含30度的直角三角形，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程．熟練掌握相關(guān)知識點，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，我們定義點的“關(guān)聯(lián)點”為．如果已知點在直線上，點在的內(nèi)部，的半徑長為（如圖所示），那么點的橫坐標的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)點在直線上，可求得點的“關(guān)聯(lián)點”為，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵點A在直線上，∴，∴，，∴點的“關(guān)聯(lián)點”為，當時，，此時點在上，整理得，解得：，∵點在的內(nèi)部，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形，點與圓的位置關(guān)系及解一元二次方程，點在圓內(nèi)，；點在圓上，，點在圓外，，正確得出點坐標，熟練掌握點與圓點位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，將平行四邊形沿著對角線翻折，點的對應(yīng)點為，交于點，如果，，且，那么平行四邊形的周長為．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】由，四邊形為平行四邊形，折疊的性質(zhì)可得是等腰三角形，，設(shè)，則，由三角形的內(nèi)角和定理解得，由外角性質(zhì)可證明為等腰三角形，繼而得到，解得，分別過點作，利用余弦定理分別解得的長，最后求得平行四邊形的周長．【詳解】解：，四邊形為平行四邊形，翻折是等腰三角形設(shè)，則在中，由三角形內(nèi)角和定理可得分別過點作在中，在中，平行四邊形的周長為故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圖形的翻折變換等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點D是邊的中點，點M在邊上，將沿所在的直線翻折，點A落在點E處，如果，那么．【答案】【分析】畫出圖形，過點D作的垂線段，交于點F，過點C作AB的垂線段，交于點G，證明為等腰三角形，，即可解答．【詳解】解：如圖，過點D作的垂線段，交于點F，過點C作的垂線段，交于點G，，，點D是邊的中點，，沿所在的直線翻折，點A落在點E處，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，面積法，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，畫出圖形并且作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在中，，，，為中點（如圖），為射線上一點，將沿著翻折得到，點的對應(yīng)點為，如果，那么．

【答案】或6【分析】當點在線段上時，根據(jù)已知條件得出三點共線，在中，勾股定理求得的長，當在的延長線上時，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，當點在線段上時，∵將沿著翻折得到，，∴，，∴三點共線，設(shè)，則，，∵，為中點，∴，∴，在中，，∴，解得：；

當在的延長線上時，如圖所示，∵，∴∴，又∵，，∴，解得：，故答案為：或6．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，分論討論是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）如圖，已知在中，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，點分別落在點處，聯(lián)結(jié)，如果，那么邊的長．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)變換易證，，，，由，得；設(shè)，由三角函數(shù)得，；在中，運用勾股定理求解得，所以．【詳解】如圖，由旋轉(zhuǎn)知，，，，為等邊三角形，∴，，，

∴，∵∴設(shè)，則，中，∴，解得（負值舍去），故答案為：【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理及特殊角三角函數(shù)；能夠靈活運用相關(guān)知識導(dǎo)出線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測）人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則．【答案】10【分析】先根據(jù)求出（為正整數(shù)）的值，從而可得的值，再求和即可得．【詳解】解：，（為正整數(shù)），，，，，則，故答案為：10．【點睛】本題考查了二次根式的運算、分式的運算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．13．（2023·上海浦東新·校考三模）如圖，在中，，，點在邊上，且，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，點落在的一條邊上的點處，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．

【答案】或【分析】分類討論：當點在上，根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和即可求得；當點在上，根據(jù)30度所對的直角邊是斜邊的一半和三角形的外角性質(zhì)即可求得．【詳解】當點在上，如圖：

∵，∴，∴，當點在上，如圖：

∵，∴，∴，故答案為：或【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和，30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用．14．（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜邊AB的中線．將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，點B、點C分別落在點B′、點C′處，且點B′在射線CD上，邊AC'與射線CD交于點E．如果＝3，那么線段CE的長是．【答案】【分析】根據(jù)已知，作出圖形，求出AD、CD、AE．利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可利用EC＝B′C﹣B′E求解．【詳解】解：根據(jù)已知，作出的圖形∵△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB的中線．∴AD＝CD＝DB＝AB＝3，∴∠DAC＝∠ACD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：∠B′AE＝∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴，∵=3，∴，∴，∴B′C＝8，B′E＝，∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣＝，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考填空題掌握的壓軸題．15．（2023·上海靜安·?？家荒＃┒x：把二次函數(shù)與（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．如果二次函數(shù)與（b、c是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點的坐標．【答案】【分析】根據(jù)題意，把所給的兩個二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)函數(shù)即可．【詳解】∴∴解得：故答案為：【點睛】本題考查的是學(xué)生對二次函數(shù)解析式的變形能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意去變換形式，細心謹慎．16．（2024上·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，點B落在處，連接、，若，則．【答案】【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握以上知識點；過A作，設(shè)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再運用勾股定理列方程解答即可；【詳解】將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖所示，過A作，則，設(shè)，，，，，，，在中，，（負值舍去），故答案為：．17．（2022上·上海浦東新·九年級上海市建平實驗中學(xué)期末）如圖，中，，，，點在邊上，將沿著直線翻折得，交直線于點，連接，若是等腰三角形，則的長是．

【答案】或【分析】根據(jù)題意作圖如下，過作的垂線，交于，由勾股定理求得，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：，若是等腰三角形，則，勾股定理求出，再證明，求出，根據(jù)，即可求出；當點在邊之間上動，且點在線段的延長線上時，同理即可求解．．【詳解】解：∵在邊上，將沿著直線翻折得，交直線于點，連接，根據(jù)題意作圖如下，過作的垂線，交于，

在中，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：，當點在邊之間上動，且點在線段上時，故，若是等腰三角形，則，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)知，點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，過作的垂線，交于，

在中，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：，當點在邊之間上動，且點在線段的延長線上時，故，若是等腰三角形，則，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)知，點為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，故答案為：或．【點睛】此題考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用三角形相似來求邊長．18．（2023上·上海楊浦·九年級期末）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則．

【答案】【分析】過點作于，證明，得出，根據(jù)，得，設(shè)，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設(shè)，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2024上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）已知和是矩形的兩條對角線，將沿直線翻折后，點D落在點E處，三角形與矩形的重疊部分是三角形，連接，如果，，那么的正切值是．【答案】或【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)推出，則，或，根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，交于點O，，，∵四邊形是矩形，.∴，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，，即∠BDE的正切值是；如圖，交于點O，，，同理得，，，，，在中，，，，，，，即的正切值是；綜上，的正切值是或，故答案為：或．20．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt中，，，，點、分別是邊、的中點，連接．將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，點、的對應(yīng)點分別是點、．如果點落在線段上，那么線段．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進而得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】在Rt中，，，，點、分別是邊、的中點，∴,，如圖所示，點落在線段上，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，∴，旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形ABCD中，，點E在邊AB上，，連接DE，將沿著DE翻折，點A的對應(yīng)點為P，連接EP、DP，分別交邊BC于點F、G，如果，那么CG的長是．

【答案】/【分析】延長交于點，根據(jù)已知得出，證明，求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出，在中，，進而得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點，

∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，

∴，∴，∵折疊，∴，，，則，又∵，∴∴，∴∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，

又∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，．將沿直線CE翻折，如果點D的對應(yīng)點恰好落在線段上，那么的正切值是．

【答案】2【分析】過點作于點M，由折疊得再證明從而證明設(shè)，則求出再證明得，由勾股定理求出，進一步可求出的正切值．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴過點作于點M，

∵∴∴由折疊得，∴∴∵∴∴∴設(shè)，則在中，由勾股定理得，∵∴又∴∴∴，在中，在中，∴，故答案為2【點睛】本題主要考查了正方形的折疊問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及求正切值等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．23．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為邊的中點，聯(lián)結(jié)、，為邊上一點，將沿翻折，如果點的對應(yīng)點恰好位于內(nèi)，那么的取值范圍是．【答案】【分析】本題考矩形的折疊問題，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理；根據(jù)翻折的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)，分別求得的最小值與最大值