專題07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（原卷版）

專題07三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下圖是某工人加工的一個機器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過測量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：，且、、保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持不變情況下，應(yīng)將圖中（填“增大”或“減小”）度．例2．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，求的度數(shù)．

例3．（2022·甘肅白銀·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知線段、相交于點O，連接、.（1）求證：；（2）如圖2，與的平分線、相交于點P，求證：.例4．（2023·成都市·八年級月考）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，且AC、BD相交于點O．求證：（1）；（2）．例5．（2023春·廣東深圳·七年級部?？计谥校┨骄款}(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點，則與，的數(shù)量關(guān)系為______；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時，則的度數(shù)為______．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，EF與△ABC的邊BC，AC相交，則∠1+∠2與∠3+∠4的數(shù)量關(guān)系為(

)A．∠1+∠2>∠3+∠4B．∠1+∠2<∠3+∠4C．∠1+∠2=∠3+∠4D．?dāng)?shù)量關(guān)系取決于∠C的度數(shù)例3．（2023秋·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．例4．（2023·廣東八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請猜想與的關(guān)系是．例6．（2023春·浙江七年級課時練習(xí)）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川廣元·七年級校聯(lián)考期中）如圖所示，將一副三角板按如圖放置，有下列結(jié)論：①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④例2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期中）一副三角尺按如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)為．例4．（2023春·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中，，，，則．

例5．（2023·甘肅慶陽·七年級?？计谀┮桓敝苯侨前灏凑杖鐖D所示放置，注意觀察和的數(shù)量關(guān)系.（1）如圖①，和的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖②，將兩個直角三角板的直角頂點置于一點，無論如何旋轉(zhuǎn)其中一個直角三角板（兩直三角板無重疊），和的數(shù)量關(guān)系是______；（3）如圖③，將兩個直角三角板的直角頂點置于一點，旋轉(zhuǎn)后使兩直三角板有重疊，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.課后專項訓(xùn)練1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無法確定2．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，則的度數(shù)是．4．（2023春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，°．5．（2023春·江西贛州·七年級?？茧A段練習(xí)）一副直角三角板中，，，，現(xiàn)將直角頂點按照如圖方式疊放，點在直線上方，且，能使三角形有一條邊與平行的所有的度數(shù)為．

6．（2023·浙江寧波·七年級?？计谥校┮桓比前灏慈鐖D所示疊放在一起，其中點B、D重合，若固定三角形AOB，改變△ACD的位置（其中A點位置始終不變），使CDOB，則∠BAD＝7．（2023春·江蘇徐州·七年級期末）如圖，在四邊形紙片中，，若沿圖中虛線剪去，則°．

8．（2023·廣東揭陽·八年級?？计谀┨剿鳉w納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．9.（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖所示，度．10．（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谥校┤鐖D，．11．（2023春·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，則為.12．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）將一副三角尺如圖擺放，其中，，，，則．

13．（2022秋·甘肅隴南·八年級?？计谥校┤鐖D，中，若圖中沿虛線剪去，則°．14．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，CE是的外角的平分線，且CE交BA的延長線于點E．(1)求證：．(2)若，時，求的度數(shù)．15．（2023秋·重慶八年級課時練習(xí)）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，，平分．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．16．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．17．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖中，△AOB的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．

(1)如圖1，在“對頂三角形”與中，若，則；(2)如圖2，在中，、分別平分和，若，比大，求的度數(shù)．(3)如圖3，、是的角平分線，且和的平分線和相交于點，設(shè)，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．18．（2023·廣東惠州·八年級?？计谥校┮阎涸诤椭?，，，將如圖擺放，使得的兩條邊分別經(jīng)過點B和點C．(1)當(dāng)將如圖1擺放時，則______；(2)當(dāng)將如圖2擺放時，請求出的度數(shù)；(3)能否將擺放到某個位置時，使得同時平分和？并說明理由．19．（2023·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：．（2）如圖②，分別平分，若，求的度數(shù)．（3）如圖③，直線平分的外角平分的外角，若，則________用的代數(shù)式表示）20．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外