專題08 特殊平行四邊形中的圖形變換模型之翻折（折疊）模型（原卷版）

專題08特殊平行四邊形中的圖形變換模型之翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱)問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。翻折以矩形對(duì)稱最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個(gè)圖形（菱形、矩形、正方形等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【知識(shí)儲(chǔ)備】折疊問(wèn)題的解決,大都是以軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作為切入點(diǎn)，而數(shù)形變化,是解決這類問(wèn)題的突破口。有了“折”就有了”形”--軸對(duì)稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數(shù)”--線段之間、角與角之間的數(shù)量關(guān)系。"折”就為“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化搭起了橋梁。特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題,還要考慮特殊平行四邊形本身的性質(zhì),有時(shí)也需要用到計(jì)算工具：相似和勾股定理。折疊的性質(zhì):重合部分是全等圖形,對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分?！局R(shí)儲(chǔ)備】1）矩形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)在邊上，連接，將沿翻折得到，點(diǎn)落在上．若，，則的長(zhǎng)為(

)

A． B． C． D．例2．（2023·浙江·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰為點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例3．（2023春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，翻折，使點(diǎn)落在對(duì)角線上處．(1)__________；是的__________．（中線、角平分線、高線）(2)求和的長(zhǎng)．

例4．（2023春·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點(diǎn)M在邊上，連接，將沿翻折，得到，交于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．

例5．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，現(xiàn)將矩形沿折疊，點(diǎn)C翻折后交于點(diǎn)G，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．

例6．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，E，F(xiàn)分別為邊和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，其中G為A的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)G落在直線上時(shí)，的長(zhǎng)為．

例7．（2023春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，將沿翻折得到在動(dòng)點(diǎn)P，Q所有位置中，當(dāng)F，E，P三點(diǎn)共線，時(shí)，．

例8．（2023秋·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，且C、H、G三點(diǎn)共線．(1)如圖1，若F為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，則＝

°，＝

；(2)如圖2，若F為的中點(diǎn)，平分，，，求的度數(shù)及的長(zhǎng)；(3)，，若F為的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．2）菱形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023春·重慶八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處（不與，重合），折痕為，若，，則的長(zhǎng)為．例2．（2023春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形對(duì)角線的交點(diǎn)O處，折痕為，則點(diǎn)E、F分別為邊、的中點(diǎn)．若，，則．

例3．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形中，，M為邊上的一點(diǎn)，將菱形沿折疊后，點(diǎn)A恰好落在的中點(diǎn)E處，則．

例4．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形紙片中，，折疊菱形紙片，使點(diǎn)落在（為中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的折痕．則的大小為（

）

B． C． D．例5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，E是邊AD上一點(diǎn)，直線OE交BC于點(diǎn)F，將菱形沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，若AE＝4，則的長(zhǎng)等于．例6．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，菱形的面積為24，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將菱形沿折疊，使B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、，若，則點(diǎn)到BC的距離為．

3）正方形的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例2．（2023春·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，E為邊上一點(diǎn)，將沿著AE翻折得到，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線上，連接，若，則．

例3．（2023·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上，將沿BP翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在MN上，若，則PD的長(zhǎng)為．例4．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，若該正方形ABCD邊長(zhǎng)為10，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作，垂足分別為G，若，則的長(zhǎng)度為．例5．（2023·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．例6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考模擬）如圖在正方形中，，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，求.例7．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，在正方形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖3，連接分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)如圖4，在線段上取一點(diǎn)，且使，連接，則在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出其值；若果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，已知是矩形的對(duì)角線，點(diǎn)分別在邊上，連結(jié)．將沿翻折，將沿翻折，翻折后點(diǎn)分別落在對(duì)角線上的點(diǎn)，處，連結(jié)．則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)D重合，則的值為（）A． B． C． D．3．（2023·重慶九龍坡·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，若，，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．4．（2023·天津紅橋·三模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，M是邊的中點(diǎn)，連接，將菱形翻折，使點(diǎn)A落在線段上的點(diǎn)E處，折痕交于N，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．4 C．5 D．5．（2023·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，點(diǎn)在邊上，以為折痕，將向上翻折，點(diǎn)正好落在上的點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為18，的周長(zhǎng)為38，則的長(zhǎng)為（

）A．14 B．12 C．10 D．86．（2023春·重慶·八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，連接AE，點(diǎn)F在邊AD上，連接BF，把△ABF沿BF翻折，點(diǎn)A恰好落在AE上的點(diǎn)G處，下列結(jié)論：①AE=BF；②AD=2DF；③=6：④GE=0.2，其中正確的有（

）7．（2023春·重慶開(kāi)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則．

8．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，將矩形沿直線翻折，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，若，則．

9．（2023·四川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)、分別在邊、上，則的值為．10．（2023秋·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，在上，將沿翻折至，且剛好過(guò)的中點(diǎn)，則．11．（2023春·江西宜春·八年級(jí)江西省宜豐中學(xué)校考期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝3；③AGCF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正確的是（填序號(hào)）．12．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別交于點(diǎn)、將矩形紙片沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，①如圖1，若，，則；②如圖2，直線分別交平行四邊形的邊、于點(diǎn)、，將平行四邊形沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，若，，，則四邊形的面積是．

13．（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作折痕的平行線，分別交正方形的邊于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），若，則的長(zhǎng)為．

14．（2023春·上海黃浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)M、N分別是邊、的中點(diǎn)，Q是邊上的一點(diǎn)．連接、，將沿著直線翻折，若點(diǎn)C恰好與線段上的點(diǎn)P重合，則的長(zhǎng)等于．

15．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為；若線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則.16．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，，在上取一點(diǎn)E，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B落在處，線段交于點(diǎn)F，將沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上，若點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．

17．（2023·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，把菱形沿折痕翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，連結(jié)．若，，則．18．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將邊長(zhǎng)為2的正方形紙片按如下操作：【操作一】如圖①，將正方形紙片對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片展開(kāi)，得到折痕EF．則點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的距離為_(kāi)____________．【操作二】如圖②，G為正方形邊上一點(diǎn)，連接，將圖①的正方形紙片沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)H落在折痕上．連接．