高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

1、元素與集合的關(guān)

系xej=五e"4,xeCyA=彳2力.00/=工H0

2、集合⑸-…a)的子集個數(shù)共有2，個;真子集有2"-1個;

非空子集有個；非空的真子集有2~2個.

3、二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1)一般式：/W=ax2+Z>x+c(a^0)；

(2)頂點(diǎn)式：/㈤”(。獷+上("0);(當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)

坐標(biāo)也切時，設(shè)為此式)

⑶零點(diǎn)式：；/。)”(彳砧。-砧("0)；(當(dāng)已知拋物線與軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)為15，°)，(%°》時，設(shè)為此式)

(4)切線式：〃x)“(LXo)2+&+d),(aH0)%(當(dāng)已知拋物線與

直線y=kx+d相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為與時，

設(shè)為此式)

4、真值表：同真且真，同假或假

5、常見結(jié)論的否定形式;

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有Tf也沒有

都是不都是至多有T至少有兩個

不大于至少有〃個至多有(?-1)個

ZZZZZZZZZZZZZZZZ不，J吁至多有犯個至少有(?+1)個

zzzzzzd吁

對所有X，成立存在某X,p或qF2且「q

對任何X，不成立存在某X,成立p且q

6、四種命題的相互關(guān)系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假;

逆命題與否命題同真同假.)

充要條件：(1)。=4則P是q的充分條件.反之.q是P的必要

條件；

(2)且q￥>p,則P是q的充分不必要條件；

(3)p>p,且q-P,則P是q的必要不充分條件;

(4)p#>p,且9亞則P是q的既不充分又不必要條件。

7、國數(shù)單調(diào)性:

增函數(shù)：(1)文字描述是：y隨x的增大而增大。

(2)數(shù)學(xué)符號表述是：設(shè)f(x)在X€D上有定義，

若對任意的和”2且演<碼，都有［小)”⑹成立，

則就叫了⑺在上是增函數(shù)。D則就是f(x)的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。

(2)、數(shù)學(xué)符號表述是：設(shè)f(X)在XD上有定義，

若對任意的再用且再，都有/(Z1)>/(%2)

成立，則就叫f(x)在上是減函數(shù)。D則就是f(x)

的遞減區(qū)間。

單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增國數(shù)；(2)、減函數(shù)+減

齒數(shù)二減函數(shù)；

(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=噌函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函

數(shù)二減函數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左

邊兩個函數(shù)定義域的交集。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

單調(diào)性

內(nèi)層函數(shù)Jtt!

外層函數(shù)Jt1t

復(fù)合函數(shù)tt1I

等價關(guān)系：

⑴設(shè)再用斗耳計孫,那么

（為一々）"（&）-/（勺）］>o="再）二”砌>oo/（X）在［4同

再一X2上

是增函數(shù);

*1-5）［/（々）-/（々）］<。Q<0o/（X）在［見4

xi~x2上7E/或兇

數(shù).

⑵設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/⑶則/⑺為

增函數(shù)；如果廣⑶<°'，則為減函數(shù).

8、國數(shù)的奇偶性：（注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必

須關(guān)于原點(diǎn)對稱）

奇函數(shù)定義：在前提條件下，若有/0=-/（加次-彳）+a）=0,

則f（X）就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：（1）、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;

（2）、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間;

（3）、定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0.

偶函數(shù)定義:在前提條件下,若有f(―x)=f(x),則f(X)就是

偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(2)、偶函數(shù)在x>0和xvO上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶網(wǎng)數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇國數(shù)?偶函數(shù)二奇函數(shù)；(2)、奇/數(shù)?奇函數(shù)二偶函

數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)?偶函數(shù)=偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)土奇函數(shù)二奇函

數(shù)(也有例外得偶函數(shù)的)

(5)、偶函數(shù)土偶函數(shù)二偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)土偶函數(shù)二非奇

非偶函數(shù)

奇網(wǎng)數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函I數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過

來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個國數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那

么這個函數(shù)是偶函數(shù).

9、函數(shù)的周期性：定義：對函數(shù)f(x),若存在:T*O,，使得f

(x+T)=f(x),則就叫f(x)是周期函數(shù),

其中，T是f(x)的一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

⑴、f(x+T)=-f(x),此時周期為2T;

(2)、f(x+m)=f(x+n),此時周期為'“一"；

/(x+w)、=——1,

⑶、/⑶此時期為2mo

10、常見函數(shù)的圖像:

11、對于/數(shù)=/㈤(]w氏)，1+。)=及-尚恒成立，則函數(shù)的對

a+b

x=--

稱軸是2；

b-a

x=--

兩個函數(shù)￡=(x+a)與y=(b-x)的圖象關(guān)于直線2對稱.

12、分?jǐn)?shù)指數(shù)常與根式的性質(zhì):

(l)a5*=y/a^(a>0,m,neAT,且〃>1).

_?11

(2)ax=——=(a>0,w,?e2\7*?且%>1).

(3)(&)』.

a,a>0

(4)當(dāng)月為奇數(shù)時，=當(dāng)力為偶數(shù)時，^=\a\=<

-ata<0

13、指數(shù)式與對數(shù)式的互化

式.log@M=8=/=N3>O,0H1,N>0).

指數(shù)性質(zhì)：

（1）1、；（2）、（?=1（］。=0）；⑶、d

(4)、a'(以>0,廠,sw。)?(5)、an=^/a^

指數(shù)函數(shù)：

⑴、、=第3>1）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指

數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)（0,1）

對數(shù)性質(zhì):

⑴、logM+logN=Xog^MN)；⑵、logikf-log2^=log—；

aaaflaN

(3)^logZ>*=wlogZ>；⑷、log=-log2>；⑸、loga1=0

flama

(6)、logaa=\;(7)、。蛇"二6

對數(shù)國數(shù):

⑴、、=1。心武"1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、卜二1叫忒。<。<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注:

對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)(1,0)

410g”=藺(。>0,且。工1,浦>0)

logax>0<=>a,xe(0,1)或a,xe(1,-K?)

zjxlog^x<0=aw(0,1)則xw(l,4oo)或aW(1,~KO)則xeQ,l)

口八

14、對數(shù)的換底公

\ogaN=\咨史(?>0,且白=1,加>0,且N>0)

式：1。&-a

對數(shù)恒等式

推論logb=—logb(a>°，且axLN〉0).

15、對數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a>0,arl,M>0,N>0,貝U

M

⑴log(MT)=logM+log^;(2)log—=logM-1og/

aaaflNfl

,<

(3)logaM=n\og&M(neR)；(4)loga=—logaN(n,weR)

16、平均增長率的問題（負(fù)增長時）：如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)

為N,平均增長率為p,則對于時間的總產(chǎn)值,

有y=N(l+p>.

17、等差數(shù)列：通項公式：⑴/=%+("l)d,其中“為

首項，d為公差，n為項數(shù)，4為末項。

(2)推廣:

(3)%=$「<《")(注：該公式對任意數(shù)

列都適用)

(1)6/(%+%)

前n項和：(1)“一2；其中為首項，n為項數(shù)，為

末項。

0=/+至1

⑵2

(3)仆"%3(注：該公式對任意數(shù)

列都適用)

(4)#12(注：該公式對任意數(shù)

列都適用)

常用性質(zhì)：(1)、若m+n=p+q,則有豆十%"J%；

注：若%是/知的等差中項,

則

有2%=%+。,0口、m、p成等差。

(2)、若⑷、聞:、為等差數(shù)列，則&±幻為

等差數(shù)列。

(3)、；“』為等差數(shù)列，為其前n項和，

則孔，』一又國也成等差數(shù)列。

(4)、%=見%=，，則?！?/p>

1+2+3+…+.=-(■+D

(5)2

等比數(shù)列：

通項公式：(1)°=空“=3°8€"),其中為首項，n為

項數(shù)，q為公比。

n-k

a?=a-a

⑵推廣t：

(3)%=S「S&心2)(注：該公式對任意數(shù)

列都適用)

前n項和：⑴心2)(注：該公式對任意數(shù)列都

適用)

Z=/+劭+…+4

(2)(注：該公式對任意數(shù)列

都適用)

9=1）

S*='。1（1一，）

.1-0（"D

（3）

常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q,則有4%％；

注：若：，是，陽的等比中項,則

m、M成等比。

（2）、若、⑷、間為等比數(shù)列，則值也｝為

等比數(shù)列。

_abO+bY

18、分期付款（按揭貸款）：每次還款。+4-1元（貸款元，次還

清，每期利率為）.

19、二角不等式:

X€（0,-）一一

2則sinx<x<tan^

（1）若

⑵若女（°虧）貝/<sinx+cosx<V2.

（3）|sinx|+|cosx|>l

22sin0

20、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin'+c°s偌1'蓊'

21、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

22、和角與差角公式

sin(a±肉=sinacos產(chǎn)±cosasin產(chǎn);cos(a±肉=cosacos/干sinasin§;

/6tana±tan。

tan(a±jS)=-----------.

1千tanatanJ3

asin。+3cos。=Ja'+2>2sin(a+(p)

_b_

(輔助角。所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決定二",).

23、二倍角公式及降鬲公式

.c2tana

sin2a=sinacosa=-----x-

l+tana

c22c2112l—tan'a

cos2a=cosa-sina=2cosa-l=I-2sina=-----=-

l+tana

c2tanasin2aI-cos2a

tan2a=-------tanex=--------=--------

I-tan5aI+cos2。sin2a

.2I-cos2al+cos2a

sina---------,cosa=

24、三角/數(shù)的周期公式

函數(shù)，=sin(0'+*)，x￡R及函數(shù)y=cos(0'+0),xGRU,O,(p)

丁二竺、

x￡R(A,(o,為常數(shù)，目A，0)的周期一1。「；

，=1獨(dú)(。工+同，工工函+工,依20,3，次函數(shù)，(A,3,為常數(shù)，且A#0)

T=—.

的周期網(wǎng).

三角函數(shù)的圖

像:

y=cosx甘

二…7

02n

===2R

25、正弦定理：sin/sin5sinC(R為外接圓的半

徑).

=。=2RsinXi,=2RsinB,c=ZRsinC<=>a::c=sin:sin5:sinC

26、余弦定

理.a1=b2+c2-2bccosj；b1=c1-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC

27、面積定理:

⑴物只此必礪如分別表示a、b、C邊

上的高）.

(2)S=—a^sinC=—Sesinj=—easin8.|

222

(3)應(yīng)皿=J^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

2sA_a+b-、g

’3切因=a+g+c，%*3切因=2

28、三角形內(nèi)角和定理：

在^ABC中，

有/+B+C=?roC=7r-G4+B）o￡=?_^^=2C=2"-2（6+5）

29、實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)乂N為實數(shù)，那么：

（1）鱷律:A（H5）=（An）3；

（2涕一（A+H）（J=A5+iia；

（3庠二分配律：A（a^b）=A（J+Ab.

■—一

30、與的數(shù)量積（或內(nèi)積）：小汨對所cosd?.

31、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

⑴設(shè)方=（再，乃），方=（々，丁2），則/?二（/+勺，％+）2）?

——

⑵設(shè)好（再,乃）":（々,乃），則I-合二（再-叼，乃一必）?

（3）設(shè)A（X],冗，BG2J2），則3=OB-OA=（Xj-再，乃一必）?

⑷設(shè)]=（xj）,Ne*,則?■=（4x，4x）.

⑸設(shè)於（公,為，1=（孫乃），則2?1=（再勺+、必），

32、兩向量的夾角公

一

八ab玉為+外必、丁,、、

cos0=十=/，-背==（。=（再,必），3二（孫乃））?

式：1。1?聞J/+義我+府

33、平面兩點(diǎn)間的距離公

d二二|五5|二，5N篇二-公尸+（%-必）2Q（X"1），B（G，乃））?

式:

34、向量的平行與垂直：設(shè)二尸，,=（孫為，芳=每,乃），且"°,

則：

占|花0小43OX仍一與必=0.（交叉相乘差為零）

了_L?（"6）=&?*=0=勺五2+乃乃=。，（對應(yīng)相乘和為

零）

35、線段的定比分公式：設(shè)々⑸%，舄每必），尸（”），是線

段耳印的分點(diǎn)，是勺實數(shù)，

且至='兩，則

工_再+飽,,

1+4./=。4+熱舄

_\+私1+41

=OP=t0&+(1—￡)0馬(2=

.1+NT+I36、

0

三角形的重心坐標(biāo)公式:△加三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別

為lA（X1,y1）、B（x2,y2）%C（xSJy3）

.（%+々+.力+乃+乃）

則的重心的坐標(biāo)是4'2

37、三角形五“心”向量形式的充要條件：設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則

（1）。為2L48C的外心=5'=無2=5?1

（2）。為ARBC的重心QO5+礪

（3）。為△ABC的垂心=05方=歷-5?=6t

（4）。為A/48c的內(nèi)心＜=＞。況+6加

（5）。為A4BC的/幺的旁心=。刀=8礪

38、常用不等式：

（1）。力e&=/+/之2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取?=?號）.

（2）以力之&當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號）.

（3）a3+Z>3+c3>3abc（a>0,2>>0,c>0）.

⑷同-/工卜+占|工上|十忸.

（5）且二疝￡/士史亙（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號）。

a+b2V2

39、極值定理:已知都是正數(shù)，則有

（1）若xy積是定值P,則當(dāng)x=y時和有最小值2而;

-S2

4

（2）若x+y和是定值S,則當(dāng)x=y時積有xy最大值

⑶已知“，瓦冗ytK,若°x+如=1則有

???V-

-+—=（ax4-21y）（—+—）=a+b+—+—>a+b+2y/ab=（而+柩尸

xyxyxy

la,友冗S-4--=1!

（4）已知Ky,若則有

x+y=(x+j/)(—+—)=a+b+—+—>a-}-b+2y/ab=(&+揚(yáng))’

xyxy

40、一元二次不等式#+桁+。>。（或<0）（"0,A=廬-4ac>0）,如果

ax2+Bx+c以/+8x+c

與同號，則其解雋在兩根之外；如果a與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之

再<X<々=（工一五）（五~x2）<°（無1<々）;

外.異號兩根之間.即：工<%,或工>為=。一玉）。一%）>0（而<出）?

41、含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時，有

|x|<a<=>x2<a2<=>-a<x<a,

同>?=”>。2。\>?；蜥?lt;-a.

k—~~~（耳（內(nèi)Ji）、鳥（勺，乃））

42、斜率公式：r.—r

43、直線的五種方程：

⑴點(diǎn)斜式：^-必=雙彳一再）值線/過點(diǎn)耳（"1%且斜率為勺.

（2）斜截式：了=收+"（b為直或在y軸上的截距）.

''=工_^_（必=乃）（4（和九、門每，必）（公。租力。乃））

⑶兩點(diǎn)式：乃一必電一再

兩點(diǎn)式的推廣：（'2一々）8一珀一仇一必）（彳一再）=°（無任何限制條件?。?/p>

-+T=14,0、g0

（4）截距式：a￡>（分別為巨然的橫、縱鼓距，）

⑸一般式：4+紗+C=°俱中人、B不同時為0）.

直線的a+W+C=°法向量：戶=（AB）,方向向量『=（瓦一回：

44、夾角公式:

Jr-卜

(1)tanor=|-I.(/1:y=左4+4,L:y=kx+bykk*-1)

i+L122l2

(2)tana=\"e-44卜(《：生+坳+q=0.引型+如+G=。.44+用為工。)?

44+8島

直線時，直線△與人的夾角是

45、到的角公式:

Jr—Jr

(1)tana=―—―@:y=Qx+4，I1：y=Qx+S2焦內(nèi)h-1

1+—

(2)tana=~".(乙:A^x4-4-Cx=0.Z2:義彳+^^+弓=0.4義+用芻h0).

+B]B°

直線時，直線A至1/2的角是?.

46、點(diǎn)到直線的距

d1多+為匕G點(diǎn)尸(aJo)加/=Ax+fy+C=0).

離（點(diǎn),直線：）.

47、圓的四種方程:

⑴國的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-af+e-b）?=’.

（2）圓的-般方程：/+/+》+助+尸=0（1）2+/一4尸＞0）,（＞0）

x=a+rcos&

⑶國的參數(shù)方程：1、=6十八地］

（4）國的直徑式方程：*_百）（'_毛）+8_乃）6/一必）=0（圓的直徑的靖克是42萬）、取,乃））,

48、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)尸與圓5-4+（丁-爐=臼的位

置關(guān)系有三種：

若d=%），+3-先）?,則d＞尸=點(diǎn)尸在圓外；

若d=「。點(diǎn)產(chǎn)在圓上；d＜r=點(diǎn)尸在圓內(nèi).

49、直線與圓的位置關(guān)系：亙線&+紗+C=°與&-4+（k獷=凸圓

_\Aa+Bb+C\

(d=——7—）：

的位置關(guān)系有三種V?Ts

d>r=相離oA<0；d=r=相切OA=0；d<rO相交<=>A>0

50、兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為01,02,半徑分別為rial℃|="則:

d>0+廠2=外離=4條公切線；

d=廣1+々=外切=3條公切線；

\rx-r2\<d<rx+r2=>相交=2條公切線;

d=h-引=內(nèi)切=1條公切線；

0<d<k-々|=內(nèi)含Q無公切線.

幡單相交絆相離

9-----?-----?------

0-d—>叫—d->的2—d-*d

用+<=1(4>8>0)x=acos8

的參數(shù)方程是：'\y=bsin&.

51、橢圓々b圈心

a2b2

P=一

準(zhǔn)線到中心的距靄為c.焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）匕

2幺

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng).其長度為a：.

瑪+4=1(?>3>0),

52、橢圓ab焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面枳：

/『2Z_FPZF

|咫|=e(xd--)=a+ex，|%|=c(--x)=a-^x；SkFfF=c\yp[=btan—-

cc2

53、橢圓的的內(nèi)外部：

/v2x22

（1）點(diǎn)?（順,乃）在橢圓3+彳=1（4>8>0）的內(nèi)部=烏+v與<1?

（2）點(diǎn)?（為,%）在桶園4+4=13>8>0）的外部=苗+軍>1.

54、橢圓的切線方程:

（1）桶圓，+號=1（。>8>0）上一點(diǎn)尸（飛,九）處的切線方程是子+等=1.

（2）過橢圓444=矽卜一點(diǎn)?（七，4）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是警+岑=1.

abab

22

（3）橢圓F+A=1（。>0）與直線力c+g+C=0相切的條件是工%2+s為2=

ab

/y￡c/J?

55、雙曲線的尸離心率"廠d"/，準(zhǔn)線到中

心的距離為了，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）6=1。過焦

點(diǎn)且垂直于實軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：.

焦半徑公式幽川*+“月0+"卜幽|=|2（十-月|=|?-"卜

_2N用產(chǎn)F

兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積COt-T-

56、雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系:

_y_1，

(1)若雙曲線方程為7一后二“漸近線方

0=y=±3?

程：…。

2m=0=

⑵若漸近線方程為0°小雙曲線可設(shè)

22

為/

工―-

(3)若雙曲線//與有公共漸近線，可設(shè)

22

為下一聲一九

(卜>°,焦點(diǎn)在X軸上，入<0，，焦點(diǎn)在y軸上).

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是bo

57、雙曲線的切線方程:

(1)雙曲線=>o,z?>o)_t一點(diǎn)尸(勺,%)處的切線方程是=1?

⑵過雙曲線^-4=1外一點(diǎn)尸("0)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是警-岑=1.

abab

(3)雙曲線=1與直線4+劭+C=0相切的條件是/a2-8紛=1?

ab

58、拋物線/=2次的焦半徑公式:

拋物線丁=2P>。)：焦半徑M=ZO+2-

過焦點(diǎn)弦長畫會"-

?a,,bqAac-b1/八、

_+6x+c=a(xH--)H-------QHO)▲IH—QR3

59、—次函數(shù),2?4a的圖象是拋物

線：

/bAac-b1.

(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為2/牝；(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)

bAac-b2+1

(一丁，----------)

為2a4a；

4ac-b2-1

y=--------------

(3)準(zhǔn)線方程是牝

60、直線與圓錐曲線相交的弦長公

式.|陽=+81一乃6

或

222

\AB\=^(1+Ar)[(x24-XJ)-4X2XJ=|再一X?|Vl+tana=|必一%|Jl+da

y=kx4-b

(弦端點(diǎn)A(占M，%2M,由方程[F(x,y)=o消去y得

到a/+占x+c=0A>0,a

為直線的傾斜角，上為直線的斜率5-訃府福.

61、證明直線與平面的平行的思考途徑:

（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公關(guān)點(diǎn)；

（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；

（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

62、證明直線與平面垂直的思考途徑:

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。

63、證明平面與平面的垂直的思考途徑:

（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

64、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

設(shè)方=（%%㈤,b=（4也也）則:

（1）（?+B=3]+瓦+62，%+用）;

（2）萬一3=（?]—4，?2一“2,以3一4）；

⑶入萬=（初,4%,招）（XGR）；

（4）a?b=。向+%%+0r赳；

65、夾角公式:

Icos<arb*岫+*+*

設(shè)彳1=（瓦也A）貝°也;+￡+4，始+環(huán)+或

66、異面直線間的距離：網(wǎng)

nMJ。

（是兩異面直線，其公垂向量為"，CD是12上任一點(diǎn).d為'”間的距離）.

J呵.

67、點(diǎn)到平面加的距離：網(wǎng)（"‘為平面的法麗,，'6"是的一條斜線

段）.

68、球的半徑是R,則其體積’1I””,其表面積-4疝

69、球的組合體:

（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直廷是長方體的體對角踐長.

（2）球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，

正萬體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

°回

（3）球與正四面體的組合體：校長為"的正四面體的內(nèi)切球的半徑為12

旦的1）國內(nèi)理《的力

（正四面體高34.外接球的半徑為4（正四面體芭34

70、分類計數(shù)原理（加法原理）：…+―.

分步計數(shù)原理（乘法原理）：拉=也義

71、排列數(shù)公

父二力（力-1）一（力一/+1）=————.（?,wGN,B_tn<n）.規(guī)定0!=1

式：（力一㈤！

72組合數(shù)公

C；=￡=處上0二竺辿:一理——(?GN,也wM且冽4m.

式.4lx2x--xwm\'(?-w)!

組合數(shù)的兩個性質(zhì)：⑴；⑵c；+c：%c*.規(guī)定a=1.

73、二項式定

理.3+6)*=c}a+c%f+…+c：bb，+??+，；/；

二項展開式的通項公式：芯N=C：/牙(r=。1,2…，力)

/W==/+守+。/、…+。四的展開式的系數(shù)關(guān)系：

以o+以1+%+~+4=/(1)；a0-+a24---4-=/(-I)Ja。=/(0)-

74、互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).

個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：PCA1+A2+...+

An)=P