數(shù)學(xué)本章整合：第二章統(tǒng)計

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一三種抽樣方法的比較簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較如下表：類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體中個體無差異且個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分中抽取在第一組抽取樣本時采用簡單隨機(jī)抽樣總體中個體無差異且個數(shù)很多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取在各層抽取樣本時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成研究統(tǒng)計問題的基本思想方法就是從總體中抽取樣本,用樣本估計總體,因此選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿【哂写硇缘臉颖緦φ麄€統(tǒng)計問題起著至關(guān)重要的作用．高考中主要考查三種抽樣方法的比較和辨析以及應(yīng)用．eq\x(應(yīng)用）某高級中學(xué)有學(xué)生270人,其中一年級108人,二、三年級各81人．現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查,考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時,將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號為1,2，…,270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34，61,88,115,142,169,196，223,250；②5,9,100,107，111,121,180,195,200,265；③11,38，65,92，119，146，173，200，227,254；④30，57,84,111,138，165,192，219，246,270.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是()A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣D．①③都可能為分層抽樣提示：分層抽樣時，在各層所抽取的樣本個數(shù)與該層個體數(shù)的比值等于抽樣比；系統(tǒng)抽樣抽取的號碼按從小到大排列后，每一個號碼與前一個號碼的差都等于分段間隔．解析:按分層抽樣時,在一年級抽取108×eq\f(10，270)＝4（人）,在二年級、三年級各抽取81×eq\f（10,270)＝3(人）,則在號碼段1，2,…，108中抽取4個號碼，在號碼段109，110,…，189中抽取3個號碼，在號碼段190,191，…,270中抽取3個號碼，①②③符合，所以①②③可能是分層抽樣，④不符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時,抽取出的號碼應(yīng)該是“等距"的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣．答案：D專題二用樣本的頻率分布估計總體分布通常利用樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖對總體情況作出估計，有時也利用頻率分布折線圖和莖葉圖對總體情況作出估計．頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在頻率分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，這樣根據(jù)樣本的頻率分布,我們就可以大致估計出總體的分布．eq\x(應(yīng)用)某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某段時間內(nèi)有2000輛車通過該站，現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200輛進(jìn)行車速分析，分析結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a＝__________，估計在這段時間內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的約有__________輛．解析：在頻率分布直方圖中，(0。04＋0。025＋a＋0。01＋0.005)×10＝1，解得a＝0。02，由題圖可估計，速度不小于90km/h的汽車通過的頻率為（0。025＋0。005)×10＝0。3，則估計在這段時間內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于90km/h的汽車的輛數(shù)為0.3×2000＝600。答案：0.02600專題三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)字特征對總體的數(shù)字特征作出估計．眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值;中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到?。┑捻樞蚺帕校魯?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，就是處于中間位置的數(shù)；若數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),就是中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq\x\to(x)表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計量，其計算公式如下：s＝eq\r（\f（1,n）［（x1－\x\to(x））2＋（x2－\x\to(x))2＋…＋（xn－\x\to（x)）2]）。有時也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2-—方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差，實質(zhì)一樣．eq\x（應(yīng)用1）對某種花卉的開放花期追蹤調(diào)查，調(diào)查情況如下：花期/天11～1314~1617～1920～22個數(shù)20403010則這種花卉的平均花期約為__________天．解析：由題中表格可知，花期在11～13天的花卉個數(shù)為20，估計花期在11～13天的花卉的總花期天數(shù)為12×20＝240;花期在14~16天的花卉個數(shù)為40，估計花期在14～16天的花卉的總花期天數(shù)為15×40＝600；花期在17~19天的花卉個數(shù)為30,估計花期在17～19天的花卉的總花期天數(shù)為18×30＝540；花期在20～22天的花卉個數(shù)為10，估計花期在20~22天的花卉的總花期天數(shù)為21×10＝210，綜上所述，此種花卉的總花期數(shù)為240＋600＋540＋210＝1590,所以這種花卉的平均花期為eq\f(1590,100）＝15。9，所以這種花卉的平均花期約為16天．答案:16eq\x（應(yīng)用2）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參加的8次測試成績記錄如下:甲:9582888193798478乙：8392809590808575試比較哪個工人的成績較好．提示:成績較好要從兩方面來分析，一是平均成績比較高，二是成績波動比較?。猓篹q\x\to(x甲）＝eq\f(1,8）(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95）＝85,eq\x\to(x乙）＝eq\f（1,8)（75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85。＝eq\f（1,8）[（78－85）2＋(79－85)2＋(81－85）2＋（82－85）2＋(84－85)2＋（88－85）2＋(93－85)2＋(95－85）2］＝35。5,＝eq\f(1,8）［(75－85）2＋(80－85)2＋（80－85）2＋（83－85)2＋（85－85)2＋（90－85)2＋(92－85）2＋（95－85)2]＝41?！遝q\x\to（x甲)＝eq\x\to(x乙)，,∴甲的成績較穩(wěn)定．綜上可知，甲的成績較好．專題四頻率分布直方圖和莖葉圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用（1)利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征．①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點．②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．③平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)．④中間小矩形最高,兩側(cè)小矩形較矮，說明方差、標(biāo)準(zhǔn)差較小，這組數(shù)據(jù)比較集中；反之，中間小矩形較矮，兩側(cè)小矩形較高,說明方差、標(biāo)準(zhǔn)差較大，這組數(shù)據(jù)比較分散．說明：利用直方圖求出的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實際數(shù)據(jù)得出的不一致,但它們能粗略估計其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．(2）利用莖葉圖估計數(shù)字特征．方法一，根據(jù)莖葉圖讀出所有數(shù)據(jù)，并根據(jù)定義，求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大?。环椒ǘ?，粗略估計：①每個葉上出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，其對應(yīng)的數(shù)據(jù)是眾數(shù)；②每個葉上的數(shù)字按由小到大排列，位于“中間”的數(shù)字，其對應(yīng)的數(shù)據(jù)是中位數(shù)；③位于“中間”葉上的數(shù)字，其對應(yīng)的數(shù)據(jù)是平均數(shù)；④“葉”越集中，說明數(shù)據(jù)越集中，方差、標(biāo)準(zhǔn)差越?。弧叭~"越分散，說明數(shù)據(jù)越分散，方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大．eq\x（應(yīng)用1)某班甲乙兩名學(xué)生進(jìn)入高三以來5次數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖如圖所示,甲乙兩人5次數(shù)學(xué)考試成績的中位數(shù)分別為________、________；平均數(shù)分別為________、________。解析:甲同學(xué)5次數(shù)學(xué)考試成績分別是76,83，84,87，90，乙同學(xué)5次數(shù)學(xué)考試成績分別是79，80，82,88,91，可知甲乙兩人5次數(shù)學(xué)考試成績的中位數(shù)分別為84，82，甲同學(xué)成績的平均數(shù)eq\x\to(x甲)＝eq\f(76＋83＋84＋87＋90,5)＝84，乙同學(xué)成績的平均數(shù)eq\x\to（x乙)＝eq\f(79＋80＋82＋88＋91，5）＝84.答案：84828484eq\x（應(yīng)用2)某校高中年級開設(shè)了豐富多彩的課外活動課程,甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生課外活動課程的學(xué)分,用莖葉圖表示(如圖)．s1,s2分別表示甲、乙兩班各隨機(jī)抽取的5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則s1__________s2（填“＞”“＜”或“＝”）．解析：甲班5名學(xué)生的學(xué)分分別是8,11,14，15,22，則平均數(shù)eq\x\to(x甲）＝eq\f(8＋11＋14＋15＋22，5)＝14，s1＝eq\r（\f（（8－14）2＋（11－14)2＋（14－14)2＋（15－14)2＋(22－14）2，5))＝eq\r(22),乙班5名學(xué)生的學(xué)分分別是6，7，10，13，14,eq\x\to（x乙）＝eq\f(6＋7＋10＋14＋13，5）＝10，s2＝eq\r(\f((6－10)2＋(7－10）2＋(10－10)2＋（13－10）2＋（14－10）2,5））＝eq\r（10)，所以s1＞s2.答案：＞eq\x(應(yīng)用3)從高三年級抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失,試?yán)妙l率分布直方圖估計：（1）這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2）這50名學(xué)生的平均成績．解：(1)最高矩形的高是0.03，其底邊中點是eq\f(70＋80，2）＝75，則這50名學(xué)生成績的眾數(shù)估計是75分．頻率分布直方圖中，從左到右前3個和前4個矩形的面積和分別是（0.004＋0.006＋0。02）×10＝0。3＜0。5，（0.004＋0。006＋0。02＋0.03)×10＝0。6＞0.5，設(shè)中位數(shù)是m，則70＜m＜80,則0。3＋（m－70)×0.03＝0.5,解得m≈7