數(shù)學本章整合教案：第一章計數(shù)原理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網絡專題探究專題一兩個計數(shù)原理分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是本部分內容的基礎．在應用題的考查中，經常要用它對問題進行分類或分步分析求解,如何靈活利用這兩個原理對問題進行分析往往是解應用題的關鍵．兩個原理的共同之處是研究做一件事，完成它共有的方法種數(shù)問題，而它們的主要差異是“分類”與“分步”．分類計數(shù)原理的特點是：類與類相互獨立，每類方法均可獨立完成這件事（可類比物理中的“并聯(lián)”電路來理解）；分步計數(shù)原理的特點是：步與步相互依存，且只有當所有步驟均完成了（每個步驟缺一不可），這件事才算完成(可類比物理中的“串聯(lián)"電路來理解)．運用時要掌握其計數(shù)本質,合理恰當?shù)剡\用兩個原理．排列組合是解決計數(shù)問題的一種重要方法．但要注意，計數(shù)問題的基本原理是分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，是最普遍使用的，不要把計數(shù)問題等同于排列組合問題．【例1】某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會，其中甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A．14B．16C．20D．48思路點撥：根據題意分成兩類，一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言，另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè)，另一類是3人全來自其余4家企業(yè),采用分類加法和分步乘法計數(shù)原理可得解．解析：分兩類,第一類：甲企業(yè)有1人發(fā)言，有2種情況，另兩個發(fā)言人出自其余4家企業(yè)，有6種情況,由分步乘法計數(shù)原理,得N1＝2×6＝12;第二類:3人全來自其余4家企業(yè),有4種情況．綜上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16種情況．答案：B專題二排列與組合應用題求解策略將具體問題抽象為排列問題或組合問題,是解排列、組合應用題的關鍵一步．(1）正確分類或分步，恰當選擇兩個計數(shù)原理．(2)有限制條件的排列組合問題應優(yōu)先考慮“受限元素”或“受限位置”．而排列組合討論的問題共同點是“元素不相同”，不同點是排列與順序有關，組合與順序無關．【例2】在由數(shù)字1，2，3，4,5組成的所有沒有重復數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有______個．解析：解法一:1,2，3，4,5組成無重復五位數(shù),大于23145且小于43521的有(1）形如后兩位只能填5,4,∴有1個數(shù)合要求．(2)形如第三位選4或5都滿足要求，后兩位任選都可．∴符合要求的數(shù)有Ceq\o\al(1,2）·Aeq\o\al(2，2）＝4個．(3)形如第二位選4或5，后三位任選，符合要求的數(shù)有Ceq\o\al（1,2）·Aeq\o\al(3,3)＝12個．（4）形如第二位開始，均可任選，符合要求的數(shù)有Aeq\o\al（4，4）＝24個．(5）形如第二位選1或2，后三位任選，符合要求的數(shù)有Ceq\o\al（1,2）·Aeq\o\al（3，3）＝12個．同理形如符合要求的數(shù)有2Aeq\o\al（2,2）＝4個，形如符合要求的數(shù)有1個．∴符合要求的數(shù)有(1＋4＋12）×2＋24＝58個．解法二：可用類似方法算出小于43521的5位數(shù)個數(shù)與小于等于23145的五位數(shù)個數(shù)．兩數(shù)之差即為小于43521且大于23145的五位數(shù)個數(shù)．答案：58專題三二項式定理的應用對于二項式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題，一類是直接運用通項公式來求特定項．另一類，需要運用轉化思想化歸為二項式定理來處理問題．從近幾年高考命題趨勢來看，對于本部分知識的考查以基礎知識和基本技能為主，難度不大，但不排除與其他知識的交匯,具體歸納如下：（1）考查通項公式問題．(2）考查系數(shù)問題：①涉及項的系數(shù)、二項式系數(shù)以及系數(shù)的和．②一般采用通項公式或賦值法解決．(3)可轉化為二項式定理解決問題．【例3】（1＋2eq\r(x））3(1－eq\r(3,x))5的展開式中x的系數(shù)是()A．－4B．－2C．2D．4思路點撥:利用(a＋b）n展開式中第r＋1項Tr＋1＝Ceq\o\al（r,n)an－rbr（r＝0,1,2，…，n）將兩項展開,確定x的系數(shù)．解析：(1＋2eq\r(x））3（1－eq\r(3,x))5＝（1＋＋12x＋)(1－＋－10x＋－)，x的系數(shù)是－10＋12＝2.答案：C【例4】eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(3，2）＋\f(1，\r（3,3））))n展開式中的第7項與倒數(shù)第7項的比是1∶6，則展開式中的第7項為________．思路點撥:本題是應用二項式定理通項公式的典型問題，解答本題的關鍵是利用方程思想列出方程，求出n。解析：第7項：T7＝Ceq\o\al(6,n）(eq\r(3,2))n－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,\r(3，3)）））6,倒數(shù)第7項：Tn－5＝Ceq\o\al（n－6，n)(eq\r（3,2)）6eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,\r（3，3））))n－6，由eq\f(C\o\al(6,n）\r（3，2）n－6\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,\r(3，3))）)6，C\o\al(n－6，n）\r（3，2）6\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,\r（3,3））)）n－6）＝eq\f（1，6)，∴n＝9,故T7＝Ceq\o\al(