數(shù)學(xué)本章整合學(xué)案：第一章基本初等函數(shù)Ⅱ

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)題探究專(zhuān)題一三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)主要包括三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性和對(duì)稱(chēng)性，以及正、余弦函數(shù)的有界性，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可以解答三角函數(shù)的值域、最值，比較三角函數(shù)的大小，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等．【例1】給出下列命題：①函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)；②函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)y＝的周期為;④函數(shù)y＝sin是偶函數(shù)，其中正確的命題序號(hào)是________．解析：對(duì)于①，可以做出它的圖象，通過(guò)圖象可以知道y＝sin|x｜不是周期函數(shù)，對(duì)于②，因?yàn)?〈π，而tan0＝tanπ，所以函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)不是增函數(shù)．對(duì)于③,因?yàn)閥＝＝≠,所以不是y＝的周期．對(duì)于④,y＝sin＝sin＝cosx，顯然是偶函數(shù)．所以①④正確．應(yīng)填①④．答案：①④專(zhuān)題二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題正弦函數(shù)y＝sinx，余弦函數(shù)y＝cosx，在教材中已研究了它們的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．除了上述有關(guān)內(nèi)容外,近年來(lái)有關(guān)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題在高考中時(shí)有出現(xiàn),有必要對(duì)其作進(jìn)一步的探討．(1)y＝sinx，y＝cosx，y＝Asin(ωx＋φ)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)其圖象的“峰點(diǎn)”和“谷點(diǎn)”且平行于y軸的無(wú)窮多條直線．①y＝sinx圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝kπ＋（k∈Z）；②y＝cosx圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝kπ（k∈Z）；③y＝Asin（ωx＋φ）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋－（k∈Z）．（2）y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝Asin（ωx＋φ）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并且有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是圖象與x軸的任一交點(diǎn)．①y＝sinx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0）（k∈Z）；②y＝cosx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(k∈Z)；③y＝tanx圖象的對(duì)稱(chēng)中心為(k∈Z)；④y＝Asin(ωx＋φ）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（k∈Z）．函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象進(jìn)行平移和伸縮變換得到，所以求y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，可由y＝sinx的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心得到，無(wú)需記憶．【例2】函數(shù)y＝sin的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（）A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝分析：方法一：函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝kπ＋（k∈Z）．令X＝2x＋,所以2x＋＝kπ＋（k∈Z），所以x＝（k∈Z），所以y＝sin的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝（k∈Z）①．當(dāng)k＝1時(shí),有x＝－．對(duì)于B，C，D中的x值代入①后，沒(méi)有整數(shù)k相對(duì)應(yīng)．綜上應(yīng)選A．方法二：函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋－（k∈Z）②．將ω＝2，k＝1,φ＝代入②式，有x＝，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝－，即x＝－為其中一條對(duì)稱(chēng)軸．對(duì)于B,C，D中的x值代入②后，沒(méi)有整數(shù)k相對(duì)應(yīng)．綜上應(yīng)選A．方法三：因?yàn)閥＝sin＝sin＝sin＝cos2x，函數(shù)y＝cos2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝（k∈Z)③．當(dāng)k＝－1時(shí)，x＝－．對(duì)于B,C，D中的x值代入③后，沒(méi)有整數(shù)k相對(duì)應(yīng)．綜上應(yīng)選A．答案：A反思也可結(jié)合圖形來(lái)寫(xiě)對(duì)稱(chēng)軸方程．【例3】已知函數(shù)f（x）＝sin(ωx＋φ)(1<ω<3,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的解析式．分析：函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ）是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以sinφ＝－1或sinφ＝1,這樣就可以得到φ＝kπ＋(k∈Z），再由φ的范圍得到φ的值；再由函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于M對(duì)稱(chēng)，從而得到ω的值．解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x)＝sin（ωx＋φ)是R上的偶函數(shù)，所以sinφ＝－1或sinφ＝1，則φ＝kπ＋(k∈Z)．因?yàn)?≤φ≤π，所以φ＝,所以f(x)＝cosωx．因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x）的圖象關(guān)于M對(duì)稱(chēng)，所以f＝0,即cos＝0，則＝kπ＋(k∈Z），即ω＝＋（k∈Z）．又1〈ω〈3，所以k＝1，ω＝．所以f（x）＝cos．反思函數(shù)f(x）關(guān)于點(diǎn)(a,0）對(duì)稱(chēng)，則有f(a－x）＋f(a＋x）＝0．當(dāng)點(diǎn)(a,0)在圖象上時(shí),有f(a）＝0．專(zhuān)題三圖象間的變換關(guān)系（1）平移變換：①沿x軸平移，按“左加右減”的法則；②沿y軸平移,按“上加下減”的法則．（2)伸縮變換：①沿x軸伸縮：ω〉1時(shí)，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍；0〈ω〈1時(shí)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)保持不變；②沿y軸伸縮：A〉1時(shí),縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍;0〈A〈1時(shí),縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的A倍，橫坐標(biāo)保持不變．(3）對(duì)稱(chēng)變換:對(duì)于函數(shù)y＝f（x）的圖象：①關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為y＝－f（x)；②關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為y＝f(－x）；③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后．圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為y＝－f(－x)．【例4】把函數(shù)y＝cos2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變）,然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是(）解析：y＝cos2x＋1圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得y1＝cosx＋1,再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得y2＝cos(x＋1）＋1，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得y3＝cos(x＋1）．故相應(yīng)圖象為A項(xiàng)．答案：A專(zhuān)題四三角函數(shù)的值域和最值問(wèn)題三角函數(shù)的值域和最值問(wèn)題有其靈活多變的題型和特殊性，一直是高考的重要題型．求三角函數(shù)的最值問(wèn)題通常有以下三種途徑：(1）將所求三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后結(jié)合角x的取值范圍求最值．（2)將所求三角函數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx(cosx)的二次函數(shù)的形式,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解．(3）利用正弦、余弦函數(shù)的有界性求最值,此外換元思想、數(shù)形結(jié)合思想等都是常用于求最值的方法．同時(shí)一般函數(shù)求值域的方法:分離常量法、判別式法、圖象法等在三角函數(shù)中也適用．【例5】求y＝的最大值和最小值．分析:由已知求出sinx，利用|sinx｜≤1求解．解：由已知y＝，得y＝＝3－．因?yàn)椋黶inx｜≤1，所以－1≤sinx≤1，所以1≤sinx＋2≤3．因?yàn)殡S著sinx的增加而減小，所以－隨著sinx的增加而增加，所以當(dāng)sinx＋2＝1時(shí)，ymin＝－2，當(dāng)sinx＋2＝3時(shí),ymax＝．所以已知函數(shù)的最大值為，最小值為－2．反思本題采用分離常量法求函數(shù)的最大值和最小值．專(zhuān)題五函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）中角φ的確定由已知條件確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式,需要確定A，ω，φ，其中A,ω易求，下面介紹求φ的幾種方法．（1)平衡點(diǎn)法：由y＝Asin（ωx＋φ)＝Asin知它的平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－,所以我們可以找與原點(diǎn)相鄰的且處于遞增部分的平衡點(diǎn)，令其橫坐標(biāo)為x1＝－，則可求φ．【例6】已知如圖,是函數(shù)2sin（ωx＋φ）的圖象上的一段，則（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－C．ω＝2,φ＝D．ω＝2,φ＝－解析：因?yàn)門(mén)＝π－＝π，所以ω＝＝2．又－處于遞增部分的平衡點(diǎn)．所以φ＝－＝－2·＝．答案：C評(píng)注使用此公式必須滿(mǎn)足下面兩點(diǎn)：(1)有平衡點(diǎn)；（2)是處于上升部分的平衡點(diǎn)．不具備上述兩點(diǎn)，亂用就易出錯(cuò)．（2）確定最值法：這種方法避開(kāi)了“伸縮變換”，且不必牢記許多結(jié)論，只需解一個(gè)特殊的三角方程．【例7】函數(shù)y＝Asin(ωx＋β)＋b(A>0，ω>0)的圖象如圖,求函數(shù)的表達(dá)式．解:由圖易求得y＝2sin＋2，下面求φ．由圖知當(dāng)x＝－2時(shí)，ymax＝4．即2sin＋2＝4．所以－＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．取k＝0,得φ＝π．所以y＝2sin＋2．評(píng)注(1）也可利用“x＝2，ymin＝0"求φ．（2)φ有無(wú)窮性，相差2kπ（k∈Z)．（3）若將平衡點(diǎn)(0，2）代入關(guān)系式φ＝kπ（k∈Z)，應(yīng)再由其他條件舍去k為偶數(shù)的φ值,但不如用最值法簡(jiǎn)單．(3）利用單調(diào)性：將函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與y＝sinx的圖象比較，選取它們的某一個(gè)單調(diào)區(qū)間得到一個(gè)等式，解答即可求出φ．【例8】已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ）的部分圖象（如圖所示),求φ．解:因?yàn)锳在遞減段上，所以＋φ∈（k∈Z)．所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z．評(píng)注求φ時(shí)，因條件相異可選不同方法．(1）已知平衡點(diǎn)時(shí)，用“平衡點(diǎn)"法較簡(jiǎn)單．(2)已知最高點(diǎn)而不知平衡點(diǎn)時(shí),用“最值法”．（3)已知一般點(diǎn)時(shí)，用單調(diào)區(qū)間法．專(zhuān)題六數(shù)學(xué)思想方法在本章中數(shù)形結(jié)合貫穿始終,如最初的角的概念就是數(shù)與形的最佳體現(xiàn)．在隨后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們利用三角函數(shù)線畫(huà)出三角函數(shù)的圖象,利用單位圓中的三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象解答三角問(wèn)題，利用三角函數(shù)的圖象進(jìn)一步研究性質(zhì)、求函數(shù)定義域、判定奇偶性、求單調(diào)區(qū)間等都是數(shù)形結(jié)合的典范．【例9】已知方程